Прямая проективная

Их можно рассматривать как прямые, получаемые при сечении плоскостью конуса 2-го порядка как множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению 2-й степени как проекции окружности как кривые, получающиеся при пересечении двух проективных пучков прямых (проективное образование) как траектории точки, прямой или окружности, совершающей определенное движение (кинематическое образование) как огибающие и др. Выбор способа образования и, следовательно, построения зависит от условий задачи. [c.64]

Проективные преобразования неевклидовых пространств, переводящие в себя их абсолюты, являются движениями этих пространств. Они сохраняют расстояния между точками и углы между прямыми проективные преобразования евклидова пространства, переводящие в себя его абсолют,— это. преобразования подобия, они сохраняют углы между прямыми, расстояния же между точками при этом умножаются на один и тот же множитель. [c.344]

Одним из основных инвариантов любого параллельного проецирования, как уже упоминалось, является равенство степеней искажения отрезков параллельных прямых, т. е. равенство отношений отрезков параллельных прямых к проекциям этих отрезков- Следовательно, любая трапеция, подобная искомой, должна удовлетворять единственному требованию отношения параллельных сторон трапеций к их проекциям должны быть равны. Но это требование нисколько не ограничивает свободу выбора трапеции, подобной данной, так как это требование предъявляется к любым отрезкам параллельных прямых и является одним из основных положений теории начертательной и проективной геометрии. Все остальные элементы трапеции (непараллельные стороны, углы, диагонали и др.) могут иметь какую угодно величину и положение. [c.24]

Пространство, включающее несобственные геометрические элементы (точку, прямую, плоскость), называется проективным. [c.26]

Угол между прямыми плоскости п определим углом между соответствующими большими кругами сферы R. Угол можно определить проективным путем. [c.343]

Вследствие линейной (и, следовательно, проективной) природы соответствия, если точка Р описывает прямую г, то совокупность соответствующих полярных плоскостей я представляет собой пучок плоскостей если прямая г есть ось этого пучка, то, наоборот, каждой точке прямой г соответствует полярная плоскость, проходящая через прямую г (а именно та, которая из этой точки проектирует прямую г). Две прямые, такие, как г, г (т. е. обладающие тем свойством, что полярная плоскость любой точки одной из этих прямых проектирует другую прямую), называются взаимно полярными между собой или, как мы будем говорить для простоты, полярными. [c.183]

Одним из классических примеров принципа перенесения является известный принцип двойственности в проективной геометрии на плоскости, на основании которого все рассуждения, относящиеся к конфигурациям с прямыми и точками, сохраняют силу, если в них точки заменить прямыми, а прямые — точками. [c.68]

Метод Маннинга и Мюллера. Метод основан на предположении, высказанном впервые в работе [351, о том, что искомое распределение Sd (Е, х) находится в прямой связи с предполагаемым известным распределением проективных длин пробегов ионов, которое считается гауссовским [c.52]

При проективном преобразовании прямые сохраняются, конические сечения переходят в конические сечения. Применение его в номографии может иметь двоякую цель [c.277]

На параллельных прямых (фиг, 12) строим логарифмические шкалы, на секущей прямой — просто проективную шкалу для а. [c.320]

Наибольшее значение в развитии неевклидовой механики имеет докторская диссертация А. П. Котельникова Проективная теория векторов (Казань, 1899). Котельников дал определение и метод сложения векторов, пригодных для всех неевклидовых пространств, определил эквивалентность систем векторов, показал, что всякая система векторов эквивалентна канонической системе , состоящей из двух векторов, направленных по двум взаимно полярным прямым, и нашел необходимое и достаточное условие эквивалентности двух систем векторов. Последнее условие состоит в равенстве определяемых системами векторов величин особого рода — винтов ( моторов , динам ), тесно связанных с комплексными числами различного вида. Котельников глубоко разработал алгебру винтов, аналогичную векторной алгебре, и ее применения к геометрии, в особенности линейчатой геометрии, и механике (теория винтовых интегралов). Уже в советское время А. П. Котельников дал изящное изложение своих идей в статье Теория векторов и комплексные числа (опубликована посмертно в 1950 г.). [c.255]

Теперь необходимо перейти к координатам изображения, формируемого t+1-м элементом, и прибавить вносимые им аберрации. Однако из выражения (2.6) следует, что если аберрации сферической волны представляют собой сумму двух или более слагаемых (в данном случае — сумма аберраций г-го и i4-l-ro элементов), то при распространении волны эти слагаемые преобразовываются независимо, не влияя друг на друга. Подобное свойство закона преобразования аберраций в третьем порядке — прямое следствие того, что замена зрачковых переменных в аргументе функции волновой аберрации в этом случае полностью соответствует проективному преобразованию. В результате в третьем порядке малости будем рассматривать аберрации каждого элемента отдельно, так, как будто все остальные элементы системы безаберрационные, и только потом суммируем искажения, вносимые всеми элементами. [c.55]

Однако очевидно, что и в данном случае корректно могут быть исследованы только двумерные свойства поверхностей. Этот факт объясняется тем, что не существует прямой связи между изображением и трехмерной структурой объекта. Использование информации в виде изображений, облегчая задачу выделения и анализа различных элементов по их проективным характеристикам, не позволяет при этом произвести количественную оценку высот неровностей. Очевидно, что совместно с изображением необходимо использовать набор данных, организованный таким образом, что каждой точке изображения поставлена в соответствие величина, характеризующая ее расположение по высоте. При этом изображение требуется для выделения и идентификации различных структур, а матрица ординат — для их количественной оценки. [c.174]

Итак, евклидова плоскость, дополненная бесконечно удаленной прямой, называется проективной. [c.274]

Дополнение евклидова пространства до проективного приводит к тому, что соответствие между плоскостями и П (см. рис. 387) при центральном проектировании становится взаимно однозначным если луч 8К параллелен плоскости П, то точке К1 ставится в соответствие бесконечно удаленная точка плоскости П, присоединенная к прямым АВ и СО плоскости П, параллельным лучу 5/С,. Прообразом точки L плоскости П будет бесконечно удаленная точка прямых и М М , проведенных по плоско- [c.274]

В процессе вращения обе плоскости могут быть совмещены. Соответствие между точками таких совмещенных плоскостей уже нельзя рассматривать как результат центрального проектирования. В этом случае будет иметь место преобразование точек одной плоскости в другие точки той же плоскости, при котором сохраняется прямолинейное расположение точек и остаются неподвижными все точки некоторой прямой. Такое взаимно однозначное преобразование проективной плоскости в себя называется гомологией. [c.277]

На проективной плоскости верны следующие утверждения 1) через любые две различные точки проходит, и притом только одна, прямая [c.343]

Что касается центра гомологии, то им будет та точка картины, с которой совмещается центр проектирования (точка зрения 5). В проективной геометрии доказывается, что центр проектирования при вращении плоскости данной фигуры перемещается по окружности, плоскость которой перпендикулярна к оси гомологии. Центром этой окружности является точка пересечения картины и прямой, проходящей через точку зрения 5 перпендикулярно к оси гомологии и параллельно плоскости фигуры ). [c.348]

Проекцию точки Е, если основываться на представлениях евклидовой геометрии, вовсе нельзя построить, так как проецирующая прямая 8Е параллельна плоскости П. Все такие точки образуют в совокупности плоскость а, параллельную плоскости П и называемую предельной плоскостью. Однако можно строить проекции точек и этой плоскости, если дополнить евклидово пространство бесконечно удаленными несобственными) элементами — точками, прямыми и плоскостью. Дополненное такими элементами пространство называется проективным. [c.7]

Прежде чем говорить об элементах проективного пространства, рассмотрим построение проекции прямой линии. Чтобы спроецировать на плоскость П прямую АО, нужно через все ее точки провести проецирующие прямые и определить точки пересечения этих прямых с плоскостью П. Точки [c.7]

Совокупность бесконечно удаленных точек всех пересекающихся прямых, лежащих в проективной плоскости, образует несобственную прямую этой плоскости. [c.9]

Совокупность бесконечно удаленных прямых всех пересекающихся плоскостей пространства представляет собой несобственную плоскость. В отличие от евклидовых, прямая, плоскость и пространство, имеющие в своем составе несобственные точку, прямую и плоскость, называются проективными. [c.10]

Вернемся теперь к определению проекции точки Е на рис. 4. Введение несобственных образов проективного пространства позволяет ответить на вопрос, где расположена проекция точки Е. Действительно, проецирующая прямая ЗЕ параллельна плоскости П, следовательно, проекцией точки Е на эту плоскость является несобственная точка Е ,, которую нельзя показать на чертеже. [c.10]

Проективную прямую можно представить себе как окружность бесконечно большого радиуса, несобственную плоскость — как сферу также бесконечно большого радиуса. [c.11]

Для проективной гглоекоети верны следующие утверж гения 1) чера. /шбые две различные точки проходит прямая и только одна 2) любые Оке прямые имеют общую точку и только одну. [c.8]

Простые группы. Эю класс Г., наиб, далёкий от класса коммутативных Г. Группа О наз. простой, если она не содержит инвариантных подгрупп, отличных от самой Г. и единичной подгруппы. Примером простых Г. яиляются Г. PSU (я) проективной унитарной симметрии. Прямое произведение простых Г. иногда наз. полунростой группой (полупро-стая Г. характеризуется отсутствием абелевых инвариантных подгрупп). Описание всех простых Г Л известно (см. Ли алгебра), а описание всех конечных простых Г. близится к завершению. [c.542]

Л р и м е р ы. 1) Комплексное проективное пространство СР" по определению состоит из всех комплексных одномерных подпространств в С Ч 1. Касательное пространство Т СР отождествляется с эрмитово-ортогональной гиперплоскостью к прямой х относительно [c.521]

Приведём теперь нек-рые явные ф-лы. Пусть Г=С/ — грёхмерное комплексное проективное пространство. Введём в нём однородные координаты 2 = (zo, 2,, Zj, з), т. е, j (0. О, О, 0) координаты z = (zo, z,, Zj, Zj) и Xz = (Xso, >.Z , az2 отвечают одной и юй же точке С/ =7. Прямые / в Т"можно задавать парой их точек (г, и ), их множество СМ зависит от 4 комплексных параметров. На W возникает комплексная конформная структура из условия, что прямые, пересекающие прямую /, находятся от неё на нулевом рассгоянии [образуют комплексный световой конус с вершиной в /]. [c.53]

Легко проследить действие групп на все определённые выше геом, объекты. На многообразие прямых (СЛ/ переносится действие группы SL(4. (П) проективных преобразований пространства 7 =С/ . Очевидно, что они являются автоморфизмами конформной структуры, определённой на (ГМ. Подгруппа SU2) проективных преобразований, сохраняюн.щх квадрику Го, индуцирует группу конформных преобразований пространства Минковского. Подгруппа в 5(/(2 2), сохраняющая прямую Iпорождает Пуанкаре группу движений пространства Минковского М. Если рассмотреть в. 9642 2) подгруппу, сохраняющую не только прямую, но и ещё одну прямую /о, не пересекающую и лежащую на Г(, (напр., Z(,= —z , Г[= -2з), ТО на М получим классич. представление Лоренца группы. [c.53]

Несобственные элементы проективного пространства. Проведем проецирующую прямую SF , параллельную прямой AD. В точке она пересекается с плоскостью П. Точка с позиций евклидовой геометрии не является проекцией какой-либо точки прямой AD, так как прямые SF x, и AD параллельны. Представим себе, что проецирующая прямая SD скользит по прямой AD, проходя все время через точку S. По мере приближения точки D к точке точка D будет неограниченно удаляться отточки = O и в пределе уйдет в бесконечность. Это произойдет, когда точки В я Fa, совпадут. Следовательно, точку можно рассматривать как проекцию бесконечно удаленной точки Рсо, принадлежащей прямой AD. Таким образом, на каждой прямой, кроме обычных, собственных, точек, есть одна, особая, бесконечно удаленная, или несобственная, точка, которую при дальнейших геометрических построениях мы ни в чем не будем отличать от остальных точек прямой. [c.8]

Начертательная геометрия, в равной мере как и другие науки, использует ряд понятий, для которых легко найти аналогию в повседневной жизни. Так, понятия параллельность или пересечение не вызывают никаких сомнений, так как легко представить себе, например, параллельные прямые (натянутые проволоки) или пересечение прямой с плоскостью (труба, проходящая через отверстие в стене) и т. д. Однако понятия бесконечно больишя или бесконечно удаленная не соответствуют привычным представлениям, из-за чего их осмысливание на первых порах происходит с трудом. Введенные нами несобственные точки, прямые и плоскость следует принять, не пытаясь вначале искать аналогии, раскрывающие их смысл. Можно привести много примеров того, как понятия, вначале трудно воспринимаемые, с течением времени становятся привычными. Например, принятые вначале как должное представления о том, что линия и поверхность не имеют толщины, что точка не имеет никаких измерений, становятся в процессе изучения элементарной геометрии привычными и не требуют пояснений. В последующем, в связи с изучением других разделов начертательной геометрии и курса высшей математики бесконечно удаленные элементы проективного пространства станут такими же привычными, как и те, что заимствованы из повседневной жизни. [c.11]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...