Алгебра группы

Свойство 4. Поскольку операция произведения матриц является ассоциативной, то из предыдущих двух свойств вытекает, что множество всех ортогональных матриц образует группу. (Напомним, в алгебре группой называется любое множество элементов, в котором есть единица и для каждого элемента существует обратный в силу единственной ассоциативной операции. См. гл. 11.) Эта группа имеет стандартное обозначение 0(3). Множество ортогональных матриц с положительным детерминантом образует подгруппу. Ее обозначают 50(3). Читается это обозначение так специальная, ортогональная группа преобразований трехмерного пространства в себя. [c.28]

Чтобы найти полный набор неприводимых представлений группы можно действовать систематическим образом, используя алгебру группы над комплексным полем [3, 22]. Таким методом можно выполнить приведение или разложение этой алгебры на прямую сумму простых двусторонних идеалов ). При разложении возникает операторов обладающих свойством [c.57]

При этом в случае невырожденной матрицы I2 возникающая алгебра (группа) Ли изоморфна исходной. [c.14]

Фундаментальные представления. Среди неприводимых представлений простых алгебр (групп) Ли ранга г выделенную роль играет набор г так называемых фундаментальных представлений, каждому из которых отвечает старший фундаментальный вес /((Л), 1 г, обозначаемый 1 = 0,. .., О, 1, [c.61]

Элементы с верхними индексами ( ) принадлежат пространству, дуальному алгебре группы О, а билинейная форма (,) выбирается согласованной с нормировкой [c.73]

Двоичный логический элемент — элемент, устройство или функциональная группа, реализующая функцию или систему функций двоичной алгебры логики, которые представляют собой элементарную, но электрически законченную схему, например элемент И, элемент ИЛИ, элемент НЕ, элемент задержки, триггер, дешифратор, сумматор и т. д. [c.195]

Кососимметричные матрицы образуют алгебру Ли группы 50(3), обозначаемую so(3). Алгебра Ли — это векторное пространство с операцией V2], билинейной по своим аргументам и удовлетворяющей следующим условиям [c.196]

Т. о., алгебра Ли группы Ли G является касательным пространством к многообразию G в точке е. [c.543]

Наиб, важными примерами ГЛ являются Г, GL (п, R) всех невырожденных (обратимых) га х матриц с веществ, элементами и Г. GL ( , С) всех невырожденных пх матриц с комплексными элементами. Координатами в этих Г. могут служить сами матричные элементы. Поэтому GL(n, К) —это веществ. ГЛ размерности п , а GL n, С)—комплексная ГЛ размерности п (к-рую можно рассматривать как веществ. ГЛ размерности 2п ). Алгеброй Ли группы GL (п, R) [соответственно GL (п. С)] является пространство всех пхп матриц с веществ, (соответственно комплексными) элементами. Она обозначается через (п, R) [соответственно 1 (и, С)1. [c.543]

ГЛ наз. односвязной, если любая замкнутая кривая в этой Г. может быть непрерывной деформацией стянута в точку. Для любой ГЛ G совокупность G тех её элементов, к-рые можно соединить с единицей непрерывкой кривой, образует максимальную связную подгруппу в G, наз. связной компонентой единицы Г. G. Подгруппа Gq инвариантна в G, а фактор-группа GlG дискретна. Напр., для Г. 0(п) связной компонентой единицы является подгруппа SO n). Фактор Грунна О п)1 SO п) состоит из двух элементов. Свя.зная ГЛ G является разрешимой (соответственно нильпотентной, почти простой, полупростой), если и только если её алгебра Ли разрешима (соответственно нильпотентна, проста, полупроста). [c.544]

Вырождение уровней энергии квантовой системы, находящейся в стационарном состоянии, связано с наличием у неё оек-рой симметрии (группы инвариантности), т. е. с наличием набора операторов, коммутирующих с гамильтонианом системы, к-рые обычно образуют конечномерную Ли алгебру. Помимо вырождений, связанных с явной симметрией гамильтониана (напр., относительно вращений в трёхмерном пространстве), [c.625]

Понятие Л. а. возникло в связи с изучением групп Ли, т. к. элементы группы Ли можно представлять в виде экспонент от элементов Л. а. (см. Группа). Если группа Ли реализована как группа матриц, то соответствующая ей Л. а. также является матричной. Это значит, что каждый элемент алгебры является матрицей, а операция коммутирования определяется как обычный коммутатор [XY = XY—YX. [c.583]

В этой главе будет показано, что с каждой градуированной алгеброй Ли связана целая серия систем уравнений в двумерном пространстве, допускающих полное интегрирование в смысле задачи Гурса с начальными данными, задаваемыми на характеристиках. При этом явный вид возникающих нелинейных систем существенным образом зависит от структуры рассматриваемой алгебры и выбора в ней градуировки. Процедура интегрирования теснейшим образом связана с теорией представлений соответствующих алгебр (групп) Ли. Критерий полной интегрируемости систем с нелинейностями определенного типа реализуется в виде условий на алгебру Ли — Беклунда, допускаемую этими уравнениями, и эквивалентен в известном смысле решению классификационной проблемы теории алгебр Ли. - [c.114]

В реляционном исчислении н алгебре полностью отсутствуют указания на то, каким образом производить поиск необходимых данных. Онсриронанне отношениями (таблицами) нреднолагает просмотр всех записен. Когда БД велика, а этот случай типичен для САПР, то невоз-мо/кио производить полный просмотр всех ее записей. Поэтому необходимо предварительное упорядочивание и объединение в группы записей по признакам поиска. [c.71]

Метод Г. С. Калицына занимает особое место в исследованиях пространственных механизмов, так как он содержит распространение основных понятий теории множеств и теории групп на кинематические цепи звеньев. Воззрение на механизмы с теоретикомножественных и теоретико-групповых позиций дает возможность обосновать применение к исследованию движений механизмов теорию представлений (преобразований) групп и, следовательно, применение операций алгебры матриц к анализу перемеш,ений механизмов. [c.135]

Непосредств. проверка инвариантности действия в Г. ф. затруднительна ввиду явной нековариантности определений jt и Л. Однако, поскольку npeo6pa jo-вания Пуанкаре образуют группу Ли (см. Группа), генераторы должпы удовлетворять соотношениям сё алгебры [c.402]

Простые группы. Эю класс Г., наиб, далёкий от класса коммутативных Г. Группа О наз. простой, если она не содержит инвариантных подгрупп, отличных от самой Г. и единичной подгруппы. Примером простых Г. яиляются Г. PSU (я) проективной унитарной симметрии. Прямое произведение простых Г. иногда наз. полунростой группой (полупро-стая Г. характеризуется отсутствием абелевых инвариантных подгрупп). Описание всех простых Г Л известно (см. Ли алгебра), а описание всех конечных простых Г. близится к завершению. [c.542]

Для определения алгебры Ли пользуются матричной реа.тнзацпей (линейным представлением) Г. пусть каждый элемент g группы G представляет собой матрицу (или, что то же, линейный оператор в конечномерной линейном пространстве). Элемент g характеризуется набором числовых параметров (координат на Г.), g = = g(x , х"). Условимся выбирать эти параметры так, чтобы единице Г. соответствовали нулевые значения параметров, e = g(0,. .., 0). Тогда и н ф и н и т е-зймальным оператором (генератором) Г. G наз. производная от ф-ции g по одному из параметров, взятая в единице Г. = [c.543]

Алгебры Ли групп 50(4,1), 50(3,2) и 50(5) являются разл. вещественными формами одной и той же комплексной алгебры Ли. По этой причине конечномерные представления Д. С. г. можно получить из конечномерных представлений группы SO (5) умноже- 5ВЗ [c.583]

ДИНАМИЧЕСКАЯ СИММЕТРИЯ квантовой системы — симметрия полного пространства векторов состояния системы, образующих одно неприводимое представление пек-рой группы или алгебры Ли, операторы к-рой объединяют в одно се.мейство все состояния системы и включают в себя операторы переходов между разл. состояниями. Термин Д. с. появился в 19()5 в fll аквивалентные др. назв.— а л-г е б р а, г е и G р и р у К) и а я спектр [2], группа иеинвариантности [3 . [c.625]

Б отличие от группы инвариантности действие операторов динамич. группы (группы неинвариаптности, или динамич. алгебры Ли) на одно выбранное стационарное состояние квантовой системы порождает все остальные стационарные состояния системы, связывая таким образом псе стационарные состояния системы, в т. ч. принадлежащие различным уровням, в одно семейство — мультиплет. При атом группа симметрии (группа инвариантности) системы является подгруппой группы Д. с. Так, для атомов водорода группой Д. с. является конформная 0(4, 2) динамич. группа, одно неприводимое вырожденное представление к-роп содержит все его связанные состояния, а для трёхмерного квантового гармонич. осциллятора — группа V (3,1), Среди генераторов группы Д. с. обязательно есть па коммутирующие с гамильтонианом, действие к-рых переводит волновые ф-ции состояний с одним уровнем энергии квантовой системы в волновые ф-ции состояний с др. энергиями (т. е. соответствует квантовым переходам между уровнями системы). [c.625]

Гомоморфизмом или представлен и-е м алгебры Ли А ъ алгебру Ли А наз. такое линейное отображение ф Ai A , (т. е. отображение, сохраняющее линейные операции), к-рое согласовано с операциями коммутирования в обеих алгебрах ф([Х, У]) —[ф(Х), ф(У)1. Ядром гомоморфизма наз. подмножество в алгебрек-рое под действием ф переходит в нулевой элемент алгебры А . Если отображение ф взаимно однозначно, то оно наз. изоморфизмом или точным представлением. В этом случае ядро отображения равно нулю. Всякая конечномерная Л. а. допускает точное представление в алгебру матриц (теорема Ад о). Ввиду тесной связи, существующей между Л. а. и группами Ли, задача изучения представлений групп Ли в большой мере сводится к изучению представлений Л. а. Именно этим объясняотсн прикладное значение теории Л. а. и их представлений (см. Представление группы). [c.583]

Классификация алгебр Ли. Имеется четыре серии простых комплексных Л. а, конечной размерности Ai, Bi, l, D[ и кроме этого пять исключительных алгебр Gj, F4, (, Eg (индексы везде обозначают ранг алгебры). Каждая комплексная Л. а. имеет единственную вещественную подалгебру, являющуюся Л. а. компактной группы Ли. Перечисли.ч компактные группы, соответствующие сериям. Алгебра Ai, 2,. . ., имеет размерность и—(Z-1-l) —1 и связана с группой SV l i) унитарных унимодулярных (т. е. имеющих единичный детерминант) (г-Ь1)-рядных матриц. Алгебра 1 = 2, 3,. . ., имеет размерность гь= 1 2l- -i) и связана с группой SO (2i-j-l) ортогональных унимодулярных матриц порядка 2/-Ь1. Случай 1=1 исключается, т. к. Bi=Ai. Алгебра С/, 1=3, 4,. . ., имеет размерность и связана с си.чнлек- [c.584]

Каждая комплексная простая Л. а. имеет неск, вещественных форм (т. е. таких вещественных Л. а., из к-рых данная Л. а. получается комплексификацией). Лишь одна из них соответствует компактной группе Ли. Остальные приводят к некомпактным группам. Напр., среди вещественных форм комплексной алгебры Ai есть такие, к-рые соответствуют группам SU p, д), p+q l+1, псевдоунитар-н ы X матриц, т. е. преобразований в комплексном (/+1)-мерном пространстве, сохраняющих форму [c.584]

Кроме перечисленных, имеются нек-рые специальные вещественные формы комплексных а.чгебр и Dg, Приведённый список не полой с точки зрения классификации простых групп. Не каждая простая вещественная группа Ли является вещественной формой простой комплексной группы. Так, алгебра Z), не проста, и не проста соответствующая ей компактная подгруппа SO (4). Однако некомпактная группа SO (1, 3) (Лоренца группа) является простой. Её Л. а. изоморфна si (2, С). Обобщением этого примера является целый класс простых вещественных Л. а,— уто комплексные Л. а., рассматриваемые как вещественные. [c.584]

По алгебре симметрий Н. у, м. ф. восстанавливают группу Ли — Беклунда непрерывных преобразований, оставляющих Н. у. м. ф. инвариантным. Точные решения Н. у. м. ф. находят как решения, остающиеся инвариантными при действии к.-л. подгруппы группы Ли — Беклунда. Группа Ли — Беклунда и алгебра симметрий существуют у каждого Н. у. м. ф. В большинстве случаев группа Ли — Беклунда является конечномерной. Существуют, однако, случаи, когда. эта группа бесконечномерна, как у всех перечисленных выше универсальных Н. у. м. ф. [c.316]

Если преобразование из группы Ли — Беклунда оставляет инвариантным функционал действия гамильтонова Н. у. м. ф., то оно имеет интеграл движения — функционал, не зависящий от времени. Интегралы движения образуют алгебру Ли относительно скобок Пуассона, изоморфную нек-рой подалгебре алгебры си.мметрий. [c.316]

Смотреть страницы где упоминается термин Алгебра группы : [c.583] [c.543] [c.27] [c.150] [c.12] [c.222] [c.18] [c.235] [c.925] [c.75] [c.429] [c.544] [c.544] [c.625] [c.231] [c.308] [c.384] [c.451] [c.584] [c.584] [c.590] [c.607] [c.24] [c.164]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...