Прямое произведение в группе

Прямое произведение в группе [c.78]

Коэффициенты приведения для прямого произведения в группе особенно просты лишь один из них, соответствующий разрешенному значению к + к, отличен от нуля, т. е. [c.78]

С другой стороны, в тех случаях, когда можно осуществить разложение прямого произведения методом группы приведения (т. 1, 58), условия ортогональности и нормировки для строк и столбцов позволяют проверить характеры для всех элементов группы приведения. Преимущество метода группы приведения заключается в том, что решается математически точно сформулированная и замкнутая задача этот метод мы применим ниже при разложении прямых произведений [c.121]

Очевидно также, что она является абелевой. Поскольку трансляционная решетка бесконечна, трансляционная группа имеет бесконечный порядок. Однако введением циклических граничных условий (Борна—Кармана) ее можно преобразовать в группу конечного порядка, но с достаточно большим порядком — Л/1Л/2Л/3 Неприводимые представления группы Т (п) записываются в виде прямого произведения неприводимых представлений групп T( j3j) являющихся циклическими с порядком Nj. Для них [c.150]

Какие операции в прямом произведении групп , Е ), т. е. в группе [c.33]

Теперь рассмотрим классификацию электронных спиновых функций по неприводимым представлениям пространственной группы К(П). Пара спиновых функций (а, р) электрона с квантовым числом спинового углового момента S = /2 преобразуется по двумерному представлению )( W пространственной группы К (П). [Группа К (П) является спиновой двойной группой для группы К(П), а введение этой расширенной группы К (П) требуется для классификации состояний с полуцелым значением углового момента. Этот вопрос рассматривается более подробно в гл. 10.] Произведения 2" спиновых функций п-электронной системы преобразуются по прямому произведению (g) [c.116]

В подобных таблицах (10.2 и 10.3) приведены статистические веса для молекулы с использованием групп Gie и Оэб. В группе Оэб все ровибронные состояния типа а имеют нулевой статистический вес, так как Гпз и Г должны быть типа S , и эти ровибронные состояния были исключены из таблицы. Чтобы получить эти результаты, необходимы таблицы прямых произведений типов симметрии групп (для группы ie это табл. 10.4, а для группы Si —табл. 10.5), из которых легко получаются типы симметрии для Gg6, так как нижние и верхние [c.255]

Расчет может быть произведен графически, как показано на рис. 34 (квадрант //). На поле графика нанесены прямые, отражающие количество Ыгр автомобилей в группе. [c.74]

Здесь обозначения g и Q приняты соответственно для электронных и ядер-ных нормальных координат. Свойства симметрии функций фе и отвечают одному из типов точечной группы равновесной конфигурации. Поэтому электронно-колебательная волновая функция тоже должна принадлежать к одному из этих типов, даже если решение больше не имеет вида произведения (1,27). Таким образом, тип симметрии электронно-колебательной волновой функции легко получить перемножением типов симметрии электронных и колебательных волновых функций. Такое перемножение, или, на языке теории групп, образование прямого произведения, уже рассматривалось в предыдущем разделе, и результаты для всех наиболее важных случаев можно найти в приложении III, которое можно использовать и для того, чтобы найти тип симметрии колебательной волновой функции из типов [c.28]

Теорема. Конфигурационное многообразие твердого тела есть шестимерное многообразие, а именно R X S0(3) (прямое произведение трехмерного пространства R м группы 80(3) его вращений), если только в теле есть три точки не на одной прямой. [c.119]

Для достижения этих целей необходимо ясно представлять общий план, которому мы будем следовать. Сначала мы кратко изложим общую теорию кристаллических пространственных групп. Далее мы проанализируем следствия симметрии пространственных групп. Эти следствия в большой мере вытекают из предположения о существенном характере вырождения, которое основано на том, что физические состояния системы образуют базис для неприводимых представлений группы симметрии. Поэтому нам потребуется изложить теорию неприводимых представлений групп симметрии, а также теорию функций, образующих базис представлений. Вследствие тесной связи между состояниями системы и представлениями большое внимание уделяется развитию теории неприводимых представлений пространственных групп излагается целый ряд методов, применявшихся в последнее время для нахождения неприводимых представлений. Непосредственным и естественным обобщением этого рассмотрения является получение правил отбора для переходов между состояниями. Для этого необходимо выполнить разложение прямого произведения двух неприводимых представлений на неприводимые составляющие. [c.15]

Симметрия Л =8 С.— ортогональная группа 0(8) — оказалась недостаточно широкой, чтобы вместить в себя прямое произведение цветовой группы квантовой хромодинамики на группу стандартной теории электрослабого взаимодействия, 5 [/(3) х 5f/(2) х t/ l), блестяще подтверждённых экспериментом. К тому же группа О (8) является группой глобальной симметрии. Однако в неё можно всё же поместить SU (3), х f/(l) х f/(l). В принципе существуют изощрённые варианты )V= 8 С., в к-рых О (8) является калибровочной, а 28 векторных полей становятся соответствующими Янга—Миллса полями. Основная нерешённая проблема моделей такого рода—присутствие большой космологич. постоянной. [c.22]

Полная перестановочно-инверсионная группа симметрии молекулы представляет собой прямое произведение трех групп 1) группы перестановок тождественных ядер, которая также может быть прямым произведением отдельных групп перестз новок, если молекула содержит более одного набора тождественных ядер, 2) группы инверсии пространственных координат всех частиц, 3) группы всех перестановок электронов. Однако, за исключением самых простых молекул, такая группа содержит слишком много элементов и применить ее в практических целях совершенно невозможно. Даже если не рассматривать операции перестановок электронов, перестановочно-инверсионная группа ядер для многих молекул сама по себе содержит слишком много элементов (например, 2-5 =240 для PF5). Как впервые показал Лонге-Хиггинс [70], в подавляющем большинстве случаев нет особой необходимости использовать группы [c.5]

Группа (2.11) является полной перестановочно-инверсионной группой ядер (ППИЯ-группа) H3F ППИЯ-группа данной молекулы содержит все возможные перестановки тождественных ядер в молекуле с инверсией и без инверсии. Поэтому ППИЯ-группа молекулы является прямым произведением полной группы перестановок ядер, введенной в (1.55), и группы инверсии = , ППИЯ-группа содержит в два раза больше элементов, чем полная группа перестановок ядер. [c.34]

Поскольку проблема критических точек относится к типу локальных задач, мы можем, как и в случае алмаза, ограничиться рассмотрением только фактор-групп. Далее, группа симметрии каменной соли является симморфной, поэтому в реальных расчетах достаточно использовать только точечные группы, поскольку фактор-группа является либо точечной группой, либо прямым произведением точечной группы на простую абелеву группу. Проводя те же расчеты, что и ранее, можно убедиться, что точки зоны Г, Хь L, W являются критическими точками для всех ветвей, а на линиях S и Q обращаются в нуль перпендикулярные этим линиям компоненты градиента Veo. Следовательно, если фононные ветви имеют максимум или минимум где-либо вдоль направлений S или Q, то возникают дополнительные критические точки. Сводка этих результатов дана в табл. 45. [c.199]

Уточнение 2. Строго говоря, многообразие положений в задаче о круговом маятнике является окружностью S. Поэтому надо учесть, что точки q- -2nn, р) отвечают одному и тому же состоянию (это условно обозначается записью mod 2я). Чтобы получить взаимно-однозначное соответствие между состояниями маятника и точками фазового портрета, надо отождествить точки плоскости R (p, q), у которых координата отличается на2я/г. При этом полосы 2я <(7< 2л (л+1) как бы наложатся друг на друга, а правая и левая границы у каждой из них склеются (так же, как при изготовлении цилиндра из прямоугольного листа бумаги). В результате получим цилиндр — прямое произведение S XR окружности S на прямую R. Как итог отождествлений он обозначается так R XS = R2/2nZ (цилиндр есть результат факторизации плоскости R2=R XR по группе сдвигов на 2пп в одном из сомножителей). [c.232]

Существует теорема (т. н. теорема Райферти [1]), серьёзно ограничивающая возможности объединения внутренних и пространственно-временных симметрий. Согласно этой теореме, нет физически удовлетворит, способа нетривиально объединить группы Ли (L) конечного ранга, относящиеся к В. с., и группу Пуанкаре (Р) пространственно-временной симметрии. Единств, способ объединения указанных групп — прямое произведение L( P, когда преобразования соответствующих симметрий действуют независимо. [c.291]

Напр., в квантовых системах с группой симметрии в собств. ф-ции ф гамильтониана можно классифицировать по неприводимымП. г 6. Теория П. г. позволяет в этом случае установить т. н. правила отбора при рассмотрении процессов перехода из одного состояния в другое. Если процесс перехода задаётся оператором 0 , соответствующим неприводимому П. г. В С, 7,), то переход из яек-рого состояния соответствующего неприводимому П. г. В)(6, 7 ), может осуществляться лишь в те конечные состояния ф.,, представление к-рых Ву содержится в разложении прямого произведения = 2 гПуВу. [c.102]

Каждый из наборов этих операций составляет отдельную группу, а каждая группа симметрии гамильтониана представляет собой прямое произведение всех этих групп. При решении конкретных задач используют не все перечисленные группы. Группа (а) используется только в связи с Паули принципом, согласно к-рому волновая ф-ция электрона антисимметрична относительно любой перестановки электронов группа (б) отражает закон сохранения для полного угл. момента молекулы группа (в) для изолнров. молекулы несущественна, т. к, трансляции молекулы не влияют на волновые ф-ции, описывающие ввутр. состояние молекулы инвариантность гамильтониана относительно групп (г) и (д) показывает, что он может содержать только чётные степени угл. моментов и пространственных декартовых координат частиц. [c.515]

Для молекулы наиб, важны группа (а) и прямое произведение групп (д) п (е), к-рое представляет собой т.н. перестановочно-инверсионную (ПИ) группу С. м. ПИ-групны введены в теорию С. м. X. К- Лонге-Хиггинсом (Н. СЬ. Longuet-Higgins) в 1963. Частным случаем ПИ-групп являются точечные группы С. м. Группы (б), (в) и (г) лншь накладывают на гамильтониан молекулы определённые условия, к-рые учитываются при решении конкретных задач. Для групп С. м. применяют обозначения, заимствованные из кристаллографии (см. Симметрия кристаллов). [c.515]

Такое же вырождение встречается при разложении произведения двух неприводимых представлений в сумму по неприводимым представлениям (ряд Клеб-ша — Гордана, см. Клебша — Гордана коэффициенты). Это разложение в группе 51/(3) может содержать одно и то же представление неск. раз, тогда как для группы 51/(2) ряд Клебша — Гордана содержит каждое представление не более одного раза. Простым примером является прямое произведение двух октетов, в разложении к-рого октетное представление появляется дважды. [c.518]

В такой теории все поля, и фермионные и бозонные входили бы на равных правах и все были бы калибровоч ными полями. Существенная трудность здесь — тот факт что присущая TV = 8 супергравитации ортогональная груп па 0(8), как калибровочная, не вмещает в себя группу стандартной модели великого объединения 5 t/(3)x х5С/(2)х 1/(1), Существуют попытки обойти эту трудность и сделать калибровочной унитарную группу SU(8). Такая группа содержит прямое произведение SU(5)x X 5t/(3). Первый сомножитель можно было бы отождествить с симметрией великого объединения, а второй—с симметрией поколений. Однако наибольщие надежды связываются с попытками достигнуть С. в рамках теории суперструны. [c.24]

Т. расслоений играет важную вспомогат. роль во многих топологич. вычислениях её задачи имеют также и самостоятельную (в т, ч. прикладную) ценность. Интуитивно, расслоение с базой В и слоем F есть семейство одинаковых слоёв непрерывно зависящих от точки л базы В (F, В—нек-рые пространства, напр, многообразия) объединение Е всех слоёв F наз. пространством расслоения, а отображение р Е- В, переводящее каждую точку слоя F в — проекцией расслоения. Простейшим примером служит прямое произведение E=F> В, где F состоит из пар вида (J, x),f—точка из F. Более сложный пример—лист Мёбиуса (расслоение с базой окружность и слоем отрезок). Если слой F является дискретным множеством, то расслоение наз. накрытием. Напр., отображение задаёт накрытие прямой над окружностью U = l, слоем является совокупность целых чисел. Накрытия—осн. инструмент при вычислении фундам, групп. Более сложные расслоения используются для вычисления гомотопич, групп. Для вычисления гомологий и когомологий расслоений используется техника спектральных последовательностей [3], [11]. [c.147]

Осн. задачей Т. расслоений является задача классификации расслоений. По определению, гомоморфизм f F, E2 задаёт эквивалентность двух расслоений pi Е В и pi.Ej-rB, если он сохраняет слои, т. е. Pi f y))=Pi(y) для всех у из . Расслоение, эквивалентное прямому произведению, наз. тривиальным. Расслоения над евклидовым пространством (без ограничений на поведение в бесконечности) тривиальны (J-расслоения над п-мерной сферой S" классифицируются элементами гомотопич. группы i i(G). Топологич. характеристики расслоений наз. характеристическими классами. Для расслоений со структурной группой G (где G—группа Ли) харак-теристич. классы могут быть выражены через кривизну расслоения, определяя тем самым топологич. заряды связностей в расслоении (или, эквивалентно, калибровочных полей). Напр., единств, топологич. инвариантом, задающим /(1)-расслоение над двумерной сферой Л , является первый класс Черна (Чжэня) [c.147]

Если молекула имеет более одного набора тождественных ядер, то определение ППЯ-группы будет более сложным, как можно показать на примере молекулы этилена С2Н4. Обозначим протоны в этилене цифрами от 1 до 4, тогда группа перестановок протонов будет S4. Ядра углерода обозначим цифрами 5 и 6, соответствующая группа S2 = f, (56) . Пометим индексами (Н) и (С) две группы перестановок ядер 84 и Группа всех возможных перестановок тождественных ядер в молекуле (ППЯ-группа) должна поэтому содержать все 4 элементов группы 84 , и все эти элементы нужно взять в комбинации с (56), всего получится 2X4 элементов. Элемент (56) должен коммутировать со всеми элементами группы 84 , так как эти две группы включают перестановки ядер различного типа. Эта ППЯ-группа называется прямым произведением групп [c.26]

В общем случае прямое произведение группы А = = Л] = Е, Л2,. .., Ап и группы В = Bi = В2, Вт , где группа А и В принадлежат к разному типу и все Л/ коммутируют со всеми В/, есть набор пУ,т элементов AiB, = BjAi), где i пробегает значения от 1 до п и / — от 1 до т. Один элемент в этом наборе, элемент А Ви должен быть тождественной операцией, а произведение любых двух элементов набора должно давать другой элемент этого же набора. Последнее утверждение следует из рассмотрения равенства [c.26]

Фй0а). в группе Сзч Щ представление прямого произведения f приводится к сумме представлений Л1 ф / и Лг, из которых первое является представлением симметричной части произведения, а последнее — представлением антисимметричной части произведения. Запии1ем симметричную часть произведения [c.84]

Неприводимые представления группы К(П) обзначаются через /)( ) (полносимметричное представление), D< >, и т. д. и в общем случае через D<> Матрица операции вращения [а, р, у] в представлении записывается как D( >( [а, Р, v]) и имеет размерность (2/ +1). Строки и столбцы матрицы D< )([a, р, ]) нумеруют по значениям числа /п/ — —/,—/ 4-1,. .., Прямое произведение двух представлений группы К(П) удовлетворяет следующему правилу [c.107]

Тип симметрии группы К (П) для спиновых функций молекулы AaBft Dd... определяется построением прямого произведения с самим собой а раз для ядер А, Ь раз для ядер В и т. д. Тип симметрии полной ядерпой спиновой функции молекулы получается путем перемножения всех этих произведений. Данная ядерная спиновая функция Фпз преобразуется по неприводимому представлению где I — квантовое число полного ядерного спинового углового момента данного состояния. [c.118]

Предполагается, что после прочтения глав 1 и 2 читатель без труда определит элементы группы полной перестановочно-инверсионной группы ядер (ППИЯ) молекулы. Эта группа является прямым произведением полной перестановочной группы ядер (ППЯ) [см. (1.55)] и группы инверсии S = Е, Е . ППИЯ-группа может быть построена для любой молекулы, если известна ее химическая формула. Как было показано в гл. 6, гамильтониан изолированной молекулы при отсутствии внешнего поля инвариантен относительно операций ППИЯ-группы, и в принципе можно классифицировать ровибронные волновые функции и энергетические уровни по неприводимым представлениям этой группы. Однако часто в этом нет необходимости. [c.221]

VI) транс-С(НР)СМР. Нумеруя протоны числами 1 и 2, ядра углерода — 3 и 4 и ядра фтора — 5 и 6, получим группу ППИЯ в виде прямого произведения [c.234]

Таким образом, переход разрешен между электронными состояниями, прямое произведение типов симметрии которых содержит тип симметрии поступательного движения в группе МС ). При этом участвующие в переходе колебательные уровни должны относиться к одному и тому же типу симметрии группы МС. Следовательно, так как волновая функция основного колебательного уровня полносимметрична, переход с поглощением из основного вибронного состояния молекулы может происходить только на колебательные уровни полносимметричных колебаний возбужденного электронного состояния. Однако если имеется вибронное взаимодействие между состояниями Ф ФС и (или) Ф"Ф" и другими виброниыми уровнями других электронных состояний [51] или если электронный момент перехода Ма(е, е") сильно зависит от координат ядер, то остается справедливым только следующее правило отбора по симметрии для вибронно-разрешенных (но электронно-запрещенных) переходов [c.349]

Для удобства читателя и сохранения целостности изложения материала ряд таблиц типов симметрии и характеров наиболее важных точечных групп, спиновых функций, прямых произведений и разложения типов симметрии при переходе к более низкой симметрии по мещены в приложениях. Там же приводятся и обширные таблицы молекулярных постоянных большинства многоатомных молекул (содержащих до 12 атомов), для которых был проведен анализ дхгскретных спектров поглощения или испускания. Данные по основным состояниям этих молекул более современны, и ими следует пользоваться вместо данных, помещенных во втором томе. Я старался по возможности охватить все исследования и включить в таблицы наиболее важные результаты, опубликованные до конца 1965 г. Тем не менее в связи с большим числом научных журналов и огромным объемом информации, публикуемой ежегодно, некоторые важные данные невольно оказались пропущенными. Я приношу свои извинения тем авторам, чьи работы изложены недостаточно полно или по недосмотру вообще оказались не упомянутыми. [c.7]

Если одно или оба состояния вырождены, произведение (11,2) в общем случае не будет полносимметричным даже для разрешенного перехода. Однако если переход разрешен, т. е. если интеграл (11,1) отличен от нуля, то могут быть найдены такие линейные комбинации взаимно вырожденных волновых функций и компонент дипольного момента, трансформируюш ихся одна в другую, которые делают это произведение нолносимметричным. С номош ью теории групп можно показать, что полносимметричное произведение может быть получено, и, следовательно, переход является разрешенным, если прямое произведение типов симметрии (Г)т) е фе и М имеет полносимметричную компоненту, т. е. [c.129]

Рассмотрим образование нелинейной молекулы ХУ2 (точечная группа С ) из атомов X, У и г. Чтобы установить, какие типы молекулярных состояний могут быть получены таким способом, необходимо прежде всего разложить неприводимые представления точечных груни атомов X, и 2 на неприводимые представления точечной группы (Л, используя табл. 58 (приложение IV). Например, если исходные состояния атомов и Рд, как это имеет место в молекуле HNO, то получаются представления М, М" и А Н " -К А" соответственно. Согласно правилам для прямого произведения (табл. 57 приложения III), результирующие молекулярные состояния будут следующих типов А", А и А. Мультиплетность, как и для линейных молекул, получается при векторном сложении векторов >5 [уравнение (111,2)], что в настоящем случае приводит к результирующим значениям спинового квантового числа 3, 2, 2, 1, 1, 0. Таким образом, получаются следующие молекулярные состояпия Ы (2), А",. М (4), М" (2), (4), - А" (2), (2), М". [c.290]

При образовании нелинейной молекулы Х г (точечная группа Сг,) из X и 2 необходимо рассматривать два атома совместно, как двухатомную молекулу, а затем полученные неприводимые представления точечной группы JJ h разложить на иредставления группы Сг и > памятуя о том, что ось второго порядка группы Сги перпендикулярна оси С , группы 7>оо/(. В качестве примера рассмотрим случай, когда атомы находятся в состоянии, а атом X — в зр -состоянии, как это имеет место при образовании молекулы НзО (или нелинейной формы молекулы СНг) из атомов в их основных состояниях. Два атома , согласно правилам Вигнера — Витмера,. дают состояния 2 , и молекулы г, которые при разложении по неприводимым представлениям С гв, согласно табл. 59, дают состояния и 4 2- Рд-Состояние атома X дает при раз.пожении (табл. 58) - - -г Комбинируя состояния молекулы г и атома X (т. е. образуя прямое произведение представлений), получим [c.290]

Если молекула XYZg должна быть построена из атома X и грунны атомов ) YZ2 приближением атома X вдоль оси симметрии YZ2, то необходимо только разложить неприводимое представление состояния атома X на неприводимые представления точечной групны 2v< а затем умножить эти представления на неприводимые представления, которым принадлежат состояния YZ2. Например, если YZ2 есть СНг в ее нижнем синглетном состоянии Ml и X — атом О в основном состоянии Pg, то, как известно (табл. 58), неприводимое представление последнего состояния раскладывается на представления Мг + + "-Sa, прямое произведение которых с представлением Mi группы СНг приводит к трем состояниям молекулы НгСО тина Mg, и (Полученный результат, в частности, показы- [c.294]

Конфигурации с эквивалентными и неэквивалентными электронами. Если в системе имеются как эквивалентные, так и неэквивалентные электроны, то результирующие состояния находятся следующим образом сначала нужно нолучить результирующие состояния для каждой группы эквивалентных электронов, а затем — составить прямое произведение неприводимых представлений, которым отвечают по своим свойствам симметрии полученные состояния. ]1ри определении результирующих состояний можно полностью пренебречь замкнутыми обо.точками, так как они всегда приводят к нолносимметричному синглетному состоянию. [c.341]

В главах 2—7 и 9 излагается теория пространственных групп. В гл. 2 дается описание структуры кристаллических пространственных групп как групп симметрии трехмерного пространства кристалла. Особое внимание уделяется математической структуре кристаллических пространственных групп. Мы не приводим полного описания 230 пространственных групп, так как оно вместе с иллюстрациями имеется в литературе. В гл. 3 дается обзор стандартного материала по теории представлений конечных групп. Хотя этот материал широко известен, он необходим нам как основа для изложения теории представлений пространственных групп. В гл. 4 излагается теория представлений группы трансляций Неприводимые представления групп трансляций кристалла играют центральную роль в теории, поэтому важно рассмотреть их надлежащим образом, а также правильно ввести понятие первой зоны Бриллюэна. Далее в гл. 5 дается детальный вывод построения и свойств неприводимых предста влений и векторных пространств кристаллической пространственной группы . Этот материал оказывается центральным для характеристики собственных функций и собственных значений при их классификации по симметрии. Рассмотрение в главах 6 и 7 посвящено определению коэффициентов приведения для пространственных групп. Эти коэффициенты приведения являются основными входящими в рассмотрение величинами при определении правил отбора. С математической точки зрения они являются коэффициентами рядов Клебша — Гордана в разложении прямого произведения неприводимых представлений двух пространственных групп. [c.19]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...