Уравнение для связанных волн

Для ее выполнения в (5.8а), (5.11) необходимо заменить As на Аё и после очевидной процедуры упрощения получить следующую систему уравнений для связанных волн [c.89]

Система уравнений для связанных волн (5.8), записанная в виде конечных приращений амплитуд соответствующих световых волн после прохождения некоторого тонкого слоя решетки, имеет вид [c.106]

Таким образом, можно считать процессы дифракции света происходящими в квазистационарном режиме и пользоваться системой уравнений для связанных волн [c.109]

Уравнения для связанных волн в этом случае будут иметь следующий вид [c.112]

Линейные уравнения для связанных волн можно формально получить из уравнений для связанных колебаний (в случае двух связанных [c.207]

В этом приближении процесс генерации излучения с частотами (Ов и соа описывается системой уравнений для связанных волн с амплитудами Ед и . Без существенного ограничения общности будем считать среду изотропной. Предположим далее, что все волны поляризованы одинаково, так что можно использовать выражения для скалярной комбинационной восприимчивости (2.62) и (2.68). Точно так же можно, разумеется, рассмотреть и случай, когда поляризации стоксовой и антистоксовой компонент и поляризация излучения лазера перпендику- [c.175]

Система двух уравнений для связанных волн может быть теперь записана в виде [c.176]

Точно такое же квадратное уравнение можно получить, исходя из уравнений для связанных волн [25]. [c.179]

В этом случае подстановка выражения (2.10.12) в волновое уравнение (2.10.10) и Группировка членов, содержащих множители ехр(—/Рб2) или ехр(/рбг), дают два уравнения для связанных волн [c.115]

Решение уравнений для связанных волн [c.115]

Уравнения для связанных волн можно решить, используя подстановку ехр(ус2) для неизвестных Я (г) и 5(г). Эта подстановка приводит к системе вспомогательных уравнений [c.115]

Несмотря на то что в проведенном выше анализе лазеров с РОС рассматривались бегущие волны, а не волноводные моды, основные идеи этого анализа справедливы также и для волноводных мод в гетеролазерах [92]. Примером может являться использование уравнений для связанных волн, описывающих перераспределение энергии между распространяющимися в Противоположных направлениях волнами как результат периодичен ского изменения показателя преломления. Было показано, что влияние такого изменения показателя преломления можио описать через постоянную связи. Выражение, определяющее постоянную связи для гетеролазера с РОС, отличается от полученного выше при рассмотрении бегущей волны. Различны в этих случаях и постоянные распространения. Разделение мод и спектральная селекция являются важными свойствами также и для гетеролазера с РОС. [c.120]

Уравнение для связанных волн 112— 115 [c.296]

Исследуем теперь связанные дифференциальные уравнения для электромагнитных волн и волн давления в случае дискретного спектра частот. Из уравнения (2.51-16) видно, что подстановка только одной электромагнитной волны, например лазерной волны с амплитудой ([ь), не дает необходимого результата. В самом деле, получающаяся волна давления тогда имела бы частоту 2/1,, полностью выпадающую из области частот акустических волн. (Нас не интересует одновременно возникающее постоянное давление.) Поэтому наряду с лазерной волной следует ввести в рассмотрение по крайней мере еще вторую электромагнитную волну с амплитудой ([в)- В этом случае возникает разностная частота /1, —/о, которая может попасть в область частот акустических колебаний. Для давления примем существование только одной волны с частотой и амплитудой = Предполагается, что присутствующие в решениях частоты и волновые числа удовлетворяют дисперсионным соотношениям, указанным в разд. 2.51. Колебательная амплитуда компоненты 2 с частотой /1, —/о имеет вид [c.148]

Теорема Левинсона (5.37) связывает число связанных состояний, обладающих заданным (физическим) угловым моментом /=Я,—7г, со сдвигом фазы при нулевой энергии. Следовательно, значение рд, можно найти из рассмотрения уравнения для парциальных волн при к—О. [c.99]

Поскольку дальше речь пойдет лишь о квазигармонических модулированных волнах, оговоримся здесь о существовании в общем случае гораздо более широкого класса модулированных волн — несинусоидальных (и даже не обязательно периодических) волн с медленно изменяющимися параметрами. Как мы уже знаем, поведение волны в нелинейной среде зависит от соотношения параметров дисперсии О и нелинейности N. Когда N < В, волна будет квазигармонической, ее гармоники будут бежать с существенно различными скоростями (нет синхронизма) и потому эффективно основной волной возбуждаться не будут т. е. не повлияют существенно на ее форму. При этом волну можно записать в виде А(г, ) ехр(г ) - - к. с., где А — медленно изменяющаяся амплитуда, а ф — полная фаза (эйконал). В рамках такого описания можно построить нелинейную геометрическую оптику (по поводу линейной геометрической оптики см. [5] и гл. 12), в которой уравнения для амплитуды волны и полной фазы в отличие от линейной задачи оказываются связанными. При этом характер модуляции волны в процессе распространения зависит от ее амплитуды (это само-воздействие именно к такому классу явлений относятся упоминавшиеся самофокусировка волновых пучков и самомодуляция, приводящая к образованию волновых пакетов). [c.411]

Исследуйте дисперсионные характеристики для систем связанных волн из задач 149 и 150 на наличие неустойчивости. Для каждого из четырех эталонных уравнений двух связанных волн определите тип неустойчивости, если она существует. [c.32]

Замечания, сделанные в разд. ]. 2 относительно природы световых волн и дискретной природы их формирования, могут быть теперь подтверждены. Преобразование Фурье используется для этого таким же образом, как при исследовании соотношения между апертурной функцией и распределением составляющих ее пространственных частот. Вместо того, чтобы рассматривать пространственный импульс , мы обратимся теперь к импульсу во времени, связанному с распределением (т.е. спектром) временных частот. Сопряженные переменные хя и заменяются временем t и частотой v. Уравнения для преобразования Фурье могут быть записаны путем простой замены символов в уравнениях (4.08) и (4.09), как следует ниже [c.77]

Первый из них связан с распространением продольных волн, а второй — крутильных волн в цилиндре. Соответствующие дисперсионные уравнения для этих случаев принимают вид [c.148]

О (г")), оказалось, что коэффициент при из уравнений двойных волн уже не определяется — уравнение для него оказывается неразрешимым. Факт этот связан с тем, что для уравнений двойных волн поверхность г = О является линией параболического вырождения и одновременно — характеристикой. [c.338]

Подставляя значения, из (11.126) в уравнение (11.123) и, согласно (11.83), пренебрегая малыми членами, содержащими вторые производные , получаем следующие уравнения связанных волн для случая поляризации типа р [c.208]

Уравнение связанных волн (11.129), полученное для случая р-поляризации, отличается от уравнения связанных волн, справедливого для поляризации s-типа только наличием множителя (п [c.209]

Связанные волны напряжений и токов в СПЛ рассчитываются следующим образом. Из системы уравнений (1.5.3) с учетом (1.5.4) — (1.5.9) и граничных условий при х=0, х=1 для эквивалентной схемы (рис. 2.13) находим связь напряжений и токов [c.42]

Распространение плоских волн в полупространстве для связанной термоупругой среды описывается следующей системой уравнений [3] [c.125]

Выведем систему уравнений для связанных волн, описывающую дифракцию плоской световой волны на элементарной синусоидальной фазовой решетке пропускающего типа (рис. 5.1, а). Рассмотрение проведем для случая брэгговского падения, когда строго выполняется векторное равенство (5.3). Общее решение для световой волны в объеме решетки ищется в виде суммы двух плоских световых волн — считывающей и продифрагировавшей [c.79]

Более детальный анализ показывает, что это предположение обосновано для анизотропной среды ( ор(Маль-пые волны которой имеют -определенные направления поляризаций), но для изотропной среды выполняется лишь в частных случаях, поскольку здесь поляризации нормальных волн произвольны, В общем же случае нелинейного взаимодействия в оптически изотропной среде (например, генер-ации второй гармоники в кристалле типа ОаАз, вынужденном -комбинацианно-м рассея-нии или вынужденном рассеянии Мандельштама — Бриллюэна в жидкостях) уравнения первого порядка являются векторными и описывают одновременно изменение амплитуд и поляризаций -взаимодействующих волн. Более детально этот вопрос рассмотрен в работе [41]. Заметим, кстати, что в теории нелинейных -волновых явлений в диспергирующих средах плодотворным оказывается использование идей, а в ряде случаев и конкретных методов нелинейной теории колебаний (например,. при анализе системы уравнений для связанных волн полезным оказывается метод фазовой плоскости и т. п.). Эта сторона нелинейной оптики подробно обсуждается в работе [41] там же можно найти и -соответствующую библиографию. [c.20]

При более полном теоретическом исследовании вынужденного комбинационного рассеяния следует рассмотреть систему уравнений для связанных волн с частотой сог,, частотой лазера сох, и со всеми комбинационными частотами соь /сОц. Эти волны могут распространяться во многих направлениях. Чтобы сделать задачу разрешимой, следует ввести некоторые упрощающие предположения. Во-первых, можно исключить уравнение для волны с частотой со , поскольку оптические фононы сильно поглощаются средой. Во-вторых, допустим, что имеет место поглощение и для световых волн с частотами сох- 2(0 . Это позволяет исключить волны стоксовых и антистоксовых компонент с индексом I 2. Хотя волна нелинейной поляризации с частотой сох, + Зм может генерироваться при смешении антистоксовой и стоксовой компонент, 2(0а — (05, соответствующая нелинейная восприимчивость для этого процесса не будет резонансной. По той же причине мож-но исключить из рассмотрения и волны с частотами гармоник 2соь и т. д. Таким образом, мы ограничимся рассмотрением уравнений связанных волн с тремя частотами сох,, сОз и (Оа, однако даже и этот случай не поддается аналитическому исследованию. Поэтому мы будем считать поле накачки заданным. Такое приближение достаточно хорошо соответствует (по крайней мере на начальном этапе процесса рассеяния) экспериментально реализуемым условиям, когда интенсивный луч лазера падает на плоскую границу г = 0) нелинейной среды — кристалла, жидкости или газа. [c.175]

Прн выводе этих уравнений от юшеиие заменялось на единицу, поскольку рассматриваются длины волн, мало отличающихся от Хь. Величина (Г Рь)/2Рг, в уравнениях для связанных волн обычно записывается в внде [c.115]

Это выражение для постоянной связи справедливо для приближения плоских волн и синусоидального нзменення показателя преломления. Для гетероструктур с гофром в волноводе коэффициенты связи могут быть определены из выражений, полученных Яривом [85]. Они будут рассмотрены в конце параграфа. С учетом формул (2.10.15) и (2.10.16) получаем следующую форму уравнений для связанных волн [80] [c.115]

Приведенные выше рассуждения делают очевидным общий результат из уравнений для электромагнитных волн и волн давления с днскретныхм спектрохм частот получается для волновых амплитуд система связанных обыкновенных дифференциальных уравнений, в которых присутствуют нелинейные члены. [c.149]

Дучевые разложения. Из предыдущих разделов ясно, что полное волновое поле при акустическом каротаже можно получить численным интегрированием по частоте и волновому числу, если используется комплексная частота или затухание, или вклад нормальных мод в полное волновое поле оценивается по сингулярностям подынтегрального выражения без численного интегрирования по волновому числу. С целью оценки вклада продольных и поперечных волн в полное волновое поле подынтегральное выражение может быть разложено в степенной ряд, каждый член которого связан с некоторым лучом. В работе [133] приведено общее выражение для волнового поля, складывающегося из первых вступлений волн Р и 5 и из вторых вступлений, а именно многократно-рефрагированных воле, в случае когда источники и приемники расположены на оси скважины, заполненной жидкостью. Был сделан вывод, что первое вступление продольной волны затухает приблизительно как 1/г, а поперечная волна как 1/г2. Цанг и Рейдер [162] также использовали лучевое разложение, оценив главный член уравнения для продольной волны численным интегрированием вдоль разреза комплексной шюскости волновых чисел. Из рис. 5.33 видно, что этот результат хорошо согласуется с начальной частью полного волнового поля, вычисленного при использовании комплексной частоты и интегрирования вдоль вещественной оси. Как утверждают Цанг и Рейдер этот результат значительно отличается от асимптотического разложения, полученного Роувером и др. [133]. Янг [200] при оценке членов лучевого разложения применил метод Каньяра, получив волновое поле, которое находится в соответствии с результатами численного интегрирования. [c.198]

Это уравнение выведено Кирхгофом и совпадает с тем, которое получил Фритче для плоских волн. Таким образом, уравнение (3.63) и измеренные значения а -г позволяют достаточно точно ввести поправку Ас, связанную с влиянием пограничного слоя. Для получения предельной точности при измерении с необходимо вводить поправки, которые учитывают эффекты второго порядка [60] и в сумме составляют несколько десятитысячных долей процента от скорости с. [c.107]

Третий и последний аспект акустической интерферометрии, который следует рассмотреть, связан с формой нормальных мод в процессе распространения акустических волн в трубе. Строго говоря, необходимо решить волновое уравнение для цилиндрического канала с жесткими стенками, на одном конце которого находится излучатель, являющийся источником гармонических колебаний, а на другом — отражатель. Метод Крас-нушкина [47], который в дальнейшем был развит Колклафом [c.107]

Во втором методе, предложенном Бриллюэнолг, потенциальная энергия ионов решетки рассматривается как малое возмущение, а в качестве набора волновых функций нулевого приближения берутся плоские волны де-Бройля, являющиеся решением волнового уравнения для свободных электронов (ириближение слабо связанных электронов). Энергия электрона зависит теперь не только от величины волнового вектора, как в соотношении (8.6), но и от его направления. При таком рассмотрении также получаются интервалы энергий, не содержащие собственных значений ( запрещенные зоны ). Возникновение запрещенных зон является следствием наличия разрывов функции, описывающей зависимость энергии от имиульса. Эти разрывы объясняются тем, что через кристалл не могут распространяться электронные волны, волновой вектор которых удовлетворяет условию Брэгга. [c.324]

Структура стационарных волн детонации. Рассмотрим плоское одномерное стационарное движение монодиспсрсной горючей аэровзвеси в системе координат, связанной с детонационным фронтом. При высоких скоростях движения, характерных для детонационных волн, влияние излучения и процессов переноса ( диффузии, теплопроводности) пренебрежимо мало. Уравнения (5.1.1) в стационарном случае имеют интегралы, представляющие собой законы сохранения массы, импульса и энергии (см. (4.4.5)) [c.425]

По виду уравнений (13.6.1) и (13.6.2) можно предположить, что величина 0 распространяется со скоростью i, величина (о со скоростью Сг. Но ЭТО Н6 0B 6M так, мы не можем поставить раздельные граничные условия для 0 и для иу, поэтому фактически уравнения оказываются связанными между собой. Однако эти соображения играют определенную наводящую роль при выборе структуры предполагаемых решений тех или иных задач. Сейчас мы рассмотрим следующую задачу. Бесконечная плита ограничена плоскостями Хг = h. Нужно выяснить вопрос о возможности распространения синусоидальных волн в направлении оси Xi. Предполагается, что перемещение Ыз = 0. Граничные плоскости X2 — h свободны от напряжений. Таким образом, нужно найти перемещения Ui xi, Хг, t) и Пг х , t). Положим [c.445]

Приближённые уравнения нелинейной геометрической оптики связанные волны. Для большинства практически интересных задач Н. о. ур-ние (18) можно упростить, пользуясь методом медленно меняющихся амплитуд. Для плоских волн, распространяющихся в слабонелинейной среде, [c.297]

Так, один из наиболее эффективных подходов к конструированию численных алгорит мов использует идеи адаптации применяемых методов к особенностям решаемых задач. Этот подход часто связан с явным выделением различного вида особенностей, иногда явным выделением основных типов разрывов решений, отдельных областей, характери зуемых теми или иными свойствами решений. Например, для уравнений газовой динами ки, которые описывают процессы распространения различного рода разрывов (ударных волн, контактных разрывов, волн разрежения), такие адаптационные методы описаны в работе [26]. Ясно, что аналитическое знание основных качественных и некоторых ко личественных закономерностей может существенно повлиять на точность применяемых методов. Иногда адаптацию под особенности решения осуществляют без явного выделения разрывов и зон особого поведения, используя так называемые адаптирующиеся сетки [30]. При этом исходная система стационарных или эволюционных уравнений пополняется дополнительными уравнениями, описывающими поведение сетки, на которой должны достаточно точно аппроксимироваться решения исходной дифференциальной за дачи. Задача о выборе таких уравнений для сетки, о выборе экономичных и устойчивых алгоритмов совместного расчета решений и сетки является непростой и также требует предварительного аналитического анализа. [c.23]

Систему связанных уравнений для интенсивностей (9.2.1), (9.2.2) можно решить аналитически [4, 21]. Хотя такое решение пригодно для полного описания ВРМБ, для понимания физики явления полезно рассмотреть случай без истощения накачки, что позволяет оценить величину порога ВРМБ. В таком случае стоксова волна, распространяясь навстречу волне накачки, экспоненциально усиливается в соответствии с уравнением [c.262]

В работах [28—3J] рассмотрены решения этого уравнения для задач распространения волн в жидкости. На рис. 10.13 приведено типичное решение, полученное Хуаном и Туком [29] для задачи о прямоугольной гавани, связанной с открытым морем. Численное решение сравнивается здесь с экспериментальными результатами и. найденным ранее приближенным аналитическим решением Иппена и Годы [60]. Все результаты измерений и вычислений относятся к точке А, изображенной на врезке к рис. 10.13. В непосредственной окрестности основного периода колебаний результаты, полученные непрямым МГЭ, немного превосходят результаты Иппена и Годы, что вполне объясняется сделанными ими допущениями. [c.307]

Такой подход [5.1, 5.3, 5.10—5.12] позволяет описывать толстые решетки с дифракционной эффективностью, приближающейся к единице, на которых может наблюдаться практически полное преобразование считывающего светового пучка в восстановленный. Анализ процессов дифракции в динамическом приближении может проводиться различными способами, из которых метод связанных волн получил наиболее широкое распространение. Этот метод основан на анализе системы связанных линейных дифференциальных уравнений для амплитуд считывающей и продифрагировавшей световых волн. Как правило, в рассмотрение включаются лишь две указанные брэгговские) световые волны, и в большинстве случаев это дает результаты, с хорошей точностью согласующиеся с экспериментальными данными. [c.79]

Взаимодействие РР звук — звук). Это тот тип нелинейных взаимодействий, которым мы в данной книге будем заниматься наиболее подробно и не только во втором приближении сюда относятся искажение формы профиля бегуще1 1 волны и связанные с этим явлением эффекты. Анализ и оценки показывают, что в волновом уравнении для Р в качестве источника при этом во втором приближении появляется член [c.45]

Ранее, в гл. VII, мы записывали уравнение продольной волны в жидкости через скалярный потенциал ср, который связан с вектором скоросги смещения (или самим вектором смещения, из которого колебательная скорость определяется дифференцированием по вре.мени) соотношением и — —grad гр. Апалоги и ным образом для сдвиговых волн можно ввести векторный потенциал, одиахо для большей наглядности мы непосредственно рассматриваем поле смещений. [c.224]

Зависимость от поляризации излучения. Соотношение (9) написано для линейно поляризованного поля. При циркулярной поляризации действие по.тя аналогично действию постоянного поля в системе координат, связанной с вектором Е. Это существенно упрощает теоретическое описанпе, так как решение уравнения Шредингера для переменного поля сводится к решению стационарной задачи, в которой нет проблемы разделения временных и пространственных переменных. Такое решение принято называть решением для вращающейся волны. Отметим, что это упрощение справедливо для систем со сферически симметричным потенциалом. [c.67]

Этот способ используется в классической эластокинетике для разложения волн на продольные и поперечные. Потенциал Ф соответствует там продольным волнам, связанным с изменением объема тела в этом случае направление движения частиц совпадает С направлением распространения волны. Вектор я]) описывает распространение поперечных волн, вызывающих только изменение формы. Точно так же представления (7) и (8) приводят к выделению продольных и поперечных волн в термоупругой среде. В самом деле, подставляя (7) и (8) в (1) и (2), получаем уравнения [c.25]

Ковариантная теория возмущений в классической электродинамике. Существенную часть курсов классической электродинамики составляют разделы, посвященные вычислению радиационных процессов, к которым относятся излучение частиц, движущихся во внешних полях, рассеяние частиц и рассеяние электромагнитных волн. Можно заметить, что все расчеты основываются на использовании потенциала Лиенара-Вихерта, представляющего собой решение уравнения для 4-потенциала в приближении заданного 4-тока [12, 38, 153, 247, 248]. Поэтому отсутствует анализ индуцированных процессов и эффектов высших порядков. С другой стороны, гамильтонов формализм позволяет получить решение уравнений на основе теории канонических преобразований, не обращаясь непосредственно к уравнениям. В частности, в рамках канонической теории возмущений, изложенной в лекции 28, можно вычислить любую экспериментально измеряемую динамическую характеристику процесса в релятивистской ковариантной форме. Кроме упрощения всех вычислений, теория является универсальной в том смысле, что эволюция динамических переменных, обусловленная взаимодействием частиц и поля, определяется единым образом в терминах запаздывающих функций Грина. Результат вычислений, как и в фейнмановской теории возмущений в квантовой электродинамики, имеет форму ряда по степеням е , каждый член которого связан с соответствующим спонтанным или индуцированным процессом [6]. [c.380]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...