Прямое произведение полное

ДЛЯ которых прямое произведение полных типов симметрии верхнего и нижнего состояний содержит тип симметрии произведения [c.223]

Так как выражение (62.15) дает полную систему характеров для прямой суммы допустимых неприводимых представлений группы к ), то, согласно теореме Машке, эта система характеров приводима. Чтобы подчеркнуть отличие этого случая от рассматривавшихся ранее случаев разложения прямого произведения полных представлений, мы введем специальное обозначение + й, тт I к"т") для коэффициентов приведения для подгрупп. Их определение следует из (62.15) [c.164]

Время полного перебора прямо пропорционально полному числу узловых точек, определяемых произведением [c.260]

Из приведенных выше результатов следует инвариантность молекулярного гамильтониана относительно элементов пяти групп От, К, Sn и Каждая из этих групп является точной группой симметрии О молекулярного гамильтониана. Поэтому полная группа симметрии О гамильтониана будет состоять из этих элементов и из всех возможных произведений элементов этих групп. Таким образом, G можно записать как прямое произведение этих групп [c.105]

Это означает, что в произвольном п-представлении соответствующая матрица плотности ПОЛНОГО ансамбля записывается в форме прямого произведения матриц [c.46]

В условиях теоремы 11 можно утверждать отсутствие полного набора независимых интегралов вида Гк х у)е коэффициенты которых Гк аналитичны в прямом произведении Л х Т", где О — любая открытая область в К" = у , имеющая непустое пересечение с P P (черта обозначает замыкание множества). [c.198]

Полная энергия электромагнитного поля в состоянии Цщ ), которое является прямым произведением состояний с определёнными числами фотонов, представляет собой сумму энергий щ Ш/, соответствующих энергиям отдельных мод. Так как 1-я мода содержит щ квантов, то её энергия равна щ Ш/. [c.321]

Важное практическое значение имеет возможность расщепления на подпространства Жа. Оно может быть реализовано при следующих условиях а-му подпространству должны быть сопоставлены операторы Мд ,.... .., Шаа, образующие в подпространстве Жа базис собственных значений, все операторы Жа а-го подпространства должны коммутировать со всеми операторами других подпространств. Тогда Ж можно представить в виде произведения подпространств Жа, а базисные векторы из Ж могут быть образованы как прямое произведение базисных векторов из отдельных подпространств. Пусть, например, оператор энергии полной системы строится аддитивно из операторов энергии На невзаимодействующих подсистем [c.80]

Тогда полное представление прямого произведения Р (к) [c.104]

В гл. 6 и 7 анализируется математическая задача определения представлений, содержащихся в приводимом представлении и имеющих вид прямого произведения двух неприводимых представлений. Следовательно, математическая задача в точности совпадает с задачей, рассмотренной в общем виде для конечных групп в 17. Название метод полной группы просто отражает то обстоятельство, что на всех стадиях рассматриваются неприводимые представления полной группы и, соот- [c.134]

ОДНОЙ ПОЛНОЙ звездой. Чтобы определить полный набор звезд к", появляющихся при образовании всех возможных комбинаций типа (56.2), введем обозначение для прямого произведения самих звезд [c.143]

Коэффициенты к к к") при 1т = 1т —1 определяют полную размерность всех неприводимых представлений со звездами к" пространственной группы, входящих в разложение прямого произведения неприводимых представлений со звездами к и к (независимо от т и т ). [c.143]

При определении коэффициентов приведения методом полной группы следует предварительно построить таблицы характеров полной группы. Таким образом, мы будем располагать характерами ( Фр р ) каждого элемента пространственной группы для любого неприводимого представления. Тогда разложение прямого произведения двух неприводимых представлений полной пространственной группы на неприводимые составляющие можно выполнить так же, как для любой конечной группы. Коэффициенты приведения для полной группы можно получить прямо из соотношений (55.4) или [c.167]

Выполнение расчета методом полной группы включает построение по формулам (37.3) или (49.3) набора таблиц характеров полной группы. Это предполагает, что выполнено приведение в каждой группе к) канонического вектора к каждой звезды. После того как построены таблицы и выполнено разложение, мы получим все неприводимые представления, содержащиеся в прямом произведении 0 < > В общем случае конечный результат содержит полные представления, относящиеся к нескольким разным звездам. [c.168]

Полное пространство произведения (64.1) разлагается на прямую сумму полных неприводимых векторных пространств, т. е. [c.169]

Здесь полезно выделить некоторые особенности процедуры приведения, результат которого дается формулой (11.50). Во-первых, приведение является полным и однозначным. Другими словами, в соответствии с общими положениями теории групп представление типа прямого произведения н-) (5-) [c.121]

Пусть прямое произведение Л1=Дх7 " фто(12п (Д —область в / "= / ) снабжено стандартной симплектической структурой сИ/ с1ц) и Н Мх —го, ео)- -/ — аналитическая функция такая, что Я(/, ф, 0)=Яо(/). При е = 0 будем иметь вполне интегрируемую гамильтонову систему с гамильтонианом Яо. Рассмотрим полную систему [c.226]

Полную ортонормированную систему в большом пространстве можно получить, рассматривая в нем совокупность векторов, являющихся прямыми произведениями всевозможных комбинаций базисных векторов каждого пространства, относящегося к 1-ой степени свободы [c.405]

Пусть Я—произвольный самосопряженный оператор, а (1.5.6)—разложение его абсолютно непрерывного подпространства в прямой интеграл. Для ядерного оператора А в И будем строить ядро оператора РАР. Как и любой оператор Гильберта—Шмидта, ядерный оператор РАР является интегральным (см. п. 5 1.6), причем для его ядра величина (1.6.16) конечна. Сейчас, однако, важно приписать ядру а( /,г/) значения на прямом произведении ЛхЛ, где Л—какое-либо множество полной меры в а. [c.299]

Наряду с определением 5.4.2 существуют и другие способы, позволяющие оператору класса 61 приписать ядро на измеримом квадрате полной меры. Наиболее естественный из них получается путем аппроксимации ядерного оператора конечномерными. Одномерному оператору А = (, и)у сопоставляется ядро = (-, ( /))г (//), заданное на квадрате ЛхЛ, где Л—множество, на котором определены функции й V. Аналогичным образом строится и ядро конечномерного оператора. В п. 5 1.6 соответствие между операторами и ядрами было распространено на класс Гильберта—Шмидта. При этом, однако, ряд (1.6.17) сходился лишь в метрике (1.6.16), а потому его сумма определялась на множестве полной меры в х не имеющем, вообще говоря, структуры прямого произведения. Сейчас мы увидим, что для операторов из, 61 та же процедура приписывает ядру значения на измеримом квадрате полной меры. [c.301]

Отсюда следует, что при А Е 1 ядро а ,и) оператора РАР определяется однозначно на квадрате ЛхЛ (тогда как при А 2 такое множество полной в аха меры структуры прямого произведения могло не иметь). В частности, при п.в. Л 6 не зависят от способа построения ядра его диагональные значения а(А, Л). [c.303]

К можно рассматривать как нечеткое множество на прямом произведении X х У полного пространства условий (предпосылок) -X и полного пространства заключений (действий) - У. Таким образом процесс получения нечеткого результата вывода В с использованием наблюдения А и знания А->В можно представить в виде [c.168]

Произведение модуля упругости второго рода на полярный момент инерции GJp называют жесткостью при кручении. Эта величина, характеризует способность тела из данного материала с поперечным сечением данных размеров и формы сопротивляться деформации кручения. Таким образом, полный угол закручивания цилиндра прямо пропорционален крутящему моменту и длине цилиндра и обратно пропорционален жесткости при кручении. [c.192]

Группа (2.11) является полной перестановочно-инверсионной группой ядер (ППИЯ-группа) H3F ППИЯ-группа данной молекулы содержит все возможные перестановки тождественных ядер в молекуле с инверсией и без инверсии. Поэтому ППИЯ-группа молекулы является прямым произведением полной группы перестановок ядер, введенной в (1.55), и группы инверсии = , ППИЯ-группа содержит в два раза больше элементов, чем полная группа перестановок ядер. [c.34]

Предполагается, что после прочтения глав 1 и 2 читатель без труда определит элементы группы полной перестановочно-инверсионной группы ядер (ППИЯ) молекулы. Эта группа является прямым произведением полной перестановочной группы ядер (ППЯ) [см. (1.55)] и группы инверсии S = Е, Е . ППИЯ-группа может быть построена для любой молекулы, если известна ее химическая формула. Как было показано в гл. 6, гамильтониан изолированной молекулы при отсутствии внешнего поля инвариантен относительно операций ППИЯ-группы, и в принципе можно классифицировать ровибронные волновые функции и энергетические уровни по неприводимым представлениям этой группы. Однако часто в этом нет необходимости. [c.221]

Продолжение примечания с предыдущей страницы. Движение лиувиллевой системы (рис. 49) в проекции на каждую координатную ось имеет такой же колебательный характер, как движение в потенциальной яме (рис. 41). Таким образом, лиувиллева система сводится к двум системам с одной степенью свободы (но эти системы зависят, вообще говоря, от полной энергии исходной системы как от параметра, так что здесь нет такого тривиального распадения системы на одномерные, какое наблюдается при линеаризации после перехода к нормальным координатам иначе говоря, лиувнллева система в общем случае не является прямым произведением одномерных). Наконец, представление Пуансо (см. рис. 66) тоже можно рассматривать как сведение случая Эйлера к (ненатуральной) гамильтоновой системе с одной степенью свободы (см. рис. 74), [c.286]

Каждый из наборов этих операций составляет отдельную группу, а каждая группа симметрии гамильтониана представляет собой прямое произведение всех этих групп. При решении конкретных задач используют не все перечисленные группы. Группа (а) используется только в связи с Паули принципом, согласно к-рому волновая ф-ция электрона антисимметрична относительно любой перестановки электронов группа (б) отражает закон сохранения для полного угл. момента молекулы группа (в) для изолнров. молекулы несущественна, т. к, трансляции молекулы не влияют на волновые ф-ции, описывающие ввутр. состояние молекулы инвариантность гамильтониана относительно групп (г) и (д) показывает, что он может содержать только чётные степени угл. моментов и пространственных декартовых координат частиц. [c.515]

ПИ-группа симметрии молекул Представляет собой прямое произведение групп аерестановок тождественных ядзр (Е,Р) на группу инверсии ( , Ё ), где Е — идентичная операция, Е — инверсия, Р — перестановки. ПИ-группа состоит из перестановок Р тождественных ядер, перестановок с инверсией Р = РЕ = — Е Р и идентичной операции Е, просто инверсия Е может не быть элементом ПИ-группы, Для молекул, содержащих много тождественных ядер, размерности ПИ-группы может быть очень большой, т. к. она определяется только хим. ф-лой молекулы. Напр,, полная ПИ-группа молекулы gHj l состоит из 2-6 5 -1 = = 2-720-120.1 = 172 800 операций, и очевидно, что такая группа для практич. целей бесполезна. Лонге-Хиггинс предложил постулат, согласно к-рому из полной группы выбирается подгруппа, элементы к-рой соответствуют физически возможным операциям. Физически невозможными считаются операции, отвечающие разрыву хим. связей, и операции переходов между равновесными конфигурациями молекул, разделёнными высокими потенциальными барьерами. После исключения таких физически невозможных операций [c.515]

Коснемся еще вопроса о матрице полного обхода. Если прохождение резонатора слева направо описывается матрицей AB D, то справа налево — DB A ( 1.1). При отражении от перпендикулярного оси плоского зеркала в принятых нами обозначениях (рис. 1.1) и линейные, и угловые координаты лучей остаются прежним . Поэтому плоские концевые зеркала эквивалентного резонатора выполняют функции плоскостей, разделяющих системы с Л5 D-и Z) 4-матрицами, и полный обход резонатора начиная от одаого из зеркал описывается прямо произведением этих матриц. Выпишем матрицу полного обхода начиная от правого зеркала (и кончая, естественно, им же) [c.72]

Полная перестановочно-инверсионная группа симметрии молекулы представляет собой прямое произведение трех групп 1) группы перестановок тождественных ядер, которая также может быть прямым произведением отдельных групп перестз новок, если молекула содержит более одного набора тождественных ядер, 2) группы инверсии пространственных координат всех частиц, 3) группы всех перестановок электронов. Однако, за исключением самых простых молекул, такая группа содержит слишком много элементов и применить ее в практических целях совершенно невозможно. Даже если не рассматривать операции перестановок электронов, перестановочно-инверсионная группа ядер для многих молекул сама по себе содержит слишком много элементов (например, 2-5 =240 для PF5). Как впервые показал Лонге-Хиггинс [70], в подавляющем большинстве случаев нет особой необходимости использовать группы [c.5]

Тип симметрии группы К (П) для спиновых функций молекулы AaBft Dd... определяется построением прямого произведения с самим собой а раз для ядер А, Ь раз для ядер В и т. д. Тип симметрии полной ядерпой спиновой функции молекулы получается путем перемножения всех этих произведений. Данная ядерная спиновая функция Фпз преобразуется по неприводимому представлению где I — квантовое число полного ядерного спинового углового момента данного состояния. [c.118]

Гиростатом (по Кельвину) называется система, состоящая из твердого тела с неподвижной точкой и симметричного ротора, который может свободно вращаться вокруг некоторой оси, неподвижной относительно твердого тела. Эта система имеет четыре степени свободы пространством положений является прямое произведение 50(3) х 5 . Кинетический момент ротора как вектор подвижного пространства постоянен обозначим его Л. Полный кинетический момент системы относительно неподвижной точки равен т + X = 1и) + X. Екли на систему не действуют внешние силы, то вектор угловой скорости и) удовлетворяет обобщенному уравнению Эйлера [c.42]

Для удобства читателя и сохранения целостности изложения материала ряд таблиц типов симметрии и характеров наиболее важных точечных групп, спиновых функций, прямых произведений и разложения типов симметрии при переходе к более низкой симметрии по мещены в приложениях. Там же приводятся и обширные таблицы молекулярных постоянных большинства многоатомных молекул (содержащих до 12 атомов), для которых был проведен анализ дхгскретных спектров поглощения или испускания. Данные по основным состояниям этих молекул более современны, и ими следует пользоваться вместо данных, помещенных во втором томе. Я старался по возможности охватить все исследования и включить в таблицы наиболее важные результаты, опубликованные до конца 1965 г. Тем не менее в связи с большим числом научных журналов и огромным объемом информации, публикуемой ежегодно, некоторые важные данные невольно оказались пропущенными. Я приношу свои извинения тем авторам, чьи работы изложены недостаточно полно или по недосмотру вообще оказались не упомянутыми. [c.7]

В главах 2—7 и 9 излагается теория пространственных групп. В гл. 2 дается описание структуры кристаллических пространственных групп как групп симметрии трехмерного пространства кристалла. Особое внимание уделяется математической структуре кристаллических пространственных групп. Мы не приводим полного описания 230 пространственных групп, так как оно вместе с иллюстрациями имеется в литературе. В гл. 3 дается обзор стандартного материала по теории представлений конечных групп. Хотя этот материал широко известен, он необходим нам как основа для изложения теории представлений пространственных групп. В гл. 4 излагается теория представлений группы трансляций Неприводимые представления групп трансляций кристалла играют центральную роль в теории, поэтому важно рассмотреть их надлежащим образом, а также правильно ввести понятие первой зоны Бриллюэна. Далее в гл. 5 дается детальный вывод построения и свойств неприводимых предста влений и векторных пространств кристаллической пространственной группы . Этот материал оказывается центральным для характеристики собственных функций и собственных значений при их классификации по симметрии. Рассмотрение в главах 6 и 7 посвящено определению коэффициентов приведения для пространственных групп. Эти коэффициенты приведения являются основными входящими в рассмотрение величинами при определении правил отбора. С математической точки зрения они являются коэффициентами рядов Клебша — Гордана в разложении прямого произведения неприводимых представлений двух пространственных групп. [c.19]

Более полный анализ можно выполнить в том случае, когда прямое произведение представлений в виде (17.1) или в виде (17.2), подобном (17.1), преобразуется унитарной матрицей и при этом приводится к полностью приведенной или блочно-диагональной форме. Матричные элементы унитарной матрицы, преобразующей одновременно все матрицы к приведенной форме, называются коэффициентами Клебша — Гордана. Эти матричные элементы имеют также и другой валшый и близко связанный с предыдущим смысл они являются элементами матрицы, преобразующей пространство прямого произведения [левая часть равенства (17.5)] в неприводимые пространства [правая часть равенства (17.5)]. Другими словами, эти матричные элементы позволяют определить правильные линейные комбинации произведений функций (каждое из этих произведений содержит по одной функции из каждого пространства), являющихся базисом для неприводимого представления пространства прямого произведения. Как вскоре выяснится, коэффициенты приведения содержат меньшую информацию. [c.61]

До сих пор метод полной группы успешно применялся для получения полного набора коэффициентов для ряда различных симморфных и несимморфных групп. Следует отметить, лто он использовался также для анализа значительно более сложных случаев, чем те, к которым применялся метод подгруппы. Чтобы понимать в равной степени и теорию конечных групп, и общую теорию пространственных групп в целом, необходимо полностью разобраться в методе полной группы, и только тогда применять в специальных случаях метод подгруппы, соблюдая во избежание ошибок известную осторожность. В 53—60 обсуждается структура представлений прямого произведения, полученных вычислением обычного и симметризованного прямого произведения неприводимых представлений пространственной группы. Затем излагается основной принцип построения правил отбора для волновых векторов и звезд. Используя эти правила, можно определить все коэффициенты приведения и тем самым осуществить приведение. [c.134]

Согласно теореме Машке [50], любое представление конечной группы, заданное над полем комплексных чисел, либо неприводимо, либо разлагается в прямую сумму неприводимых представлений. Это утверждение можно применить к представлениям произведений, рассмотренным в 53 и 54. Нам требуется разложить представление прямого произведения на неприводимые составляющие. Определим коэффициенты полного приведения кт к пг к"т") из основного уравнения, аналогичного (17.4) [c.140]

Проблема описания всех инстантонов для произвольной компактной классической группы Ли получила полное математическое реп]ение на основе методов алгебраической геометрии 5]. Вместе с тем, было бы очень интересно, хотя бы для дуального подкласса, построить общие (а не только параметрические типа иистантонных) решения уравнений Янга — Миллса, определяемые набором произвольных функций, достаточным для постановки задачи Коши (или Гурса). Это удается сделать при наложении дополнительных условий симметрии, упрощающих изучение рассматриваемой системы благодаря редукции полного числа ее степеней свободы к инвариантным относительно некоторой подгруппы конформной группы координатных преобразований. (Напомним, что теория Янга — Миллса инвариантна относительно прямого произведения последней и калибровочной групп.) Требование цилиндрической симметрии в / 4 позволяет в полной мере решить рассматриваемую задачу и в то же время сохранить ряд основных изических свойств теории. Именно на этом подходе мы и остановимся более подробно. [c.134]

Рассмотрим естественное отображение проколотой вещественной плоскости К 0 на проектданую прямую каждой точке проколотой плоскости сопоставляется прямая, соединяющая эту точку с нулем. График этого- отображения обозначим через М его замыкание М в прямом произведении диффеоморфно листу Мёбиуса. Проектирование я вдоль второго сомножителя переводит М в полным прообразом нуля при этом отображении является проективная прямая (называема далее вклеенной проективной прямой), проектированиЁ я диффеоморфизм. [c.86]

ЗАМЕТИМ то своеобразие этого перехода, что величины ijjV будучи представителем вектора в пространстве спиновых состояний, вполне могут оставаться вектором (или — волновой функцией) в пространстве, в котором действуют наблюдаемые,, отвечающие остальным динамическим переменным системы — координатам и импульсам — имеющим классический аналог. Поскольку спиновые динамические переменные описываюг новые внутренние степени свободы, то они коммутируют с классическими координатами и импульсами, и полное пространство векторов состояния системы можно считать прямым произведением обычного квантовомеханического пространства, в котором действуют операторы координат и импульсов,, и спинового пространства, в котором действуют а . [c.441]

Полная ортогональная группа 0(3) представляет собой прямое произведение группы врашений 0 (3) и гругшы инверсии [c.136]

Сравнивая (13.15) с (12.23), мы видим, что в рассматриваемом случае составляющие оператора полного момента количества движения совпадает (с точностью до множителя) с инфинитезимальными операторами прямого произведения представлений и. Поэтому наша задача просто сводится к разложению прямого произведения двух неприводимых представлений группы вращений на неприводимые представления. Применяя правило Клебша—Гордана, мы получаем, что квантовое число Ь может принимать значения /1+ 21 Л + 2 - 1, , 1 1 Собственные функции операторов и согласно (12.28) имеют вид [c.153]

Однако, как мы увидим ниже, не для всякого решения Ф(г1,..., Гп) уравнения (17.1) можно построить антисимметричную волновую функ-1ПНЮ (17.4), отличную от тождественного нуля. Возможность построения полной антисимметричной волновой функции накладывает определенные ограничения на неприводимые представления А д , по которым могут преобразовываться решения уравнения (17.1), имеющие физический смысл. Для того чтобы выяснить эти ограничения, мы должны сначала определить представление Д д. гругшы перестановок, по которым могут преобразовываться спиновые функции х(< 1> < 2 > о" )- Тогда мы сможем применить следующий критерий допустимыми неприводимыми представлениями Д д будут такие представления, для которых в прямом произведении Д л х Д л содержится антисимметричное неприводимое представление. [c.190]

Измерение отношений методом вращающихся секторных дисков подробно описано Куинном и Фордом [71]. Сами диски сделаны с отверстиями вблизи периферии, образованными радиальными парами ножевых кромок. Ось вращения дисков расположена параллельно пучку излучения, который проходит через отверстия и может прерываться. Средняя яркость источника, наблюдаемая через отверстия вращающегося секторного диска, выражается в соответствии с законом Тальбота произведением яркости источника на коэффициент пропускания диска, т. е. на долю времени, в течение которого излучение может проходить через отверстия. Эта доля равна отношению полного угла, занимаемого центрами всех отверстий, к 2я. Тщательно сделанный диск, имеющий, например, коэффициент пропускания 1,25 /о. позволяет получить погрешность измерения коэффициента пропускания до 0,01 %. Коэффициент пропускания может быть измерен либо механически — прямым измерением положения кромок ножей, либо хронометрированием светового пучка, проходящего через отверстие, когда диск вращается in situ. Для того чтобы выполнялся закон Тальбота и была полностью реализована указанная возможная точность в измерении отношения, жалюзийный фотоумножитель (например, EMI 9558) нуждается в низком уровне освещения катода. Средний анодный ток не должен превышать примерно 0,1 мкА, а потенциалы динодов должны быть стабильными. [c.373]

Физический смысл этого состоит в том, что при изменении температуры (или температуры торможения) газа при X = onst скорость течения изменяется прямо пропорционально, а расход — обратно пропорционально корню квадратному из температуры, так что произведение Gw остается постоянным. Отметим, что функция f X) в области дозвуковых и небольших сверхзвуковых скоростей изменяется очень мало (приблизительно на 10% в интервале Я, = 0,55 1,35). Отсюда согласно (119) следует, что импульс газового потока при постоянных полном давлении и площади сечения слабо зависит от величины X в широком диапазоне ее изменения и определяется в основном величиной произведения p F. [c.245]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...