Гильберта — Шмидта оператор

В этом параграфе мы установим, что для произвольного самосопряженного оператора Н и любого оператора Гильберта— Шмидта оператор-функция СЕ Х)С дифференцируема по ядерной норме для п.в. А Е М. Отсюда, конечно, следует, что в слабом смысле С является гладким относительно Я. Кроме того, как выясняется, в классе Гильберта—Шмидта произведение СД(Л 1е)С имеет предельные значения при б О для п.в. Л Е М. Тем самым ядерная теория рассеяния может быть уложена в стационарную схему предыдущей главы. [c.233]

Исходя из (5), легко дать прямое доказательство соотношения (1). Именно, по определению (5) 2(Х С)дп = 7п п(Л)-Вычисляя норму Гильберта—Шмидта оператора Z X]G) с помощью равенства вида (1.6.12), найдем, что при А Е Л [c.300]

Грина, доказать, что Ak W) является оператором Гильберта — Шмидта в гильбертовом пространстве Нк, причем Л/ > й > 2 и для W, не принадлежащих спектру При этом относительно предпола- [c.269]

ТОЛЬКО если оператор Н положительно определен.) Во многих важных конкретных задачах оператор Si относится к классу операторов Гильберта — Шмидта (определение которых дано в гл. 7, 3 [824], стр. 261), тогда как оператор К не принадлежит к этому классу. Если как Я, так я Н — ограниченные операторы, то спектры операторов Кий, конечно, совпадают. Теперь мы будем просто рассматривать оператор К, но всегда, когда это необходимо, рассмотрение можно легко свести к исследованию оператора, ft. [c.225]

Если этот критерий выполнен, то как оператор К, так и оператор К имеют конечный след. Таким образом, в этом случае не только оператор К принадлежит к классу Гильберта— Шмидта, но, кроме того, все члены в разложениях [c.246]

В комплексной -плоскости ситуация, конечно, значительно проще. Если 1т /г > О, т. е. если мы находимся на физическом листе плоскости Е, то оператор К принадлежит классу Гильберта — Шмидта. Из формулы (10.64) следует, что [c.268]

Теорема 1.5 (Гильберт — Шмидт). Для любого вполне непрерывного самосопряженного оператора А в гильбертовом пространстве Н существует ортонормированная система / собственных функций, отвечающих собственным значениям Я (Я =7 0), такая, что всякий элемент /еН записывается единственным образом в виде [c.22]

Soo—класс компактных операторов 2—класс операторов Гильберта—Шмидта 1—класс ядерных операторов 6р—см. с. 55 [c.11]

От гладкой теории принципиально отличается ядерная, в которой роли Яо и Я уравниваются. Стационарный вариант ядерного метода основан на том, что для произвольного самосопряженного оператора Я и любых операторов 02 класса Гильберта—Шмидта 2 произведение GlR X ie)G2 имеет при [c.18]

Множество ( конечномерных операторов плотно в р по норме I р, так что пространства р сепарабельны. Наиболее употребительны идеалы 62 операторов Гильберта—Шмидта и 1 ядерных операторов. Из (11) следует, что произведение двух операторов Гильберта—Шмидта—ядерный оператор. Верно и обратное любой ядерный оператор может быть представлен (конечно, не единственным образом) в виде произведения двух операторов Гильберта—Шмидта. Отметим, что любой симметрично-нормированный идеал 6 лежит между 61 и боо, т.е. 61 С в С воо- [c.55]

Это описание прямо переносится на операторы Гильберта— Шмидта, действующие в прямых интегралах вида (5.1) или (5.6). Именно, любой оператор Л Е 62, действующий в пространстве Н является интегральным в разложении (5.6) в смысле определения 5.2. При п.в. л.и) а х его ядро а(//, 1у) принадлежит б2(()( ), [)(а )) и [c.56]

Это ядро очевидно принадлежит Ь2(М+ хН+), а потому сам оператор принадлежит классу Гильберта—Шмидта 62- Отсюда вытекает компактность оператора (5), что завершает проверку существования ВО Н, Но). [c.127]

ОПЕРАТОРОВ ГИЛЬБЕРТА—ШМИДТА [c.233]

Установим дифференцируемость спектральной меры Е ) самосопряженного оператора Е( ), окаймленной какими-либо операторами Гильберта—Шмидта. Напомним, что в силу теоремы Лебега монотонная функция ( (Л)/,/) при любом / ЕН дифференцируема для п.в. Л Е М. В то же время Е Х + е) -Е (Л-- ) = 1 при Л Е т(Я) и любом б > 0. Поэтому слабой (операторной) производной спектральная мера не может иметь.ни в одной точке спектра. Положение меняется при окаймлении Е операторами Гильберта—Шмидта. [c.235]

Теорема 5. Пусть Н—самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве Н, а С Н 0—оператор Гильберта — Шмидта. Тогда при п.в. Л Е М оператор-функция СЕ Х)С дифференцируема по ядерной норме, оператор-функция С6 Х, е)С имеет при е О предел в и [c.235]

Согласно теореме 5 произвольный оператор Гильберта— Шмидта является слабо гладким (в смысле определения 5.1.1) относительно любого самосопряжённого оператора Н. Кроме того, по сравнению с общими результатами 5.1 при С Е 2 пределы (5.1.8) и (5.1.9) существуют в более сильном смысле. [c.237]

Лемма 1. Пусть Я—самосопряженный оператор в Л, а С Н 0—оператор Гильберта—Шмидта. Тогда при любом / имеет место неравенство [c.244]

При рассмотрении возмущений ядерного типа остановимся вначале на случае V Е i. Существование сильных нестационарных ВО W = W H, Но] J) следует сейчас из теоремы 6.2.3. Ее доказательство, данное в 6.2, основывалось на результатах гл. 5. При этом использовалось, что согласно теореме 6.1.5 любой оператор Гильберта—Шмидта G является слабо Я-гладким относительно произвольного самосопряженного оператора Я, а согласно следствию 6.1.11 сильные пределы GR X ie)f при е О и п.в. А G М существуют на [c.293]

Пусть Я—произвольный самосопряженный оператор, а (1.5.6)—разложение его абсолютно непрерывного подпространства в прямой интеграл. Для ядерного оператора А в И будем строить ядро оператора РАР. Как и любой оператор Гильберта—Шмидта, ядерный оператор РАР является интегральным (см. п. 5 1.6), причем для его ядра величина (1.6.16) конечна. Сейчас, однако, важно приписать ядру а( /,г/) значения на прямом произведении ЛхЛ, где Л—какое-либо множество полной меры в а. [c.299]

Будем исходить из результатов 5.4. Оператор А Е можно представить в виде (5.4.1), где С 71 0—оператор Гильберта—Шмидта, а оператор А (3 0 ограничен. Согласно теореме 6.1.5 любой оператор Гильберта—Шмидта является слабо Я-гладким. Тем самым нужное понимание ядра оператора РАР дается определением 5.4.2. Напомним, что оператор в равенстве (5.4.6) задается соотношением [c.299]

Наряду с определением 5.4.2 существуют и другие способы, позволяющие оператору класса 61 приписать ядро на измеримом квадрате полной меры. Наиболее естественный из них получается путем аппроксимации ядерного оператора конечномерными. Одномерному оператору А = (, и)у сопоставляется ядро = (-, ( /))г (//), заданное на квадрате ЛхЛ, где Л—множество, на котором определены функции й V. Аналогичным образом строится и ядро конечномерного оператора. В п. 5 1.6 соответствие между операторами и ядрами было распространено на класс Гильберта—Шмидта. При этом, однако, ряд (1.6.17) сходился лишь в метрике (1.6.16), а потому его сумма определялась на множестве полной меры в х не имеющем, вообще говоря, структуры прямого произведения. Сейчас мы увидим, что для операторов из, 61 та же процедура приписывает ядру значения на измеримом квадрате полной меры. [c.301]

В случае 0 = Н = еще одно выражение для а(//, I/) получается при реализации операторов Гильберта—Шмидта Со и С как интегральных операторов с квадратично интегрируемыми ядрами до( л,1/) и д ц,1/). Пусть А = 0 0о и Л состоит из точек А, где конечны интеграл (6) и аналогичный интеграл от а о(а ) Л) - Подставляя в (13) выражение (7) для Z fl G) и аналогичное выражение для ( / Со), найдем, что [c.302]

Пусть V = G Go, где Go и G—операторы Гильберта—Шмидта. В силу свойства (1.7.11) детерминант в левой части (7) равен [c.351]

Напомним (см. п. 1 7.5), что операторы Zq(A Go) и Zq(X]G) действуют из 7I в f)o(A) и принадлежат классу Гильберта— Шмидта. Таким образом, в силу непрерывной зависимости Det(7 А) от А при изменении А в норме 61 вытекает, что предел в левой части (7) равен [c.351]

Гладкость слабая оператора Гильберта-Шмидта, 239 Группа унитарная, 41 [c.410]

Важным частным случаем фредгольмова оператора является оператор Гильберта — Шмидта (см. Интегральное уравнение). Истречатотся И. о. С полярным ядром (со слабой особо нностью) [c.159]

Соотношения (9.68) — (9.70) или (9.71) — (9.73) дают представление операторной функции (1 — переменной у в виде целой аналитической операторной функции, деленной на целую обычную неоператорную, комплекснозначную функцию. Следовательно, все особенности функции (1 — уК) должны быть обусловлены нулями знаменателя А (у). Таким образом, нули функции А (у) являются характеристическими значениями оператора К. Если выполнено условие (9.75а), то оператор К принадлежит к классу Гильберта — Шмидта [c.245]

Если задача рассматривается в системе центра масс и полный импульс в числодинамических переменных больше не входит, то все же коммутирует с р1 и т. д. Поэтому в соответствии с леммой гл. 7, 3, п. 2 не будет вполне непрерывным оператором. Следовательно, полное ядро как сумма операторов такого типа не только не принадлежит классу Гильберта — Шмидта, но и не является вполне непрерывным. [c.510]

Интересной иллюстрацией перечисленных лемм может служить алгебра фон Неймана Ъ Ж) ). Обозначим через Ъ Щ множество всех операторов конечного ранга, действующих в Ъ Ж). Они образуют -подалгебру в Ъ Ж). Равномерное замыкание Ъ Щ представляет собой С -алгебру % Ж) всех компактных операторов в 93 ( ) и является двусторонним замкнутым -идеалом алгебры Ъ Ш). Введем в рассмотрение множество Й Ж) всех операторов Гильберта — Шмидта на Л е й Ж) в том и только в том случае, еслиЗр Л Л < оо. Нетрудно убедиться, что % М)< Ж) с.% Ж) и й( ) — банахова -алгебра относительно нормы ЛЦ =(5рЛ Л) ". В этой норме скалярное произведение принимает вид (Л, В) = 5рЛ Б и, стало быть, 2 Ж) —алгебра Гильберта ). Пространство Ж) есть замыкание множества % Ж) по норме . .. Ц , Гильберта — Шмидта. [c.156]

Пусть Я — гамильтониан такой системы (для простоты будем предполагать, что спектр гамильтониана Я дискретен), р = ехр (— рЯ)/8р ехр (— РЯ) — соответствующая матрица плотности, отвечающая каноническому состоянию равновесия (для интересующих нас целей можно с тем же успехом рассматривать состояние большого канонического равновесия и интерпретировать Я как Я — но мы не будем вводить здесь излишних усложнений). Введем гильбертову -алгебру 2 (Ж) всех операторов Гильберта — Шмидта на Ж (стр. 156), снабженную скалярным произведением К1, К2) = К1К2. Напомним, что [c.248]

Доказательство. Рассмотрим ортонормированный базис ф пространства Я, состоящий из собственных векторов оператора si . Р фй=(гйфй, к=1, 2,.... Такой базис существует по теореме Гильберта—Шмидта [43]. Тогда [c.211]

Остановимся несколько подробнее на свойствах операторов Гильберта—Шмидта. Лля Л Е 62 при любом ортонорми-рованном базисе Уп [c.55]

Пусть Ео ),Е )—спектральные семейства самосопряженных операторов Но и Я, действующие соответственно в гильбертовых пространствах Но и Ц. Рассмотрим гильбертово пространство 02 — 2 Но Н) операторов Гильберта— Шмидта (см. п.2 1.7) и зададим проекторнозначную функцию 62 2 равенством [c.279]

Покажем, что левая часть (24) сходится к DetS /л). Рассмотрим факторизацию V = С Со на операторы Гильберта— Шмидта. Нам понадобятся сейчас аналоги результатов 6.1 для унитарного случая. Переходом к преобразованиям Кэли они получаются совершенно элементарно. Действительно, пусть некоторая точка еТ не является собственным числом оператора [/. Тогда найдется самосопряженный оператор Я, через который [/ выражается соотношением (1.13). В его терминах [c.361]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...