Действие по Гамильтону

Концы струны закреплены в неподвижных точках Л и В, расстояние между которыми равно /. Считая, что натяжение 7 струны одинаково во всех точках, определить действие по Гамильтону для малых колебаний струны. [c.377]

Абсолютно гибкая однородная и нерастяжимая нить длины I подвешена за один конец в точке О. Определить действие по Гамильтону для малых колебаний нити около вертикали, происходящих под действием силы тяжести. Масса единицы длины нити равна р. [c.377]

Выражение действия по Гамильтону [c.399]

Функция действия по Гамильтону имеет вид (144.6) [c.406]

Подставим в выражение функции действия по Гамильтону это аначение L [c.406]

Какие выражения называются действием по Гамильтону и действием по Лагранжу и какова зависимость между ними [c.413]

Даламбер 5, 279 Действие по Гамильтону 397 [c.420]

Действие по Гамильтону. Вариация действия [c.271]

В рассматриваемом случае (см. рис. VII.1) как так и — функции а. Поэтому вариация действия по Гамильтону может быть записана так [c.275]

На прямом пути удовлетворяются уравнения Лагранжа системы поэтому все выражения, стоящие в скобках под знаком интеграла в формуле (61), тождественно равны нулю. Отсюда сразу следует, что на прямом пути вариация действия по Гамильтону равна нулю, т. е. что прямой путь является экстремалью рассматриваемой вариационной задачи — на прямом пути действие по Гамильтону достигает стационарного значения. [c.279]

Установленное выше утверждение о том, что прямой путь доставляет действию по Гамильтону стационарное значение, называется вариационным принципом (или началом) Гамильтона. Принцип Гамильтона замечателен тем, что он выделяет прямой путь среди всех окольных путей, которые могут быть проведены между двумя точками расширенного координатного пространства, устанавливает общее свойство прямого пути, его отличие от иных кинематически возможных, но не реализующихся в рассматриваемом потенциальном поле путей ). [c.279]

Обратим внимание теперь на то, что справедливо и обратное утверждение если соответствующая а = 0 кривая из пучка, представленного на рис. VI 1.2, такова, что действие по Гамильтону достигает на этой кривой стационарного значения и при а = 0 вариация действия равна нулю, то эта кривая удовлетворяет уравнению Лагранжа, т. е. является прямым путем. Действительно, если положить равной нулю вариацию действия в левой части уравнения (61) и вспомнить затем, что вариации координат б<7у независимы и могут быть выбраны произвольно, то отсюда следует, что выражения, стоящие в скобках под знаком интеграла, порознь равны нулю, т. е. что уравнения Лагранжа удовлетворяются всегда, когда в формуле (61) левая часть обращается в нуль. [c.280]

Чтобы ответить на эти вопросы, выпишем действие по Гамильтону для старой системы [c.281]

Эти утверждения верны только в том случае, когда на выбор окольных путей не накладываются какие-либо дополнительные условия. Если же при наличии на прямом пути кинетического фокуса ограничиться выбором окольных путей, также проходящих через этот фокус, то на прямом пути будет достигаться минимум действия по Гамильтону, [c.283]

Обратимся вновь к рис. VI 1.3. Из точки А в точку В ведут два прямых пути —по меньшей и по большей дугам большого круга выбор одного из них определяется направлением начальной скорости. Путь по меньшей дуге не проходит через точку Л, и на этом пути действие по Гамильтону достигает минимума путь по большей дуге проходит через кинетический фокус А, и на этом пути действие также достигает стационарного значения, но уже не минимально. [c.284]

Примем в качестве кривой q t) отрезок от t = if до t = прямого пути системы с лагранжианом L. Рассмотрим действие по Гамильтону на этом пути [c.288]

Иг теграл (74) имеет вид действия по Гамильтону, заданного на однопараметрическом семействе кривых, и поэтому можно воспользоваться общей формулой (60) для вариации действии б/. В силу (60) имеем [c.289]

Для построенного таким образом семейства можно рассмотреть действие по Гамильтону и вариацию действия. Для вариации действия по Гамильтону воспользуемся формулой (60). Особенность рассматриваемой задачи состоит в том, что все кривые однопараметрического семейства являются прямыми путями и, следовательно, на них тождественно выполняются уравнения Лагранжа. Поэтому интеграл, стоящий в правой части формулы (60), в данном случае тождественно обращается в нуль, и формулы для приращения функционала содержат только проинтегрированную часть [c.295]

Введенный так функционал W является аналогом действия по Гамильтону 1. Он получается из действия по Гамильтону, если функцию Лагранжа заменить на функцию Якоби, t на q и ограничить выбор пучка сравниваемых кривых изоэнергетическим [c.330]

Действием по Гамильтону за промежуток времени tu /2) называется величина S, определяемая выражением [c.214]

Принцип Гамильтона — Остроградского утверждает, что вариация действия по Гамильтону [c.215]

Принцип Гамильтона—Остроградского дает только необходимое условие стационарности, действия по Гамильтону на прямом пути. Для решения вопроса о характере экстремума следует определить знак второй вариации 6 5, Значите действия по Гамильтону на прямом пути по сравнению с окольными будет минимальным, если 6 S>0. Если промежуток времени ti—U выбрать достаточно малым, то условие б 5>0 будет выполнено н действие по Гамильтону на прямом пути будет минимальным по сравнению с окольными путями ), [c.220]

Пример 9.4.1. Составим функцию действия по Гамильтону для движения по инерции свободной материальной точки. Пусть х, у, г — декартовы координаты точки и = 0. Тогда закон движения принимает вид [c.643]

Согласно принципу Гамильтона, этот закон есть экстремаль функционала действия. Поэтому функция действия по Гамильтону вычисляется следующим образом [c.643]

Знание функции 5 действия по Гамильтону дает возможность найти закон движения системы. Функция 8 удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби. Тем самым имеется возможность с помощью методов теории уравнений в частных производных исследовать свойства движения динамических систем. [c.644]

Доказательство. Согласно теореме 9.4.1, дифференциал функции действия по Гамильтону выражается формулой [c.659]

Следствие 9.7.6. Движение, описываемое каноническими уравнениями Гамильтона, можно интерпретировать как каноническое преобразование, в котором роль параметра играет время 1, а производящей функцией служит функция 5 действия по Гамильтону. [c.687]

Составить функцию действия по Гамильтону для гармонического осциллятора. [c.701]

Условие (4Г) выражаег так называемый принцип Гамильтона. Принцип Гамил1, гопа утверждает, что для действительного движения системы из одною но. южения в другое действие по Гамильтону имеет экстремум по сравнению с другими возможными движениями системы при фиксированных значениях /, на границах, т. е. при (, и /j. [c.411]

Возьмем выражение действия по Гамильтону для голономной консервативной системы между двумя конфигурациями А я В и положим, что конфигурация, 4 соответствует моменту = 0, а конфигурация 7 —моменту t, который прп движении по возможным траекторгьчм с постоянной sneprneii будет перем. мной велпчино . [c.410]

Эта формула устанавливает зависимость между действием по Лагранжу W и действием по Гамильтону S Сопоставим теперь принцип Мопертюи— Лагранжа с принципом Гаммльтона — Остроградского. В принципе Мопертюи — Лагранжа сравниваются движения консервативной системы, oeepuiaejWM с одной и той же энергией, тогда как в принципе Гамильтона —Остроградского сравниваются движения, совершаемые за один и тот же промежуток времени. [c.411]

Записанный так функционал, определенный на пучке (40), носит название действия по Гамильтону и играет важную роль при исследовании движения а потенциэотьных полях. Из сказанного следует, что движение, удовлетворяют, е уравнениям Лагранжа, представляет экстремаль функционала (48). В следующем параграфе мы докажем приведенную выше теорему Эйлера для однопараметрического пучка специального типа, пока же выведем формулу для вариации действия эта формула потребуется нам в дальнейшем. [c.275]

Рассмотрим действие по Гамильтону на этом пучке кривых. Сравнивая возникающую так задачу с задачей, рассмотренной в 4 при выводе общей формулы для приращения действия по Гамильтону, обратим внимание на то, что все кривые введенного сейчас в рассмотрение пучка (рис. VI 1.2) пергсекаются в начальной и в конечной точках А и В. Это значит, что в точках А и В ни значения координат, ни значения времени t не меняются при изменении параметра а, т. е. [c.279]

Рассмотрим какой-либо прямой путь, идуш,ий из точки А в точку В. Если на этом прямом пути между точками Л и В нет кинетического фокуса, то интересуюший нас экстремум действия по Гамильтону является минимумом. В том же случае, когда между точками Л и 5 на прямом пути располсжен кинетический фокус, то действие по Гамильтону хотя и экстремально на прямом пути, но утверждение, что этим экстремумом всегда является минимум действия, уже не верно в зависимости от условий исследуемой динамической задачи это может быть минимум, максимум или экстремум иного типа ). [c.283]

КПК движение по окольному нути происходит за тот же промежуток в )емени, что и по прямому, то скорость дви>кения по прямому пути будет миинмальноп. Если же дуга MqM будет больше лЛ, то наименьшее. чиачение действия по Гамильтону будет достигаться по дополнительной кратчайшей дуге [c.224]

Курс теоретической механики Ч.2 (1977) -- [ c.397 ]

Классическая механика (1980) -- [ c.275 ]

Основы теоретической механики (2000) -- [ c.613 ]

Лекции по аналитической механике (1966) -- [ c.103 ]

Теоретическая механика (1999) -- [ c.474 ]

Курс теоретической механики Часть2 Изд3 (1966) -- [ c.123 ]

Курс лекций по теоретической механике (2001) -- [ c.198 ]

Аналитическая механика (1961) -- [ c.643 ]

Нелинейная теория упругости (1980) -- [ c.147 ]

Общая теория вихрей (1998) -- [ c.43 ]

Аналитические основы небесной механики (1967) -- [ c.102 , c.153 ]

Основные принципы классической механики и классической теории поля (1976) -- [ c.27 ]

Теоретическая механика (1981) -- [ c.247 , c.298 ]

Курс теоретической механики Изд 12 (2006) -- [ c.582 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...