Неприводимые представления и пространства

Неприводимые представления и пространства [c.54]

Вследствие того что представления )(" т > д соответствующие пространства (53.5) разлагаются на сумму неприводимых представлений и пространств, эти (в- ) Результирующих векторов должны выражаться в виде суммы полных звезд. Каждое возникающее представление характеризуется [c.142]

Неприводимые представления и векторные пространства конечных групп [c.49]

Настоящая глава посвящена общей теории неприводимых представлений и неприводимых векторных пространств для конечных групп. Предполагается знакомство читателя с элементарными сведениями из теории представлений конечных групп [1—3] эти сведения будут кратко изложены (для удобства читателя и для введения обозначений) в 12—18. [c.49]

Проверим теперь соотношения полноты и ортонормированности (15.7) — (15.9), используя неприводимые представления в пространстве блоховских векторов ф ). Заметим, что в записи (15.7) — (15.9) эти соотношения относятся ко всей группе . При использовании их для следует положить ё р = 1. [c.75]

Неприводимые представления И векторные пространства пространственных групп [c.79]

Но ЭТО противоречит предположению о неприводимости представления Поэтому пространство не может быть разложено по типу (35.7). Следовательно, Е ) <" > должно быть неприводимым инвариантным пространством. Это доказывает, что допустимое представление Д( Хт) группы ( 1) должно быть также и неприводимым. [c.92]

Так же как и в 40, будем считать, что полный набор неприводимых представлений и группы П к) известен. Пусть нам требуется определить представления, входящие в произведение представлений Ясно, что это представление будет содержать представления с волновым вектором Иначе говоря, векторные пространства [c.171]

В нескольких следующих параграфах будет показано, что благодаря пространственной симметрии в конфигурационном пространстве решения уравнений движения (67.19) строятся в неприводимых векторных пространствах. Каждое такое неприводимое векторное пространство является базисом (s-/m)-мерного неприводимого представления и связано с определенной собственной частотой уравнения (67.19). [c.189]

Последним шагом является разбиение на смежные классы по к). Далее неприводимые представления группы к) используются для определения неприводимых представлений группы . Неприводимые представления группы характеризуются звездой волнового вектора к и индексом т допустимого представления Это построение определяет также структуру неприводимого векторного пространства, в котором задано представление [c.50]

В дальнейшем изложении мы прежде всего будем считать, что нам известны неприводимые представления группы , и установим целый ряд свойств этой матричной группы. При этом главную роль играет тот факт, что является нормальной подгруппой . Вследствие этого блоховские векторы являющиеся базисными для неприводимых представлений группы можно использовать всюду в качестве составляющих элементов для неприводимых представлений группы . Неприводимые представления заданы в пространстве, образуемом совокупностью 5 блоховских векторов ... Набор из [c.79]

Таким образом, возмон ны только такие физические неприводимые представления, базисом которых является вещественное пространство Е. Напомним, что основанием для этого требования является вещественность поля физических смещений и, описывающих отклонение атомов кристалла от положений равновесия. Рассматриваемое физическое поле должно быть вещественным, т. е. [c.244]

Инвариантное пространство, в котором существуют неприводимые представления-У), оказывается разным в зависимости от того, к которому из классов относятся волновые векторы и какой случай неприводимых представлений, рассматривается. [c.284]

Матричные элементы присоединенного представления группы Ли G играют важную роль во многих разделах теории представлений. Как будет видно из дальнейшего, они связывают между собой инфинитезимальные операторы левых и правых сдвигов на G, через них выражается весовая функция инвариантной меры Хаара на G. Для полупростых групп Ли с их помощью строятся старшие векторы неприводимых представлений, полностью определяющие структуру пространства представления G. [c.58]

Обратимся теперь к содержанию последующих глав 4 и 5. Каждая пространственная группа содержит нормальную подгруппу трансляций Поскольку группа X абелева (в действительности является прямым произведением трех циклических групп), ее неприводимые представления и неприводимые линейные векторные пространства одномерны. Неприводимые представления характеризуются волновым вектором к и бло-ховским вектором [21]. Набор допустимых значений к заполняет первую зону Бриллюэна кристалла и характеризует все неприводимые представления группы 3 . [c.49]

Другое сравнительно новое направление в применении теории групп — разработка программ для ЭВМ, облегчающих построение таблиц неприводимых представлений и копредставлений пространственных групп [169], а также анализ на ЭВМ структуры пространственных групп в 1, 2, 3 и 4-мерном пространствах [170]. Разработаны программы решения задач на собственные векторы и собственные значения, обсуждавшихся в т. 1, 79—85 и 101—103, [171, 172] эта техника быстро развивается и, несомненно, принесет большую пользу. [c.259]

Доказательство. Предположим сначала, что представление я неприводимо. Пусть Ф — любой ненулевой вектор из Ж. Линейное многообразие я(8 )Ч устойчиво относительно я (8 ). Следовательно, поскольку представление я(8 ) неприводимо, много,-образие я(8 ) Р либо есть О, либо плотно в Ж. Первая альтернатива исключается предположением о том, что я — ненулевое представление. Следовательно, линейное многообразие я(8 ) Р плотно в Ж, т. е. — циклический вектор. Обратное утверждение докажем от противного. Предположим, что представление я приводимо. Тогда существует собственное подпространство ВД гильбертова пространства Ж, устойчивое относительно я (3 ). Ни один вектор Ф е ЗЯ не может быть циклическим для я (8 ). Следовательно, я должно быть неприводимым представлением, и мы приходим к противоречию. [c.112]

Рассмотрим два неприводимых представления и группы 0 (3), которые реализуются в пространствах 2 +1 и Дгучь Обозначим канонические базисы этих представлений соответственно через [c.140]

На возможное возражение, что группа сама по себе является априорным понятием, можно указать, что понятие группы является результатом абстрагирования от различных подвижных инструментов циркуль, линейка и т. д., являющихся орудием геометрического исследования ). Напомним, что уже в геометрии Евклида неявно предполагалось, что все геометрические построения следует проводить с помощью только циркуля и линейки. Смысл этого требования становится ясен только с точки зрения программы Клейна. Геометрические свойства тел выражаются, таким образом, в терминах инвариантов группы и допускают изоморфную подстановку элементов пространства, в котором реализуется группа, и, следовательно, совершенно не зависят от самих геометрических объектов. Укажем, например, на реализацию геометрии Лобачевского на плоскости, предложенную А. Пуанкаре. Приведенный пример указывает на большую методологическую ценность программы Клейна. Аналогичный подход возможен также и в физике, где различные законы сохранения интерпретируются как свойства симметрии относительно различных групп. Основными группами современной физики являются группа Лоренца, заданная в пространстве Минковского, и группа непрерывных преобразований, заданная в криволинейном пространстве общей теории относительности, коэффициенты метрической формы которого определяют поле гравитации. В релятивистской квантовой механике мы переходим от группы Лоренца к ее представлениям, определяющим преобразования волновых функций. Как было показано П. Дираком, два числа I и 5, задающих неприводимое представление группы Лоренца, можно интерпретировать как константы движения угловой момент и внутренний момент частицы (спин). Иначе говоря, операторы, соответствующие этим инвариантам, перестановочны с гамильтонианом (квантовые скобки Пуассона от гамильтониана и этих операторов равны нулю). Числа, обладающие этими свойствами, называются квантовыми числами. В работах Э. Нетер дается общий алгоритм, позволяющий найти полную систему инвариантов любой физической теории, формулируемой в терминах лагранжева или гамильтонова формализмов. В основу алгоритма положена указанная выше связь между инвариантами группы Ли и константами движения уравнений Гамильтона или Лагранжа. В качестве простейшего примера рассмотрим вывод закона сохранения углового момента механической системы, заданной лагранжианом Г(х, X, (). Вводим непрерывную группу вращения, заданную системой инфи- [c.912]

ДИНАМИЧЕСКАЯ СИММЕТРИЯ квантовой системы — симметрия полного пространства векторов состояния системы, образующих одно неприводимое представление пек-рой группы или алгебры Ли, операторы к-рой объединяют в одно се.мейство все состояния системы и включают в себя операторы переходов между разл. состояниями. Термин Д. с. появился в 19()5 в fll аквивалентные др. назв.— а л-г е б р а, г е и G р и р у К) и а я спектр [2], группа иеинвариантности [3 . [c.625]

Большую роль при изучении М. а. с. кристаллов играют теоретич. методы, напр, феноменология, теория М. а. с., рассматрнпающая симметрию кристалла и его конкретную структуру [3]. Привлечение мате-матич. аппарата теории неприводимых представлений пространств, групп (см. Симметрия кристаллов) и использование идей теории фазовых переходов Л. Д. Ландау позволило решать задачи о перечислении типов М. а. с., возможных в данном кристалле. Это значн-тельно облегчает отбор пробных моделей М. а. с. для расшифровки нейтронограмм [41. Кроме того, jTue TBGHHO ускорило расшифровку широкое использование для этой цели ЭВМ. Количество магнетиков, структура к-рых определена методом магн, нейтронографии, составляет неск. тысяч. [c.649]

Одним вз наиб, завершённых разделов общей теории П. г. является теория представлений компактных групп, к к-рым. относятся все конечные группы, группы вращений плоскости И пространства, группы при различных N, рассматриваемые в теории злементарвых частиц (см. Калибровочные поля, Унитарная симметрия), и т. д. Если группа компактна, то любому её представлению можно сопоставить эквивалентное ему унитарное представление, т. е. изучение представлений компактной группы сводится к изучению её унитарных представлений. Свойства унитарного представления полностью определяются свойствами его неприводимых компонент. Всякое неприводимое унитарное представление компактной группы конечномерно. [c.102]

Классик, подход к спину. Векторное произведение в З-мерном евклидовом пространстве порождает скобку Пуассона ф-ций на нём. Симплектик. слои в данном примере — концентрич. сферы, снабжённые элементом площади. Вращений группа сохраняет площади и потому действует на сфере потоками гамильтоновых векторных полей. Гамильтонианы действия — линейные ф-ции в пространстве. Квантование этого действия возможно лишь на сферах целочисленной площади (в единицах h) и приводит к неприводимым представлениям группы вращений — как векторный , так и спинорным . [c.522]

Если классификация калибровочных бозонов и лептонов не вызывает особых проблем, то большое число адронов уже в нач. 50-х гг. явилось основанием для поиска закономерностей в распределении масс и квантовых чисел барнонов и мезонов, к-рые могли бы составить основу их классификации. Выделение изотопич. мультиплетов адронов было первым шагом на этом пути. С матем, точки зрения группировка адронов в изотопич. мультиплеты отражает наличие у сильного взаимодействия симметрии, связанной с вращения группой, более формально, с унитарной группой 51/(2)—группой преобразований в комплексном двумерном пространстве [см. Симметрия SU(2)]. Предполагается, что эти преобразования действуют в нек-ром специфич. внутр. пространстве — т. н. изотопич. пространстве, отличном от обычного. Существование изотопич. пространства проявляется только в наблюдаемых свойствах симметрии. На матем. языке изотопич. мультиплеты суть неприводимые представления группы симметрии SU (2). [c.602]

В главах 2—7 и 9 излагается теория пространственных групп. В гл. 2 дается описание структуры кристаллических пространственных групп как групп симметрии трехмерного пространства кристалла. Особое внимание уделяется математической структуре кристаллических пространственных групп. Мы не приводим полного описания 230 пространственных групп, так как оно вместе с иллюстрациями имеется в литературе. В гл. 3 дается обзор стандартного материала по теории представлений конечных групп. Хотя этот материал широко известен, он необходим нам как основа для изложения теории представлений пространственных групп. В гл. 4 излагается теория представлений группы трансляций Неприводимые представления групп трансляций кристалла играют центральную роль в теории, поэтому важно рассмотреть их надлежащим образом, а также правильно ввести понятие первой зоны Бриллюэна. Далее в гл. 5 дается детальный вывод построения и свойств неприводимых предста влений и векторных пространств кристаллической пространственной группы . Этот материал оказывается центральным для характеристики собственных функций и собственных значений при их классификации по симметрии. Рассмотрение в главах 6 и 7 посвящено определению коэффициентов приведения для пространственных групп. Эти коэффициенты приведения являются основными входящими в рассмотрение величинами при определении правил отбора. С математической точки зрения они являются коэффициентами рядов Клебша — Гордана в разложении прямого произведения неприводимых представлений двух пространственных групп. [c.19]

Более полный анализ можно выполнить в том случае, когда прямое произведение представлений в виде (17.1) или в виде (17.2), подобном (17.1), преобразуется унитарной матрицей и при этом приводится к полностью приведенной или блочно-диагональной форме. Матричные элементы унитарной матрицы, преобразующей одновременно все матрицы к приведенной форме, называются коэффициентами Клебша — Гордана. Эти матричные элементы имеют также и другой валшый и близко связанный с предыдущим смысл они являются элементами матрицы, преобразующей пространство прямого произведения [левая часть равенства (17.5)] в неприводимые пространства [правая часть равенства (17.5)]. Другими словами, эти матричные элементы позволяют определить правильные линейные комбинации произведений функций (каждое из этих произведений содержит по одной функции из каждого пространства), являющихся базисом для неприводимого представления пространства прямого произведения. Как вскоре выяснится, коэффициенты приведения содержат меньшую информацию. [c.61]

Таким методом можно получить все неприводимые представления симморфной группы для заданной звезды и выбранного канонического волнового вектора этой звезды. Соответственно определяются неприводимые векторные пространства [c.119]

Разумеется, если бы все вычисления выполнялись безошибочно, об этом не стоило бы и упоминать. В методе полной группы сделать такую ошибку, т. е. пропустить часть векторных пространств, абсолютно невозможно. На каждой стадии вычислений соотношения полноты и ортонормированности для полных неприводимых представлений одной и той же группы обеспечивают проверку правильности построения таблицы характеров и правильности разложенияГ Дело обстоит таким же образом, как и для широко известных конечных групп. [c.170]

В заключение укажем общую схему. Для любой физической величины, которая преобразуется ковариантно при общих поворотах, нужно сначала найти представления группы , т. е. пространственной группы, по которой преобразуются компоненты ковариантной физической величины. Чтобы в разлол<ении этой физической величины по нормальным координатам возникло некоторое конкретное произведение, необходимо, чтобы это конкретное произведение содержало линейное векторное пространство, соответствующее тем же представлениям группы , что и при преобразованиях коварианта как целого. Так как нормальные координаты, согласно (86.30), являются базисом для неприводимого линейного векторною пространства, во всех случаях, чтобы выбрать конкретное произведение, нужно использовать правила приведения обычного и симметризованного произведений матриц и степеней неприводимых представлений пространственных групп. [c.350]

Далее мы обращаемся к физической проблеме, представляющей для нас основной интерес, — к динамике решетки. При обычном излож нии этого вопроса [18, 32] симметрия кристалла рассматривается отдельно. Мы же развиваем здесь теорию (т. 1, 66—86), основанную на подходе, в котором симметрия тесно переплетена с физикой. Собственные векторы динамического уравнения образуют неприводимые линейные векторные пространства, т. е. базисы неприводимых представлений. Читатель, способный оценить значение этого простого результата и вытекающих из него следствий, понимает суть применения теории групп в физике. Впервые этот результат был получен Вигнером [166] для более простой проблемы молекулярных колебаний, но вскоре был обобщен Зейтцем и др. [167] на случай кристаллов. [c.256]

Под функцией на группе Ли f g) понимается функция, зависящая от набора групповых параметров, через которые выражается элемент g из G. Можно показать, что любое неприводимое представление G эквивалентно представлению операторами сдвига в некотором пространстве функций на G. В зависимости от условий, накладываемых на функции из пространства представления, возникают те или иные их типы, конкретизация которых требует введения инвариантной меры на группе G. Реализация G как группы сдвигов пргиводит к следующему определению лево-и правоинвариантных мер d[i g) [c.58]

Базис в пространстве представления. Неприводимые представления (не обязательно конечномерные) комплексных полупростых алгебр Ли ранга г удается полностью описать и классифицировать путем наложения требования существования в базисе пространства представления элемента удовле- [c.60]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...