Корреляции время случайного процесса

Величины в квадратных скобках называют соответственно временными корреляторами и корреляционными функциями случайного процесса. Характерное время х, в течение которого (Д/=< — t —t x) эти функции существенно отличны от нуля, называется временем релаксации. При Aiсечениями случайного процесса можно пренебречь. [c.75]

Время корреляции дает ориентировочное представление о том, на каких интервалах времени имеет место корреляция между отдельными значениями случайного процесса. Под временем релаксации понимается масштабная постоянная времени, которая описывает скорость изменения амплитуды или фазы. [c.209]

Выражение (1.1.30) является естественным обобщением (1.1.1) и в отличие от последнего, где ва не зависело от времени, появившееся здесь 8а(О представляет собой узкополосный случайный процесс. При большом числе мод процесс (1.1.30) является нормальным. Это означает, что и комплексная амплитуда ва(0 также распределена по нормальному закону. Ее среднее значение равно нулю, а время корреляции может ыть оценено по формуле [2] [c.17]

Если многомодовый лазер работает в импульсном режиме, то случайный процесс (1.1.30) становится существенно нестационарным. Тем не менее, если длительность импульса Ти существенно превышает время корреляции Тл.к, то в пределах интервала наблюдения сигнал можно по-прежнему считать стационарным. [c.17]

Рассмотрим второй расчетный случай, когда нагрузка и несущая способность — случайные величины. Эксплуатационные нагрузки на элементы ПТМ, представляющие собой случайные процессы (см. рис. 27,б),, могут рассматриваться как независимые случайные ординаты (величины), если они разделены временем t, превышающим время корреляции Тк (см. с. 89 и рис. 50, а). Обозначим плотность распределения нагрузок, точнее, статистически независимых ординат нагрузок S, через 7(5) (рис. 52,а). Введем новую случайную величину [c.150]

Таким образом, отсчеты реализаций при оценивании систематической погрешности средств измерений в определенной точке его диапазона измерений надо делать не очень часто (учитывая интервал корреляции погрешности, как случайного процесса, время установления показаний образцового средства измерений), число 2 п должно быть достаточно велико, но общее время опыта должно быть настолько мало, чтобы тренд еще не успел проявиться, Все эти обстоятельства надо учитывать прн решении, казалось бы, простой задачи о выборе числа 2 п. Именно поэтому даже но решению подобной простой задачи могут быть даны лишь весьма общие рекомендации, подобные тем, что даны в [38]. [c.145]

Развитый метод позволяет также (для определенного класса задач и случайных процессов) получить замкнутые уравнения для плотности вероятностей решения задач с учетом конечности времени корреляции случайных воздействий [18—23]. Это прежде. всего системы с флуктуациями параметров в виде процессов телеграфного типа и гауссовских марковских процессов. С помощью теории инвариантного погружения удается также исследовать и стохастические краевые задачи [24]. Другие методы и подходы к решению стохастических уравнений описаны в ряде обзорных работ, появившихся за последнее время (см., например, [25—27]). [c.7]

Теоретически статистические характеристики случайных процессов и полей следует определять, усредняя нужные величины по всем реализациям процесса или поля. Практически же обычно при построении характеристик усреднение проводится по времени или по одной протяженной реализации поля. Для законности такого усреднения необходимо выполнение так называемого условия эргодичности. Суть его для случайных функций времени состоит в том, что для надежного определения средних интервал усреднения должен быть много больше, чем < время корреляции, определяемое по формуле (1.25), где под К следует понимать корреляционную функцию случайного процесса. [c.21]

Теперь перейдем к более сложному случаю — масштабу времен, значительно превышающих время корреляции случайной силы т/, но меньших времени релаксации импульса Тр Т/. Тогда стационарным, в отличие от р(0 является процесс /( ). Причем в начальный момент =0 частица покоится. Подставляя спектральное представление p t) и / (О в уравнение Ланжевена [c.78]

Этот метод позволяет исследовать параметрический резонанс любого порядка в зависимости от учета членов разложения в ряд Фурье по малому параметру правых частей уравнений (5.5). В дальнейшем ограничимся, как уже отмечалось, первым приближением, что соответствует исследованию основного резонанса и позволит определить нижнюю границу динамической неустойчивости исследуемой системы. Так как при широкополосном спектре возмуш,ений избежать возникновения основного параметрического резонанса невозможно, то такой вывод является вполне оправданным, а резонансы более высокого порядка для системы со случайными возмуш,ениями в известной степени теряют смысл. Считаем, что время корреляции возмущений % и г[ значительно меньше времени релаксации Тр амплитуды или фазы системы. Если время наблюдения за системой значительно превосходит (но не превосходит величины /Ро), то возможно применение стохастических методов на основе замены реального процесса возмуш,ений % и if] эквивалентными S-коррелированными и использование аппарата процессов Маркова и уравнения ФПК [81 ]. Стохастические методы, связанные с использованием процессов Маркова, могут быть использованы при любом времени корреляции, если уменьшать интенсивность флюктуаций возмущений, оставляя скорость ее изменения постоянной. В этом случае время релаксации амплитуды и фазы будет увеличиваться и условие < Тр будет выполненным. [c.201]

Следует отметить, что этот метод позволяет исследовать параметрический резонанс любого порядка в зависимости от числа учитываемых членов разложения по малому параметру. Для упрощения выкладок в настоящей работе принято первое приближение (6.3), которое позволяет исследовать основной резонанс и определить нижнюю границу динамической неустойчивости исследуемой системы. Так как при широкополосном спектре возмущений избежать возникновения основного параметрического резонанса невозможно, то такой подход является оправданным, а резонансы более высокого порядка для системы со случайными возмущениями в известной степени теряют смысл. Считаем, что время корреляции возмущений Xf, t) и y t) значительно меньше времени релаксации Тр амплитуды или фазы системы. Если время наблюдения за системой значительно превышает (но не превышает величины l/Po)i то можно применить стохастические методы на основе замены реального процесса возмущений x t) и г/о (О [c.233]

Распределения Больцмана и Максвелла—Больцмана широко используют для анализа стационарных случайных колебаний нелинейных систем. Условием применимости этих соотношений является широкополосный характер внешних случайных воздействий, позволяющий представлять их в виде дельта-коррелированных функций (белых шумов). Для практических расчетов можно использовать распределения (1.41), (1.42) и (1.46), если время корреляции внешних воздействий т значительно меньше характерного времени системы То = 2я/мо, где (Оц — частота собственных колебаний. Учитывая, что некоторые реальные системы обладают высокими фильтрующими свойствами, можно считать, что спектральная плотность широкополосного воздействия мало изменяется в интервале, который соответствует преобладающему частотному диапазону выходного процесса (рис. 1.11). При этом внешнее воздействие может быть аппроксимировано при помощи дельта-коррелированных случайных функций [24].. [c.20]

Формально уравнение (5.10) (или его частный случай (5.11)), как и (5.15 ), (5.37), является точным в случае, если ё х) — дельта-коррелированная случайная функция. Однако такие функции реально неосуществимы и всегда являются аппроксимацией реальных случайных функций с конечным радиусом корреляции. При исследовании законности такой аппроксимации возникают ограничения па уравнение (5.10). В то же время телеграфный или обобщенный телеграфный процессы физически осуществимы с гораздо большей точностью, так как для них [c.226]

Отметим, что если бы мы пытались вычислить непосредственно из уравнения (5.18) по известным часто применяемым итерационным схемам, т. е. записали бы сначала формальное решение x t) в виде хронологически упорядоченной экспоненты, а затем произвели ее усреднение по статистике a(f), то возникла бы проблема вычисления всевозможных многоточечных средних от процесса a(f) и многоточечных средних от a(f) и /(f). Задача же вычисления многоточечных средних непроста даже для гауссовских флуктуаций a(t), хотя для этого процесса существуют замечательные правила выражения многоточечных средних через двухточечные, т. е. через корреляционную функцию процесса. Изложенная процедура, основанная на комбинации формул дифференцирования статистических средних и идеи редукции, свободна от указанных трудностей. Существенно, что в уравнении (6ЛЗ) фигурируют наиболее простыв характеристики случайного воздействия параметр v, определяющий время спада корреляций процесса a(f), и параметр о, характеризующий интенсивность флуктуаций и лишь в не- [c.84]

По поводу этого уравнения авторы работы делают следующее заключение Полученное нами уравнение является одномерным обобщенным уравнением Фоккера—Планка в случае переменных структурных чисел Оно справедливо, если время корреляции т ор много меньше постоянных времени системы и если не учитывать интервалы времени порядка времени корреляции, другими словами, если можно считать случайную функцию х (i) марковским случайным процессом. Вывод уравнения, приведенный здесь, интересен тем, что в нем не используется понятие процесса Маркова. Общепринятый аппарат процессов Маркова заменен аппаратом обобщенных корреляционных функций, позволяющим проводить исследования в общем случае, переходящем при определенных условиях в случай процессов Маркова. Оценка членов уравнения (3.51) для s > 3 произведена Р. Л. Стратоно-вичем в работе [81 ], где показано, что если время корреляции процесса внешних возмущений мало по сравнению с временем переходного процесса в системе, то можно использовать обычное уравнение ФПК, параметры которого зависят от интегральных характеристик корреляционных функций внешних возмущений, так как при t > т ор важными являются не корреляционные функции, а их интегральные характеристики. [c.164]

Основная задача планирования эксперимента при анализе случайных процессов состоит в выборе необходимой длины реализации Т(количества дискретных отсчетов N), обеспечивающей получение фиксированной статистической погрешности оценки рассматриваемой характеристики. Для решения этой задачи прежде всего необходима априорная информация о частотных свойствах анализируемого процесса, т.е. информация о значении интервалов корреляции (см. табл. 8.23), особенностях спектра и т.п. Интервач корреляции т , р может быть предварительно найден путем подсчета числа пересечений д реализацией процесса х 1) уровня Мх (нулевого уровня, если Ш = 0) за какое-то время Tq. Тогда можно считать, что [c.474]

Рассмотрим подробнее частный случай m = 1. Возьмем простейшую модель сотрясения, согласно которой а t) есть отрезок реализации стационарного нормального случайного процесса с математическим ожиданием, равным нулю. Обозначим дисперсию этого процесса о1, спектральную плотность (со). Пусть собственный период системы, преобладающий период сотрясения, а также характерное время корреляции процесса а (t) достаточно малы по сравнению с продолжительностью интенсивной фазы сотрясения. Пусть также демпфирование достаточно мало, так что <С 1. Тогда можно принять а (t) й (t) — oow (t). Условный риск (6.94) выразим через математическое ожидание числа выбросов стационарного нормального процесса в единицу времени из полосы шириной Учитывая, что эффективная частота процесса и (t) приближенно равна собственной частоте соо, получим формулу типа (6.46) [c.255]

По поводу этого уравнения авторы работы делают следующее заключение ...Полученное нами уравнение является одномерным обобщенным уравнением Фоккера — Планка в случае переменных структурных чисел [Кв — структурные числа). Оно справедливо, если время корреляции Хкор много меньше постоянных времени системы и если не интересоваться интервалами времени порядка времени корреляции другими словами, если можно считать случайную функцию х 1) марковским случайным процессом. Вывод уравнения, приведенный здесь, интересен тем, что в нем не используется понятие процесса Маркова. Общепринятый аппарат процессов Маркова заменен аппаратом обобщенных корреляционных функций, позволяющим проводить исследования в общем случае, переходящем при определенных условиях в случай процессов Маркова... . Оценка [c.35]

При практическом осуществлении этого общего подхода надо учитывать следующие факторы. При расчете оценки ст по формуле (3.13) необходимо, чтобы соблюдалось условие некоррелированности отдельных реализаций Дi погрешности средства измерений в данной точке диапазона измерений. Если эта погрешность представляет собой случайный процесс, для соблюдения указанного условия надо брать отдельные отсчеты через интервалы времени, превышающие интервал корреляции случайного процесса — погрешпости средства измерений. Кроме того, надо, чтобы за время между отсчетами реализаций Д выходной сигнал (показание) образцового средства измерений (измеряющего реализации Д,) успел принять новое установившееся значение, соответствующее очередному значению реализации Д . Значит, надо увеличивать интервалы времени между отсчетами и для повышения числа 2п — общее время опыта. Это связано не только с увеличением времени эксперимента. Ранее, при анализе погрешностей измерений, отмечалось, что систематическая погрешность может медленно изменяться во времени, и она лишь условно считается постоянной на ограниченном интервале времени. В терминах статистики подобное медленное изменение математического ожидания случайной величины называется трендом . В литературе по статистике, где рассматривается проблема экспериментального оценивания математического ожидания случайной величины, специально оговаривается, что расчет по общепринятой формуле (3.12) возможен только при отсутствии тренда . Указывается, что, если тренд наблюдается, его надо устранить . Строго говоря, аппарат стати- [c.144]

Большое значение при рассмотрении практических вопросов анализа работы измерительных устройств, выбора интервала осреднения и установления разумного временнбго накопления случайного сигнала имеет так называемый интервал корреляции Tq, характеризуюпщй время, в течение которого случайный процесс можно считать статистически связанным. Некоторые вопросы измерения и расчёта Tq применительно к случайному турбулентному полю рассмотрены в главе 2. Здесь остановимся на особенностях определения Tq ДЛЯ нестационарных процессов. Для стационарного процесса Tq определяется соотношением [c.27]

Корреляционные функции, определяемые как математическое ожидание произведений сдвинутых по времени или в пространстве центрированных реализаций мгновенньк флуктуаций случайного процесса, характеризуют степень линейной связи этих процессов, соответствующей их динамическим уравнениям. С помощью корреляционных функций устанавливаются такие количественные характеристики, как дисперсия, характеризующая мощность процесса, и временной или пространственный интервал корреляции, определяющий минимальные время или расстояния, начиная с которых статистической связью процессов можно пренебречь. Кроме того, свойства гауссовых процессов полностью определяются их корреляционными функциями, а корреляционные функции, в свою очередь, однозначно описывают частотно-волновую структуру процесса. [c.129]

Особые трудности возникают при анализе нелинейных стохастических дифференциальных уравнений [14—17]. Непосредственное усреднение стохастических дифференциальных уравнений обычно удается провести лишь для частных моделей случайных процессов. Как правило, в нелинейных задачах такая процедура приводит к бесконечным зацепляющимся цепочкам уравнений для моментов, анализ которых может представлять значительные трудности. В последнее время был развит ряд методов усреднения нелинейных стохастических уравнений для дельта-коррелированных случайных процессов [8—10], предложены способы усреднения для некоторых конкретных моделей случайных процессов с. конечным вредгенем корреляции [11 — 13]. Вместе с тем даже при анализе частных случаев нелинейных стохастических дифференциальных уравнешш далеко не всегда удается получить хорошо обозрид1ые конечные результаты. [c.146]

В предыдущей главе мы рассмотрели асимптотический случай, соответствующий предельному переходу То О, где т,, — время корреляции случайного процесса г I) (нриближение б-коррелиро-вапного случайного процесса). Рассмотрим теперь другой предельный случай То оо, который можно назвать статическим приближением. В этом приближении характеристический функционал процесса 2 1) [c.117]

Остановимся в этом парафафе на некотором обобщении рассмотренной выше теории явлений переноса, связанном с учетом запаздывания по времени реакции системы на внешнее воздействие. Временные процессы мы будем считать квазиста-ционарными, процессы типа случайных отклонений будем полагать сглаженными, т.е. используемая шкала времени предполагается офубленной настолько, что отсчитываемые по ней интервалы значительно превосходят время корреляции случайных процессов, Д< > Гслуч. в частности, в случае периодического воздействия на систему Т = 2ж/ш Гслуч [c.223]

Таким образом, особенности внешней среды и самой системы приводят к тому, что численность отдельных популяций и биологических сообществ в целом испытывает случайные флуктуации, т.е., вообще говоря, представляет случайный процесс. Важнейшие свойства этого процесса - средние значения, дисперсия колебаний (интенсивность флуктуаций) определяются характером возмущений — их средними, интенсивностью и временем корреляции. Если характерное время возмущений значительно меньше собственного времени самой системы (популяции или сообщества), к анализу динамики системы можно применить достаточно развитый аппарат теории марковских процессов, при этом идеализированной моделью возмущениГ является белый шум, корреляционная функция которого - 5-функция. В качестве характерного времени системы может выступать, например, среднее время жизни особей в популяции, период циклов размножения, характерный период собствен- [c.299]

Для диффузионных возмущений широко развит аппарат, позволяющий описывать случайный процесс на выходе системы, связанный с уравнениями, в которые возмущения входят линейно, и их источником является белый шум - 5-коррелированный случайный процесс. По поводу затруднений, возникающих при переходе от реальных систем к диффузионным моделям, следуя Стратоновичу, можно сказать следующее. Для интервалов времени, с одной стороны, существенно превышающих время корреляции случайного воздействия т , а с другой - значительно меньших характерного времени реакции самой системы Тс - Д источник флуктуаций выступает как 5-коррелированный белый шум, а процесс на выходе является приближенно марковским. При этом левая часть приведенного неравенства обеспечивает малость приращения выходного случайного процесса за относительно малый интервал времени, а правая часть обеспечивает отсутствие последействия. Оба этих условия характерны для марковских процессов, при [c.302]

В слабо связанном пучке повреждения будут накапливаться почти случайным образом с малой корреляцией, в то время как в сильно связанной при помощи матрицы системе композита разрушения элементов будут коррелированными и стремящимися к развитию в направлении, перпендикулярном элементам. Во втором случае процесс будет развиваться от нескольких слабых областей путем трещинообразования, и окончательная неустойчивость будет неустойчивостью гриффитсовского типа, для которой можно ожидать, что произведение квадратного корня из числа соседних разрушенных элементов на напряжение разрушения композита равно постоянной величине. [c.179]

При приближенных расчетах, когда время процесса много больше ингервала корреляции, случайн функцию можно [c.181]

В принципе, выбрать из двух классов моделей более подходящий можно было бы, сравнив их по сте пени долговременной регулярности солнечного цикла, поскольку в моделях с изначальным магнитным по лем мы имеем глубоко погруженный, периодический осциллятор, а в модели динамо колебания возбуждаются Нерегулярной регенерацией поля турбулентным динамо. Крутильный осциллятор, если он вообще существует, может, вероятно, поддерживать фазовую когерентность в течение многих тысяч циклов, даже несмотря на то что наблюдаемая фаза солнечного цикла искажается из-за вариаций времени, необходимого трубкам с магнитным потоком для всплытия на поверхность. В протиБоположность этому регенеративный процесс турбулентного динамо дает широкий разброс периодов даже при наличии определенного среднего периода. Его сравнительно короткая память означает, что фазы двух циклов, которые разделены промежутком, превышающим некоторое характерное время корреляции, должны быть распределены случайным образом. [c.215]

Автор гипотезы стациопарности сейсмического процесса отобрал для статической обработки серии акселерограмм сильных землетрясений, считая, что такие акселерограммы по сравнению с быстро затухающими дают большие сейсмические силы. На рис. 7.2 приведены нормированные корреляционные функции сейсмического ускорения. Анализ графиков корреляционных функций позволяет сделать вывод, что заметная статистическая связь между значениями случайной функции имеет место в интервале времени примерно 1 —1,5 сек, что определяет время корреляции сейсмического процесса. Поэтому для получения достаточной статической информации о сейсмическом ускорении можно ограничиться на акселерограмме интервалом времени порядка 10—12 сек. На рис. 7.2 пунктиром показаны теоретические кривые, подсчитанные по формуле (1.38), для которых принималось а=6- 8,5 —и 3=14- -20 [c.235]

В свое время И. Пригожин [11] ввел понятие открытых систем, т.е. таких физических систем, через которые могут протекать потоки энергии и энтропии. При достаточно больших потоках в таких системах могут происходить явления нелинейной самоорганизации. Аналогичные процессы могут развиваться и в квантовых системах. Связь квантовых систем с внешним миром может быть очень малой, но она, тем не менее, может приводить к радикальному их изменению и к квантовой самоорганизации. Такие системы можно назвать информационно открытыми системами. Сильное влияние внешнего окружения на сложные квантовые системы связано с возможностью декогерентности, т.е. уничтожения фазовых корреляций у различных компонент волновой функции. В том случае, когда речь идет об одной частице, такая декогерентность выглядит как коллапс со случайным уничтожением составляющих волновой функции в широких областях пространства. А у обычных макротел "информационное общение" с окружением приводит к стягиванию волновых функций (зависящих от координат центра масс) в очень узколокализованные пакеты, т.е. к превращению макротел в классические объекты. При квантовых измерениях происходит соприкосно- [c.13]

Статистика каскадного ГПР. Каскадные трехфотонные параметрические процессы приводят к статистическому перемешиванию состояний а-, 8- и г-мод выходного поля. В приближении классической накачки преобразование статистики падающего поля кристаллом линейно, и поэтому гауссова статистика переходит в квазигауссову (как и при однокаскадном ПР — см. 6.5). Нетрудно выразить соответствующую х-функцию через матрицу рассеяния и п (см. [133]). Поскольку г — а-взаимодействие связывает лишь моды с одинаковым знаком частоты, то взаимная статистика а- и -мод будет оставаться гауссовой. В то же время — г- и 5 — а-статистики становятся квазигауссовыми, и в случае вакуумного падающего поля и слабой накачки имеет место корреляция фотонов , отличающаяся от корреляции интенсивностей отсутствием случайных совпадений [c.231]

На практике в резонаторе существует множество видов потерь, поэтому если развитие моды не поддерживается излучением из активной среды, то она затухает. Этот процесс можно описать, если с излучением в резонаторе связать среднее время жизыи ) (гл. 4, п. 5.3). Время, требующееся для развития или затухания моды, меняется случайным образом, поэтому между различными независимыми модами не существует фазовой корреляции. Таким обра-80Мт и биения мод случайным образом флуктуируют складываясь с шумовым спектром прибора. [c.106]

Наиболее распространенная процедура получения стохастических моделей в математической экологии заключается в переходе от нелинейных детерминистских моделей к моделям, в которых случайные возмущения входят линейно. Результаты анализа этих особенностей показывают, что приближение случайных возмущений б-коррелированными процессами, с одной стороны, позволяет широко использовать хорошо развитый аппарат, а с другой - ограничено случаями, когда характерное время корреляции возмущений значительно меньше собственного времени системы (популяции как биологического сообщества). Применение схемы Стратоновича является тем более предпочтительным, чем более процесс отличается от марковского, т.е. чем более существенным фактором является последействие. [c.352]

Здесь мы хотим поставить эти исследования на общую математическую основу и распространить их на описание векторных полей в случайно-неоднородных пороупругих средах любой размерности. С помощью фейнмановской диаграммной техники мы выводим усредненные по статистическим неоднородностям определяющие уравнения пороупругой среды. С их помощью показываем, что связь среднего тензора напряжений с усредненным тензором деформаций описывается наследственным уравнением вида (2.230) с ядром вида(/ + Гц), где / - время запаздывания, Гд - малая константа, определяемая радиусом корреляции статистических неоднородностей Величина устраняет расходимости интегралов от ядер релаксации. Как будет показано далее, эта величина связана с характерным пространственным масштабом неоднородности статистической пороупругой среды. Мы ограничимся рассмотрением квазистационарных процессов в пороупругой среде и не исследуем закон дисперсии волн во всей области частот. [c.88]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...