Неприводимость поля

Доказательство того, что из цикличности вакуума следует неприводимость поля, будет приведено в разделе 4-2. [c.142]

Только что мы утверждали, что требование цикличности вакуума оказывается, по-видимому, более слабым предположением, чем неприводимость поля. Для набора ограниченных операторов осторожное слово по-видимому можно опустить любой ненулевой вектор есть циклический вектор неприводимого набора ограниченных операторов. (Доказательство. Предположим, что вектор ф О не циклический. Подпространство Ж, натянутое на векторы где — всевозможные полиномы по ограниченным операторам, очевидно, инвариантно относительно любого из этих операторов и, по предположению, не составляет [c.142]

В отсутствие внешних полей гамильтониан Й изолированной молекулы коммутирует с элементами группы молекулярной симметрии и пространственной группы К(П). Следовательно, эти две группы являются точными группами симметрии гамильтониана Й, и состояния молекулы можно классифицировать по неприводимым представлениям этих групп такая классификация называется точной. С другой стороны, группой приближен- [c.294]

Чтобы найти полный набор неприводимых представлений группы можно действовать систематическим образом, используя алгебру группы над комплексным полем [3, 22]. Таким методом можно выполнить приведение или разложение этой алгебры на прямую сумму простых двусторонних идеалов ). При разложении возникает операторов обладающих свойством [c.57]

Таким образом, возмон ны только такие физические неприводимые представления, базисом которых является вещественное пространство Е. Напомним, что основанием для этого требования является вещественность поля физических смещений и, описывающих отклонение атомов кристалла от положений равновесия. Рассматриваемое физическое поле должно быть вещественным, т. е. [c.244]

СКОГО поля является полярным вектором. В изотропном пространстве он преобразуется подобно трем компонентам сферической гармоники У/т(0, ф), образующим базис неприводимого представления группы Оз (или SU2). Инвариантной груп- [c.248]

Расчет матриц спин-орбитального взаимодействия (а также поля более низкой симметрии) в схеме сильного поля для всех конфигураций 3d" п = 1, 2,..., 9) был выполнен в работе [12] с использованием метода неприводимых тензорных операторов. Для того чтобы использовать этот метод, оператор (3.6) следует представить в форме [c.18]

Неприводимые представления и двойной группы Сду в отсутствие магнитного поля следует рассматривать как одно представление, которое мы обозначаем [c.63]

Спинор в М. Два простейших неприводимых (полу-спинорных) представления 50(3, 1) двумерны и обозначаются столбцами и I соответственно с непунктир-иыми и с пунктирными индексами. При пространственных поворотах преобразуются (как и С, в с помощью матрицы (2), а при специальных Лоренца преобразованиях — гиперболич. поворотах на угол ф в плоскости Xf , я) — с помощью матрицы к [c.645]

Поскольку в силу теоремы 4-5 поле ф неприводимо, условие (4-93) определяет оператор 0 с точностью до фазового множителя (доказательство см. в разделе 3-5). Если существует другое неприводимое поле ф, определенное в том же Ж т соответствующее тому же представлению 17 группы н. то у него будет свой оператор РСТ, скажем 0,) , тогда и только тогда, когда оно будет слабо локально. Итак, имеются два оператора РСТ, именно 0 и 0ф. Вопрос состоит в том, когда они будут совпадать Из теоремы реконструкции (теорема 3-7) и теоремы 4-7 следует, что если области определения двух полей ф и ф удовлетворяют некоторым условиям и если ф и ф совместно удовлетворяют условиям СЛК, то 0 = 0 . Мы охарактеризуем такую ситуацию утверждением, что эти поля слабо взаимно локальны друг относительно друга. В качестве примера теории поля с тремя неприводимыми полями, которые не являются слабо взаимно локальными, рассмотрим нетривиальную теорию зрмитова скалярного поля ф( ), которому соответствуют асимптотические свободные по.яя ср "(л ), ф " (х), п предположим, что в данной теории спра- [c.240]

Теперь мы покажем, что свойство слабой взаимной локальности относительно данного неприводимого поля гранзитивно в смысле, устанавливаемом следующей теоремой. (Обычное определение транзитивности соотношения = состоит в том, что если а = Ь и Ь = с, то а = с. Такая строгая транзитивность имеет место, если для полей <Р2 и фз вакуум так же является циклическим вектором.) [c.242]

На возможное возражение, что группа сама по себе является априорным понятием, можно указать, что понятие группы является результатом абстрагирования от различных подвижных инструментов циркуль, линейка и т. д., являющихся орудием геометрического исследования ). Напомним, что уже в геометрии Евклида неявно предполагалось, что все геометрические построения следует проводить с помощью только циркуля и линейки. Смысл этого требования становится ясен только с точки зрения программы Клейна. Геометрические свойства тел выражаются, таким образом, в терминах инвариантов группы и допускают изоморфную подстановку элементов пространства, в котором реализуется группа, и, следовательно, совершенно не зависят от самих геометрических объектов. Укажем, например, на реализацию геометрии Лобачевского на плоскости, предложенную А. Пуанкаре. Приведенный пример указывает на большую методологическую ценность программы Клейна. Аналогичный подход возможен также и в физике, где различные законы сохранения интерпретируются как свойства симметрии относительно различных групп. Основными группами современной физики являются группа Лоренца, заданная в пространстве Минковского, и группа непрерывных преобразований, заданная в криволинейном пространстве общей теории относительности, коэффициенты метрической формы которого определяют поле гравитации. В релятивистской квантовой механике мы переходим от группы Лоренца к ее представлениям, определяющим преобразования волновых функций. Как было показано П. Дираком, два числа I и 5, задающих неприводимое представление группы Лоренца, можно интерпретировать как константы движения угловой момент и внутренний момент частицы (спин). Иначе говоря, операторы, соответствующие этим инвариантам, перестановочны с гамильтонианом (квантовые скобки Пуассона от гамильтониана и этих операторов равны нулю). Числа, обладающие этими свойствами, называются квантовыми числами. В работах Э. Нетер дается общий алгоритм, позволяющий найти полную систему инвариантов любой физической теории, формулируемой в терминах лагранжева или гамильтонова формализмов. В основу алгоритма положена указанная выше связь между инвариантами группы Ли и константами движения уравнений Гамильтона или Лагранжа. В качестве простейшего примера рассмотрим вывод закона сохранения углового момента механической системы, заданной лагранжианом Г(х, X, (). Вводим непрерывную группу вращения, заданную системой инфи- [c.912]

ПОЛЯ, заданного уравнениями (73.4), для когерентной системы. Согласно условию (74.4) интеграл (74.5) имеет одно и то же значение для всех совместимых контуров в R. Это означает, что если R — односвязпое пространство, то и — однозначная функция тех координат, которые определяют положение точки В. Если R — многосвязно, то 7 — многозначная функция. Пусть i, 2,- . . ., m— полная система независимых неприводимых контуров. Тогда две любые кривые, проходящие через точку различаются числом контуров, которые они охватывают имеем, таким образом, [c.244]

По угл. зависимостям и характеру поляризации И. с. можно разбить на rpymibi, связанные с т. и. пол я-р н 3 а ц, моментами. Линейным преобразованием (разложением по неприводимым тензорам группы вращений) матрицу плотности можно привести к такому виду, в к-ром она распадается на ряд групп, пред-ставляювц1х тензоры разд. рангов, каждый нз к-рых преобразуется операцией вращения самостоятельно. Эти группы и составляют иоляризац. моменты. Компоненты этих моментов, перпендикулярные оси квантования, непосредственно связаны с когерентностью. [c.169]

Квантовая механика ставит в соотвегствие каждой частице поле её волновой ф-цин, дающее распределение различных, относящихся к частице физ, величин. Концепция поля является основной для описания свойств элементарных частиц в их взаимодействий. Конечная цель в этом случае — нахождение свойств частиц из ур-ний поля и перестановочных соотношений, определяющих квантовые свойства материи. Возможный вид ур-ний поля ограничен принципами симметрии и инвариантности, являющимися обобщением эксперим. данных. Лоренц-ковариантность, напр., требует, чтобы волновые ф-ции частиц преобразовались по неприводимым представлениям группы Лоренца. Таких представлений бесконечно иного, однако только часть пз них реализована в природе и соответствует тем или иным элементарным частицам. Реально используются наиб, простые ур-вин полей, являющиеся локальными и не-ревормвруемыми. Попытки построения теорий, не удовлетворяющих этим требованиям,— нелинейной, нелокальной и т. п. теорий поля — влекут за собой пересмотр ряда важнейших принципов, существенных при физ. интерпретации теории (принцип суперпозиции, положительность нормы волновой ф-цив н т. Д.). [c.56]

Одним вз наиб, завершённых разделов общей теории П. г. является теория представлений компактных групп, к к-рым. относятся все конечные группы, группы вращений плоскости И пространства, группы при различных N, рассматриваемые в теории злементарвых частиц (см. Калибровочные поля, Унитарная симметрия), и т. д. Если группа компактна, то любому её представлению можно сопоставить эквивалентное ему унитарное представление, т. е. изучение представлений компактной группы сводится к изучению её унитарных представлений. Свойства унитарного представления полностью определяются свойствами его неприводимых компонент. Всякое неприводимое унитарное представление компактной группы конечномерно. [c.102]

Неприводимое конечномерное нредставление полу-простой алгебры Ли полностью определяется своим старшим весом (теорема Картам а). Для кажд простой алгебры Ли с г-мерной подалгеброй Картава имеется г доминантных весов (i I, -., г), называемых фундамеШтальныни,твкях, чТо остаяКвые доминант- [c.103]

Как и в случае группы Лоренца, представления П. г. строят с помощью односвязЕой группы. Уд — универсальной накрывающей для группы (см. Группа). Для квантовой теории поля важны унитарные неприводимые представления У (см. Представление группы). Согласно требованию релятивистской инвариантности, векторам состояния отвечают т, н. проективные представления, задаваемые с точностью до фазового множителя. Имеет место теорема Вигнера — Баргмана, утверждающая, что любое проективное представление группы У порождается обычным однозначным унитарным представлением группы Уд. [c.173]

Классик, подход к спину. Векторное произведение в З-мерном евклидовом пространстве порождает скобку Пуассона ф-ций на нём. Симплектик. слои в данном примере — концентрич. сферы, снабжённые элементом площади. Вращений группа сохраняет площади и потому действует на сфере потоками гамильтоновых векторных полей. Гамильтонианы действия — линейные ф-ции в пространстве. Квантование этого действия возможно лишь на сферах целочисленной площади (в единицах h) и приводит к неприводимым представлениям группы вращений — как векторный , так и спинорным . [c.522]

Выделение из суперполей неприводимых представлений осуществляется, как и в случае обычных полей, либо наложением дополнит, условий (устраняюищх лишние супер-спины), либо за счёт требования калибровочной инвариантности. Чтобы условия неприводимости были ковари-антны относительно суперсимметрии, они должны строиться из ковариантных дифференц. операторов. Такими операторами являются ковариантные спинорные производные [c.28]

ТАХИОНЫ—гипотетич. частицы, скорость к-рых превышает скорость света в вакууме с. Т. как объекты, описывающиеся одним из неприводимых представлений Пуанкаре группы, впервые введены Ю. Вигнером [I]. Задача о нахождении эл.-магн. поля, создаваемого электрич. зарядом, движущимся со сверхсветовой скоростью, рассматривалась гораздо раньше О. Хевисайдом (О. Heaviside, 1888) [c.43]

Для простейшего случая нейтрального скалярного поля ф(х) X. т. формулируется следующим образом (для более сложных полей формулировка X. т. принципиально не изменяется). Пусть существуют две неприводимые системы операторов (т. е. тахие, что только оператор, кратный единичному, коммутирует со всеми операторами данной системы) квантованных полей <р,(х), —h 2 [точнее, [c.391]

Предполагается, что после прочтения глав 1 и 2 читатель без труда определит элементы группы полной перестановочно-инверсионной группы ядер (ППИЯ) молекулы. Эта группа является прямым произведением полной перестановочной группы ядер (ППЯ) [см. (1.55)] и группы инверсии S = Е, Е . ППИЯ-группа может быть построена для любой молекулы, если известна ее химическая формула. Как было показано в гл. 6, гамильтониан изолированной молекулы при отсутствии внешнего поля инвариантен относительно операций ППИЯ-группы, и в принципе можно классифицировать ровибронные волновые функции и энергетические уровни по неприводимым представлениям этой группы. Однако часто в этом нет необходимости. [c.221]

Определение группы молекулярной симметрии (МС) легче понять, рассмотрев сначала вопрос что мы делаем с группой симметрии Группа симметрии нужна для классификации энергетп-ческих уровней молекулы с помощью неприводимых представлений группы для того, чтобы идентифицировать все уровни нулевого порядка, которые могут и не могут взаимодействовать при учете а) влияния первоначально игнорируемых членов в пол Юм гамильтониане или б) влияния внешнего возмущения, такого, как электрическое или магнитное поле или электромагнитное излучение. А для этого достаточно использовать только такие тины [c.226]

Классификация электронных состояний, В уравнении Шредингера для движения электронов (1,5) величина Уе обозначает потенциальную энергию электронов в поле ядер (неподвижных). Как указано выше, в первом приближении (которое, как правило, является хорошим) мы можем рассматривать движение электронов при равновесном положении ядер. Поэтому функция Уе У 1меет ту же симметрию, что и молекул(а в определенном электронном состоя- ти. Таким образом, уравнение Шредингера, описывающее электронное ч движение, не изменяется под действием операции симметрии. Следовательно, 4 лектронная волновая функция невырожденного состояния может быть 4 олько симметричной или антисимметричной по отношению к каждой из оне-. Ч аций симметрии, допускаемых симметрией молекулы в равновесном ноло- ении, т. е. она либо остается неизменной, либо только меняет знак. В случае вырожденных состояний собственная функция может превращаться только в линейную комбинацию двух (или более) вырожденных волновых функций, так что квадрат волновой функции, представляющий собой электронную плотность, остается неизменным. Различные волновые функции могут вести себя по-разному по отношению к различным операциям симметрии данной точечной группы но, как правило, не все элементы симметрии точечной группы независимы друг от друга, поэтому возможны лишь определенные комбинации поведения волновых функций по отношению к операциям симметрии. Такие комбинации свойств симметрии называются типами симметрии (см. [23], стр. 118). На языке теории групп это неприводимые представления ])ассматриваемой точечной группы. Каждая электронная волновая функция, а следовательно, и каждое электронное состояние принадлежат к одному из возможных типов симметрии (представлений) точечной группы молекулы [c.17]

Если взять точечную группу Сз , (неплоская молекула), то необходимо лишь принять во внимание корреляцию между />з и (7зр (табл. 60 приложения IV) в этом случае получаем состояния (2), Мз, Щ (3), (2), "А 2, Е (3), 1 и . Если атом X находится в 1 ц-состоянии, как нри образовании молекулы N113 из атомов в их основных состояниях, то, разлагая неприводимые представления з на таковые точечной группы (полу- [c.292]

Очевидно, что для нелинейной конфигурации ядер волновая функция (орбиталь), зависящая от координат одного электрона, должна иметь свойства симметрии, соответствующие одному из неприводимых представлений точечной группы симметрии конфигурации ядер ). Это следует из таких же соображений, что и приведенные в гл. 1, разд. 1, для полной многоэлектронной волновой функции. Если есть несколько электронов, то они рассматриваются так, как если бы кан<дый электрон двигался в объединенном поле ядер и других электронов. В общем поле не имеет в каждый момент полной симметрии точечной группы ядерной конфигурации, однако если подходящим образом усреднить поле других электронов, то полученное поле будет обладать симметрией этой точечной группы. Вообще говоря, это подходящим образом усредненное поле представляет собой хорошее приближение к тому же полезно помнить, что только при этом допущении орбитали можно классифицировать подобно электронным состояниям. Для симво.тов, обозначающих тип орбитали, далее будут использоваться строчные буквы, соответствующие прописным буквам, используемым для обозначения непосредственно самих неприводимых представлений, подобно тому, как это было сделано для атомов и двухатомных молекул. [c.301]

Согласно теореме Машке [50], любое представление конечной группы, заданное над полем комплексных чисел, либо неприводимо, либо разлагается в прямую сумму неприводимых представлений. Это утверждение можно применить к представлениям произведений, рассмотренным в 53 и 54. Нам требуется разложить представление прямого произведения на неприводимые составляющие. Определим коэффициенты полного приведения кт к пг к"т") из основного уравнения, аналогичного (17.4) [c.140]

Согласно теореме Машке, доказанной в 15, представление )( ) (е) илр )( ) (Л либо неприводимы, либо приводимы. Подчеркнем еще раз, что это представление, по которому преобразуется полное множество всех вещественных собственных векторов для всех Зг ветвей. Аналогично есть (Зг)-мерное представление, по которому преобразуется множество всех Зг собственных векторов. Однако в этом последнем случае основное правило преобразования основано просто на свойствах векторного поля смещений. А с физическим собственным значением сй ( /) [c.223]

Глава начинается с традиционного рассмотрения симметрии обращения времени в 88—94, основанного на отождествлении оператора обращения времени с комплексным сопряжением. При этом оператор обращения времени действует на иные переменные, чем пространственные преобразования. Комплексное сопряжение состоит в преобразовании (отображении) комплексного поля (в котором заданы собственные векторы) на само себя, тогда как пространственные преобразования отображают точки конфигурационного пространства на само себя. Так как основными переменными динамики решетки являются вещественные смещения, физические неприводимые представления также должны быть вещественными. Критерий Херринга вещественности неприводимых представлений пространственных групп обсуждается в 93 [69]. В 94 дано обобщение более полезного критерия вещественности, данное Фреи [70]. Используя этот последний критерий, можно определить не только, является ли данное представление вещественным, комплексным или псевдо-вещественным, но в случае комплексного представления установить симметрию комплексно сопряженного представления. [c.233]

Для реализации (31.2) необходимо использовать таблицы характеров неприводимых представлений полиой группы , а [c.226]

Очень плодотворным оказалось обобщение этой техники на кристаллографические группы [И—21, 38, 39, 44, 45, 58, 163, 164]. В приближении сильного кубического ноля (1" оболочка разбивается на две подобо-лочки и е п П2 = п), причем одноэлектронные волновые функции 2 0 6 преобразуются по неприводимым представлениям данной кубической группы Та и Е соответственно. Танабе и Сугано [И] рассчитали матрицы энергий (1"-конфигураций в сильном кубическом поле. Свойства ЗГ- и бГ-символов для кубических групп и их численные значения приведены в ряде работ [И, 20, 21, 39, 44, 45, 163, 164]. бГ-символы [c.51]

Одночастичный оператор действует иа орбитальную часть волновой функции, а оператор qa — на ее спиновую часть. 2 — неприводимое представление спинорной группы, а а — строка представления. Если на базе волновых функций сильного кубического поля рассматривать действие полей более низкой симметрии, то оператор кристаллического поля принадлежит к операторам типа Т. На кристаллографические группы была распространена теорема Вигнера — Эккарта [57], которая одновременно является определением приведенпого матричного элемента < > [c.53]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...