Граница кусочно гладкая

Типы допустимых граничных условий также тесно связаны с доказательствами теорем существования и единственности решения [74, 200]. При доказательстве этих теорем обычно формулируется ряд предположений о свойствах гладкости границы (кусочно-гладкая поверхность). При этом четко отмечается, что граничная поверхность упругого тела есть нечто отличное от самой среды. Последнее обстоятельство, конечно, не является специфическим, относящимся только к упругости, а должно подчеркиваться во всех случаях, когда речь идет о математической формулировке соответствующей физической задачи. [c.25]

В области определения течения V, р, р, Т точки (г, t) считаются кусочно непрерывно дифференцируемыми (кроме конечного числа внутренних границ — кусочно гладких поверхностей разрыва первого рода). Вместе с принятыми предположениями это позволяет описывать течения системой уравнений Эйлера, которые выводятся из общих законов природы, постулированных в виде интегральных законов баланса массы, импульса, энергии. (Их также называют интегральными законами сохранения .) [c.9]

Пусть Oi °,. .., Г —устойчивые состояния равновесия и периодические движения. О ",. .., Тт" —неустойчивые и ..., — седловые. Окружим каждое из них малыми окрестностями с кусочно-гладкими граничными поверхностями, составленными либо из поверхностей без контакта, либо кусков интегральных поверхностей. Возможные виды таких поверхностей в трехмерном случае изображены на рис. 7.26,а, б, в. Обозначим границы этих окрестностей для устойчивых и неустойчивых состояний равновесия и периодических движений соответственно через Oi,. ..,а и а,,. .., От. У седлового состояния равновесия [c.274]

Перейдем к вопросу о единственности решений и начнем с рассмотрения статических задач. Будем предполагать, что оператор Ламе от смещений является интегрируемой функцией. Тогда для этих смещений в области О, ограниченной, вообще говоря, кусочно-гладкой поверхностью 5, справедливо третье неравенство Бетти (4.26) гл. И. Пусть 1 (р) и 2(р) — два различных регулярных решения, удовлетворяющие одним и тем же краевым условиям первой, второй или сразу в общем случае смешанной задач. Тогда интеграл в правой части (4.26) гл. II для разности смещений окажется равным нулю. Поскольку же подынтегральное выражение в левой части является положительно определенной формой, то из равенства нулю интеграла будет следовать, что подынтегральное выражение есть тождественный нуль. Следовательно, напряжения будут обращаться в нуль, что приводит к смещениям тела как жесткого целого. Однако в случае первой и смешанной задач необходимо исключить это смещение, поскольку тогда нарушаются условия на той части границы, где заданы смещения. [c.251]

Изложенное выше относится к реализации решения интегральных уравнений, соответствующих основным задачам теории упругости, когда граничная поверхность является достаточно гладкой. Обратимся к случаю, когда поверхность является кусочно-гладкой, т. е. состоит из совокупности разомкнутых гладких поверхностей, имеющих общие границы вдоль определенных линий, которые в свою очередь могут иметь угловые точки. Внутри каждой из таких поверхностей задано краевое условие того или иного типа, краевые же условия на угловых линиях или в угловых точках следует рассматривать как предельные со стороны той или иной поверхности. Предполагается, что в нерегулярных точках не приложены сосредоточенные воздействия ). [c.581]

Пусть кусочно-гладкая граница Зй области й состоит из трех поверхностей 8п, 5о, 5, т. е. 5Й = и 5о и На тело защемлено, а на 8 тело взаимодействует с жестким криволинейным штампом без трения. Поверхность 5 является системой бесконечно тонких разрезов в теле й (см. рис. 1.4.1). Одну произвольно выбранную поверхность разрезов обозначим через 5" , другую — через 8 . Поверхности 15" , считаем геометрически совпадающими с 8. [c.41]

X], Х2,..., Хп — фазовые координаты, характеризующие состояние объекта. Вектор-функ-ция jf(p) = (j i(p), л 2(р). .. Хп(р), определенная на отрезке (2.40), должна принадлежать замкнутой области X (A g X), граница которой — гладкая или кусочно-гладкая гиперповерхность. [c.71]

Полагаем, что задана единая точка приведения О и концы векторов г и г° переменного мотора изменяются в областях В п В° трехмерного пространства. Пусть 5 — некоторая поверхность (гладкая или кусочно-гладкая), являющаяся частью границы области В, по условию односвязной. [c.80]

Успех метода Галеркина и его вариантов связан с удачным выбором полной систе мы функций ifk и применением достаточно точного (при больших N) способа решения уравнений (11). Широкое применение метода Бубнова — Галеркина еще в начале нашего века без использования каких-либо счетных машин при небольших N 2 3 для решения задач в относительно простых областях, в частности на основе уравнения Пуассона, было обусловлено как раз хорошим выбором базисных функций (fi и явным аналитическим способом решения (11). Дальнейшее развитие этих методов сдерживалось как трудностя ми построения полных систем базисных функций для сложных областей, так и большими трудностями решения систем (11) уже при N Б из-за очень плохой обусловленности матриц этих систем, которые усугубляются при приближенном расчете интегралов в (11), являющихся элементами этих матриц. Если первую трудность можно снять, используя, например, аппарат 1 функций [17], с помощью которого достаточно легко можно строить полные системы базисных функций (хотя и достаточно сложных) для многомерных обла стей с кусочно-гладкими аналитическими границами, то преодолеть вторую трудность значительно сложнее. Ряд рекомендаций по этому поводу дан в [18]. [c.21]

В монографии развит метод сингулярных интегральных уравнений двухмерных задач теории упругости для тел с трещинами применительно к областям усложненной геометрии. Разработаны алгоритмы численного решения интегральных уравнений в случае гладких и кусочно-гладких контуров интегрирования и изучено распределение напряжений и смещений вблизи угловых точек границы области Решены задачи об упругом и упругопластическом равновесии однородных и кусочно-однородных конечных кольцевых областей с трещинами при локализации зон пластичности вдоль прямолинейных отрезков. Разработаны опытные образцы для экспериментального исследования трещиностойкости материалов. [c.2]

При рассмотрении граничных свойств потенциалов необходимо накладывать определенные требования на гладкость границы Г тела. Здесь будет в основном предполагаться, что Г — кусочно-гладкая граница класса при а>0 (см. 3 главы 1). Будем в этом случае называть Г кусочно-гладкой ляпуновской (или в смысле Ляпунова) границей. [c.44]

Граничные интегралы еще одного вида. Пусть Г — кусочно-гладкая ляпуновская граница области QaR , с°еГ. Рассмотрим интеграл вида [c.47]

Лемма 4.1. Если для некоторой точки кусочно-гладкой ляпуновской границы Г определена ограниченная при x R , уеГ функция а(х,у,х ), интегрируемая по у на Т и непрерывная по X в R , то интеграл (4.15) непрерывен по х в ( Г)и л . [c.48]

Предположим, как п в главе 2, что Г является кусочно-гладкой ляпуновской границей. [c.114]

Простым следствием доказанного свойства является следующий фундаментальный факт, известный под названием интегральной формулы Коши пусть функция / аналитична в односвязной области О, ограниченной кусочно гладкой кривой у, и непрерывно продолжается на границу тогда значение [ в любой точке г области определяется через ее граничные значения по формуле [c.79]

Ниже применяются следующие обозначения / — множество действительных чисел Z — множество комплексных чисел = [/о = = ё /о 3 — трехмерное евклидово пространство х = = (Хг, з) = ( г), У = (У1, У2 Уз) = (Уд . .. — точки пространства Е О — область из 3 с кусочно-гладкой границей 8 О = О [ 8. [c.41]

Мы будем интересоваться в основном теми случаями, когда О — ограниченная область с кусочно-гладкой границей 5 или О — бесконечная область, являющаяся дополнением до всего пространства замкнутой ограниченной области с кусочно-гладкой границей 5. В первом случае вместо О будем писать О" , а во втором — 0 , [c.240]

Иы будем считать (если противное не оговорено), что область, занятая телом, представляет собой связную, конечную или бесконечную, часть 8 плоскости, ограниченную одним или несколькими (простыми, гладкими или кусочно-гладкими) замкнутыми контурами. Граница области если эта область конечна, состоит, таким образом, из конечного числа замкнутых контуров , [c.101]

Идеально пластические среды. По определению идеально пластического тела в процессах при неизменной температуре допустимым его состояниям соответствует фиксированная область в пространстве напряжений. Тем самым функция / в уравнении / = О границы этой области должна быть функцией только напряжений. В случае кусочно-гладкой поверхности текучести это справедливо для каждой из функций /1, /2,. . . [c.86]

Течение определено в области физического пространства-времени с кусочно гладкой границей. [c.9]

Внутренними границами в области определения течения являются кусочно гладкие поверхности сильного разрыва — ударные волны (скачки уплотнения) и поверхности тангенциального разрыва, в частности, свободные поверхности. На них задаются соотношения между V, р, р, Т ( условия Гюгонио ), которые следуют из интегральных законов сохранения. [c.10]

Постулированная в общей теории сплошной среды система интегральных балансовых соотношений (интегральных законов сохранения массы, импульса, энергии) представляет собой сумму интегралов по произвольной ограниченной подобласти области определения течения с кусочно гладкой границей — объемных интегралов и интегралов по границе. [c.10]

Пусть упругое тело в трехмерном евклидовом пространстве занимает объем V. Граница -тела dV кусочно-гладкая и состоит и участков dVp и на которых заданы векторы поверхностной нагрузки р х, t) и перемещений и х, t) соответственно (рис. 3 1). В теле также имеется N произвольно ориентированных трещин, которые описываются их. поверхностями U Q7, где и — противоположные берега. На тело могут действовать и объемные силы Ь (х, t). Предположим, что перемещения точек тела и градиенты ма-, лы, поэтому его напряженно-деформированное состояние описывается уравнениями линейной динамической теории упругости в перемещениях [279, 373, 471] [c.63]

Динамические задачи теории упругости с ограничениями в виде неравенств. Пусть упругое тело в трехмерном евклидовом пространстве занимает объем V. Граница тела дУ кусочно-гладкая и состоит из участков dVp, dVu и dVg. На dVp, dVu заданы граничные условия (3.2), а на dVf односторонние ограничения [c.74]

Для вывода граничных интегральных уравнений особый интерес представляет установление свойств непрерывности этих потенциалов вплоть до границы и связи их предельных граничных значений со значениями на границе. При этом необходимо накладывать определенные требования на гладкость границы. Будем предполагать, что dV кусочно-гладкая класса [c.114]

В качестве примера рассмотрим движение материальной точки по инерции в области на двумерной плоскости, ограниченной замкнутой регулярной кривой. Траектория движения будет ломаной линией, которая в случае упругого удара образует с границей области равные углы (рис. 3). В этой задаче укороченное действие совпадает с обычной длиной, и поэтому, согласно принципу Мопертюи, траектория движения имеет стационарную длину среди всех кусочно-гладких кривых с теми же концами. [c.19]

Такие системы впервые изучал Дж. Биркгоф [42 43] они называются биллиардами Биркгофа. Можно рассматривать более общие случаи, когда граница невыпуклая кусочно-гладкая или движение происходит в ограниченной области многомерного пространства. [c.19]

Пусть конфигурационное пространство М лагранжевой механической системы с двумя степенями свободы является гладким связным компактным многообразием с кусочно-гладкой (класса С ) границей дМ, а функция Лагранжа =12 + Ь1 + Ьо принадлежит классу на касательном, расслоении ТМ. Символ Ь,- обозначает функцию, однородную степени / по скоростям. Квадратичную форму 2 будем считать положительно определенной. Функция 2 имеет смысл кинетической энергии механической системы и задает риманову метрику на М. [c.133]

Теорема об оценке решения. Пусть II = и, V, и>, р, 3) есть некоторое решение системы (3.16), определенное при I > 0. Рассматривается ограниченная область С фаница которой состоит из трехмерной области а о, лежащей в гиперплоскости < = О, и из расположенной при t > О кусочно-гладкой гиперповерхности Г, имеющей общую границу с областью ыо- Пусть = ( , г/, ( , т) есть вектор внешней нормали к Г. Утверждение о единственности решения II в области i l тесно связано со свойством гиперболичности системы (3.16), которое проявляется в следующем наиболее существенном дополнительном предположении в каждой точке гиперповерхности Г выполнено неравенство [c.65]

Чтобы убедиться в последнем, достаточно заметить, что пересечение дв х множеств с кусочно гладкими границами не обязательно будет иметь кусочно гладкую границу. Предположим, например, что в качестве элементов й берутся подмножества плоскости. Пусть роль < играет с , и пусть представляет собой замкнутый квадрат —1 < у < О, О < а < 1, а — замыкание множества всех течек, для которых 0<х<, —1<у< [c.23]

У рассматриваемой нами системы всякая фазовая точка может находиться вне выделенных нами окрестностей не дольше некоторого конечного времени т. Поэтому фазовые траектории, лежащие вне выделенных малых окрестностей, порождают на их граничных поверхностях некоторые точечные отображения. При этом каждая поверхность а,, oj-, или oi2 отображается в какие-то другие поверхности о], ш/, (0/1 или (0/2. Отображение, преобразующее, например, точки поверхности о/ в сод, будем обозначать через Т(а/- (О д). Таких различных отображений будет конечное число, причем каждое из этих отображений кусочно-гладкое. Это последнее утверждение следует из существования верхней границы т длительности движения фазовой точки от одной поверхности до другой и из компактности гладких кусков поверхностей без контакта, ограничивающих выделенные нами окрестности состояний равновесия и периодических движений. [c.276]

Перейдем теперь к рассмотрению краевых задач для уравнения Лапласа. Пусть Й—конечная область, ограниченная кусочно-гладкой границей S. Внутренняя задача Дирихле (D для уравнения Лапласа заключается в определ ии в области Q функции, принадлежащей классу С< >(Й)П С(Й), удовлетворяющей уравнению Лапласа и принимающей на границе S заданное значение [c.98]

Мазь я В, Г., П л а м е н е в е к и й Б, А. Об эллиптических краевых задачах в области с кусочно-гладкой границей. — В кн, Труды симпозиума по мех. сплошной среды и родственным проблемам анализа. Т. I. — Тбилиси Мецниереба, 1973. [c.680]

Всюду ниже будем полагать, что х= хих2,хз , у= = У, У2,Ул еЯ , Q — область в с кусочно-гладкой ляпуноз-ской границей Г. [c.48]

Т е о р е м 3 4.4. Пусть Г — кусочно-гладкая ляпуновская граница области Q zR , (у) — непрерывная по Гёльдеру вектор-функция на Г, удовлетворяющая в случае бесконечной границы Г [c.51]

Теорема 4.5. Пусть Г — кусочно-гладкая ляпуновская граница Q, ff(y) — интегрируемая на Г и непрерывная по Гёль-деру на каждой гладкой части Г вектор-функция, удовлетворяющая в случае бесконечной границы Г условию гр( /) = [c.52]

Предположим, что каждая граница Гщ яэляется кусочно-гладкой в смысле Ляпунова. Тогда при достаточной гладкости плотностей интегралов в (6.6) и (6.7) имеют место граничные свойства, описанные в 4. Устремляя в (6.8) и (6.9) точку х на Гт, получаем [c.85]

Рассмотрим триангуляцию кусочно-гладкой границы Г, состоящую из треугольных и четырехугольных элементов Гк , Пусть /п 1— заданное целое число. Введем на каждом элементе Гк еТл систему узлов и пространство Xк , соответствующие определению треугольного или четырехугольного элемента типа (т) (либо типа (т ) при т=2, 3). Напомним, что если Г/ — треугольный элемент, то Хк =П,п(Г/) (либо = Пто(Гк ) при /п=3) если Г/ — четырехугольный элемент, тоХ = Ч ,п(Г ) (либоХн =Ч (Г ) при/п=2, 3). [c.211]

Интегральная формула Коши. Подчеркнем, что условие односвязности в теореме Коши существенно—если область течения О имеет дырку, как на рис. 18, то интеграл по замкнутому контуру у, охватывающему эту дырку, не обязан равняться нулю. (Это физически очевидно в дырке могут находиться источники и вихри, а потому циркуляция и расход на V могут быть отличными от нуля.) Легко, однако, понять, что при непрерывной деформации у внутри области О величина интеграла не меняется. Мы проверим этот факт в его простейшей математической постановке пусть область О ограничена двумя кусочно гладкими кривыми уо и Уь которые обходятся в одинаковом направлении (скажем, против часовой стрелки), и функция / аналитична в какой-нибудь области, содержащей замыкание О (так называется область вместе с ее границей) мы покажем, что в этих условиях [c.78]

Птак, класс допустимых функций состоит из кусочно-гладких кривых, выходягцих из точки у = X = о и удовлетворяюгцих (2.3). Уравнения экстремалей и условия стыковки различных участков находятся из необходимых условий экстремума. Участками краевого экстремума могут быть участки границ области (2.3) [c.383]

Отметим здесь одно существенное обстоятельство. Численные расчеты показали, что, как и в случае лагранжевых дискретных моделей на регулярной сетке, уравнения (19)-(23) вследствие законов сохранения имеют квазистационарные незатухающие регаения в виде уединенных волн. Причем, в отличие от чисто лагранжевых схем второй и третьей глав, частицы здесь движутся в кусочно-гладком эйлеровом поле скорости, и, тем не менее, это не приводит к численной диссипации или дисперсии волны со временем. Это иллюстрируется также рис. 6, где приведено регаепие рассмотренной выгае задачи о деформации эллипса в одномерной постановке, т.е. с использованием только поверхностных частиц и базисных функций (34) на сетке с /г = О, 2. При этом, из-за растяжения эллипса, число вовлеченных в расчет базисных функций изменялось от М = 8 нри = О, до М = 52 нри I = 6, 5. Отклонение положения свободной границы от точного регаения здесь графически неразличимо. [c.165]

Теорема 11.1 (см. 27J). Д л гиперболического автомор-физма трехмерного тора не существует марковского разбие ния на прямоугольники с кусочно-гладкой границей. [c.227]

Теперь с помощью последнего равенства мы покажем, что tp p) W (p) для плотного множества значений t из окрестности 0. Для этого выберем два вектора v е Е (р) и го Е (р) таким образом, что d9(v, w) ф 0 это возможно, потому что в — невырожденная форма. Далее, рассмотрим короткие кривые с [О, е]— Жо (р) и % [0> Жос(Р)> являющиеся отрезками геодезических в этих подмногооо разиях. Для достаточно малого е найдется точка Z ( (е)) П Жос(с (е))- Выберем так, что z = е (с (е))- Существуют гладкие кривые 7 с И ос(с (е)) и 7, С (с (е)), идущие в Z и z соответственно. Так как сильно устойчивое и сильно неустойчивое слоения непрерывны в 7 -топологии, эти кривые можно считать почти параллельными с и с соответственно. Например, можно параллельно перенести касательные векторы к вдоль геодезических в соответствующие точки 7 и гарантировать, что получившееся векторное поле вдоль 7 настолько близко к касательному векторному полю, насколько нам нужно, при условии, что е достаточно мало. Заметим также, что с точностью до произвольно малого гладкого возмущения можно считать точку z периодической. Перенос кривых и 7 под действием потока представляет собой четырехзвенную ломаную, соединяющую точку р с точкой р р) кривыми из сильно устойчивого и неустойчивого слоев. Добавляя маленький отрезок орбиты р, мы, таким образом, получаем замкнутую кусочно гладкую кривую с. Она проектируется в простую кривую в трансверсали Т, так что эту кривую можно рассматривать как границу поверхности А, инъективно проектирующейся на поверхность тг(А) в Т. Теперь заметим, что с точностью до умножения в на постоянный множитель по теореме Стокса мы имеем [c.578]

Пусть I — кусочно-гладкая п-мерная поверхность, расположенная на эллипсоиде По и ограниченная некоторым числом со-фокусных квадрик. С поверхностью S естественным образом связан биллиард точка движется по геодезическим внутри S и упруго отражается от ее границ. [c.105]

Пусть, для простоты, D — плоская односвязнан область с кусочно-гладкой границей, удовлетворяющей условию Липшица. Известно, что функции ei2, 622 порождаются в области D некоторым полем скоростей, если они удовлетворяют условию совместности [c.123]

U - область в i2"o кусочно-гладкой хранщей (объек) d u - граница области со [c.37]

Евкщдово-аффинное пространство состоит из векторов и точек, причем для любых двух его точек А, однозначно оцреде-лен вектор АЗ с началом Л и концом 3, В этом пространстве фиксируется начало отсчета - точка О, а положение любой другой точки Л характеризуется ее радиус-вектором ОЛ, Все векторы считаются принадлезкащими одному и тому же евклидову векторному пространству над полем вещественных чисел Л Открытые, связные множества - области О с Л - рассматриваются как положения (кон гурации) оплошной среды. В механике область с кусочно-гладкой границей обычно называется объемом. [c.42]

Обобщенные движения. Пусть ii с Д есть ограниченная область с кусочно-гладкой границей Г и сечениями гиперплоскостями i = onst. В соотношении (3.6) полагается u t) = ujQ t), и оно интегрируется по i в интервале (ii, на который проектируется область Q. Это дает [c.35]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...