Сингулярный непрерывный спектр

Случай сингулярного непрерывного спектра был рассмотрен для полноты. Неясно, однако, имеет ли этот тип спектра вообще какой-то физический смысл. Таким образом, если исключить из рассмотрения процессы, имеющие такой непрерывный сингулярный спектр, то можно сделать вывод, что стационарные эргодические гауссовы процессы являются также статистически необратимыми в соответствии с (34). [c.313]

Обсудим необходимые условия справедливости соотношения (B.2) . Если / является собственным вектором оператора Я, Я/ = Л/, то u t) = exp —iXt)f и зависимость решения уравнения (В.1) от времени тривиальна. Однако из-за того, что собственные числа сдвигаются при сколь угодно слабых возмущениях, невозмущенная задача, вообще говоря, не имеет решений с таким же поведением при t со. Аналогично нельзя ожидать выполнения соотношения (B.2) при / из сингулярного непрерывного подпространства оператора Я. Впрочем, типичным для обсуждаемых в теории рассеяния случаев является отсутствие сингулярного непрерывного спектра у обоих операторов. [c.13]

Любой самосопряженный оператор Яо с абсолютно непрерывным спектром постоянной (возможно, бесконечной) кратности может быть реализован (см. 1.5) как оператор умножения на независимую переменную (Л) в гильбертовом пространстве Ь2 д ()). Здесь —сердцевина спектра оператора Яо, — вспомогательное гильбертово пространство, размерность которого равна кратности спектра. В модели Фридрихса-Фаддеева рассматривается случай, когда = а—замкнутый интервал, а возмущение V оператора Яо является интегральным оператором с гладким ядром г (Л, / ). В рамках этой модели удается не только построить теорию рассеяния, т.е. доказать существование и полноту ВО Ж (Я, Яо) (отвечающих 7 = /), но и проверить отсутствие у оператора Н = Но V сингулярного непрерывного спектра. [c.146]

Следствие 2 Пусть условие (1.2) выполнено при каком-либо ао > 1/2. Тогда оператор Я не имеет сингулярного непрерывного спектра. [c.157]

В заключение отметим, что при доказательстве отсутствия сингулярного непрерывного спектра от условия ао > 1/2 в (1.2) отказаться нельзя. Именно, как показано в [71], даже для одномерного возмущения V = (, г )г при v G Со и любом а <112 [c.163]

Теорема 9. Пусть выполнены условие теоремы 6.4, N(0) = О а > 1/2. Тогда на интервале А оператор Я не имеет сингулярного непрерывного спектра. [c.190]

Подчеркнем, что собственные функции уравнения теплопроводности для твердого тела образуют полную систему [101, вследствие чего по этим функциям можно разложить в ряд Фурье другие функции. Вопрос о полноте собственных функций в задаче нестационарного теплообмена для систем, подобных каналу с ТВЭЛОМ и теплоносителем, по-видимому, должным образом и с необходимой математической строгостью не исследован. Мы примем условие полноты функций г 3й(г) без доказательства, как гипотезу, и будет Б дальнейшем пользоваться разложением функций в ряд Фурье по собственным функциям 1 л(г) оператора S (3.109) без дополнительных оговорок. Тем самым мы принимаем также отсутствие в полном спектре собственных значений этого оператора непрерывного спектра собственных значений и соответ-ствуюш,их сингулярных собственных функций, а также присоединенных элементов собственных функций [80, 471. [c.97]

В тех случаях, когда область D определения <р бесконечна или когда параметры оператора С нерегулярны в области D, т. е. имеют в этой облает особенности, кроме дискретного (точечного) спектра, вообще говоря, может появиться плотное распределение (континуум) собственных значений оператора. L. Этот континуум, соответствующий сингулярным собственным функциям, на зывается непрерывным спектром оператора L. [c.214]

Этот спектр совершенно отличен от прежнего. Вместо того чтобы полу шть по меньшей мере пять дискретных собственных значений (как в гидродинамическом случае), мы имеем теперь непрерывный спектр для всех значений к. Кроме того, собственные функции представляют собой сингулярные функции Дирака. [c.101]

Выражения (11.7) и (11.9) еще не свидетельствуют о наличии двумерного непрерывного спектра. Сингулярности распределены вдоль А, иначе говоря, вдоль части границы непрерывного спектра. Следовательно, равенство (11.7) дает аналитическое продолжение L в непрерывный спектр, так что функция L u s) теперь определена в комплексной плоскости w с разрезом вдоль А. Можно продолжить функцию L u s) через разрез, [c.368]

Было показано [83], что действительные значения К, большие, чем [а ( )]мин принадлежат непрерывному спектру и связаны с сингулярными собственными функциями. [c.293]

Поскольку (Л/ + 1) О отмеченных выше значений а найдены как корни полиномов, то все они являются дискретными. Естественно задаться вопросом, что стало с непрерывным спектром собственных значений, для которых ас— [иа ( )]мин. связанных с сингулярными собственными функциями. На практике они появляются как легко различимые дискретные собственные значения, так как соответствующие собственные функции имеют резкую и нерегулярную зависимость от энергии [100]. В многогрупповой задаче эти дискретные собственные значения имеют величину а, меньшую, чем минимальное значение vo, при выбранной групповой структуре. [c.297]

Компонента (ш) абсолютно непрерывна, а РДш) называется непрерывной сингулярной компонентой F. Спектр — непрерывный, монотонно неубывающий и постоянный почти всюду его производная почти всюду обращается в нуль и либо не существует, либо обращается в -j- o на множестве меры нуль . Случай абсолютно непрерывного спектра был рассмотрен выше. Таким образом, чтобы полностью исследовать вопрос, мы должны еще рассмотреть случай, когда или весь спектр является сингулярным непрерывным, или когда он содержит сингулярную непрерывную компоненту. [c.312]

С помощью утверждений ядерного типа существование и полнота ВО W H Но) устанавливаются при а > d. Для применения гладкой теории требуется достаточно явный спектральный анализ оператора Яо. Такой анализ оказывается возможным только для специальных потенциалов o- В этом случае ВО W H, Но) существуют и полны, если оценка (В.10) выполняется для какого-нибудь а > 1. Более того, гладкая теория позволяет проверить и отсутствие в спектре оператора Я сингулярной непрерывной компоненты. В существен- [c.19]

Пусть еще —подпространство, образуемое собственными векторами оператора Я. Спектр а Н) части Я в совпадает с замыканием множества собственных значений оператора Я и называется точечным. Ясно, что С Часть Я в 7 (р) называется сингулярно непрерывной, а ее спектр обозначается через сг Н). При / G мера т ] f) непрерывна, но сингулярна. [c.37]

В этом параграфе приводятся достаточные условия отсутствия в спектре полного гамильтониана сингулярной непрерывной компоненты. Те же условия дают жесткие ограничения на структуру точечного спектра. [c.186]

В условиях теоремы б у оператора Я отсутствует и сингулярно непрерывная часть. Тем самым при возмущениях классов 6р, р > 1, может полностью исчезать непрерывная (сумма абсолютно и сингулярно непрерывных частей) компонента. Этот результат естественно сопоставить с теоремой Г.Вейля, утверждающей, что при компактной разности Н — Но существенные спектры операторов Но и Н совпадают. Кажущееся противоречие этих двух результатов снимается тем, что в предположениях теоремы 6 множество собственных значений оператора Я всюду плотно на сг( )(Яо). Мы видим, что непрерывная компонента значительно менее устойчива, чем существенный спектр. [c.242]

Задача об одномерном возмущении оказывается в существенном явно решаемой. Это позволяет дать еще одно доказательство устойчивости абсолютно непрерывного спектра, а также довольно детально изучить структуру сингулярной непрерывной компоненты. [c.271]

В силу теоремы 4.1.1 и леммы 4.1.4 при ао > 1/2 множество Я конечно, и в частности, сингулярная непрерывная компонента в спектре оператора Я отсутствует. При меньших ао можно утверждать отсутствие сингулярной непрерывной компоненты, если, например, функция у Х) имеет лишь счетное число нулей. В общем случае, однако, спектр может быть устроен достаточно сложно. Это вытекает из следующей теоремы, установленной в [71] [c.278]

Параметр а является собственным значением и функция / (г) — собственной функцией оператора М. В общем случае уравнение (1.63) может иметь как действительные собственные функции и собственные значения, так и комплексно-сопряженные. Кроме того, оператор М может иметь наряду с точечным спектром непрерывный континуум собственных значений а и соответствующие сингулярные собственные функции /а (г) (см. П. 2.2). [c.25]

Класс компактных операторов оказывается слишком узким, чтобы описать все физически интересные случаи. Он не описывает унитарные операторы (т. е. операторы, сохраняющие норму все С. з. таких операторов представляются в виде с , <р IR), а также дифференциальные операторы, к-рые, как правило, не ограничены. Обобщением понятия С. з. для таких операторов служит понятие спектра а А) оператора А. Число А. принадлежит спектру. оператора, если резольвента оператора А, Л(Я) = (Я/ — А)- , будет сингулярным оператором. Все С. з. А будут принадлежать о(А) [они будут изолированными (дискретными) точками а(.4)1. Однако помимо этих точек а А) обычно содержит непрерывную часть, состоящую из таких точек Я, для к-рых оператор Д(Я) определён, но не ограничен. В обычном смысле таким Я не соответствует никакая собств. ф-ция, тем не менее аналог разложения по базису собств. ф-ций задаётся спектральным разложением. [c.568]

Обратим внимание на то, что второй член в выражении (2Г.9) сингулярен нри Ei = Ej и 5 0. Матрица рассеяния является гладкой функцией энергии, поэтому вся сингулярность содержится в множителе Ej — Ei- -i h) который приводит к хорошо определенному результату для сечения рассеяния только в пределе оо, когда спектр энергии становится непрерывным. Однако выполнить этот предельный переход еще нельзя, так как элементы матрицы Rij s) вследствие нормировки на единицу в объеме L , пропорциональны L . Поэтому удобно ввести матрицу [c.157]

АБСОЛЮТНО непрерывный И СИНГУЛЯРНЫЙ СПЕКТРЫ [c.35]

Отметим, что в лемме 8 условие а > 1/2 использовалось лишь при проверке включения М С сг Н) П Л, которое и нужно для доказательства отсутствия сингулярного непрерывного спектра. Обратное включение (т Н) (Л А С N справедливо при любом а > 0. Поэтому из компактности операторов Яо(Л гО) следует, что при любом а > О собственные числа Л Е Л оператора Я конечнократны. [c.190]

В спещ1альной обстановке сингулярно непрерывная компонента может обладать определенной устойчивостью. Так, в модели Фридрихса—Фаддеева сингулярный непрерывный спектр сохраняется (отсутствует у обоих операторов Яо и Я), если ядро возмущения достаточно гладкое (см. следствие 4.2.2). Предположение о гладкости лежит здесь в существе дела. Без [c.242]

Связь стационарного и нестационарного подходов, 205, 207 Сечение рассения, 21, 322 Сингулярный непрерывный спектр, 37 [c.413]

Показано, что спектр сингулярных интегральных операторов плоской задачи теории упругости дискретен и имеет две точки непрерывного спектра. На этой основе явно построены регуляризаторы интегральных уравнений. Дана явная запись регуляризованных уравнений. [c.9]

Приведенный выше вывод уравнения Паули содержит несколько моментов, на которые стоит обратить внимание. Папомним, что возмущение ЛЯ считалось малым по сравнению с Н . Па этом основании интегральный член уравнения (2.5.38) был вычислен в пределе Л 0. Отметим, однако, что нужно выполнить еще два предельных перехода термодинамический предельный переход V оо N/V = onst), который типичен для макроскопических систем, и переход +0. Как мы уже знаем, результат может существенно зависеть от того, в каком порядке совершаются предельные переходы в уравнениях, описывающих необратимые процессы. Из формулы (2.5.44) видно, что коэффициенты перехода имеют смысл только в случае непрерывного спектра т. е. в термодинамическом пределе. Так как сингулярная дельта-функция возникает в результате перехода +0, мы приходим к заключению, что сначала должен вычисляться термодинамический предел К оо, а уже затем +0. Это — тот самый порядок пределов, который необходим при построении неравновесных распределений. Вопрос о порядке предельных переходов Л О и г +0 при выводе уравнения Паули был подробно исследован ван Ховом [160] с помощью несколько иного подхода ). В контексте вывода, приведенного выше, результат ван Хова означает, что уравнение (2.5.38) переходит в уравнение Паули, если Л О и г +0, но при вычислении [c.142]

Таким образом, мы рассматриваем Ь[и 8) как многозначную функцию хю, значения которой лежат на многолистной римано-вой поверхности аналитическое продолжение ведет с физического листа на другой лист (точно так же, как в случае вынужденных волн сдвига, которые исследовались с помощью БГК-модели в разд. 7). Если Ьс[и 8)—аналитическое продолжение Ь и 8) в непрерывный спектр (т. е. та ветвь многозначной функции 1 и 8), которая достигается через А из области вне непрерывного спектра), то уравнение Ьс[и 8) = О может иметь корень Но даже тогда, когда уравнение 1 и 8)=0 не имеет корня (здесь ( / 5) определяется формулой (11.2) даже при и 0 8)). В частности, для 5, близких к критическому значению, при котором щ = ио 8) вливается в непрерывный спектр, Ьс(и 8) будет иметь нуль, являющийся аналитическим продолжением ио 8). Если решения граничной задачи достаточно гладки, то можно попытаться использовать это обстоятельство для того, чтобы найти аналитическое продолжение подынтегрального выражения на непрерывный спектр и затем воспользоваться этим результатом для стягивания контура интегрирования около сингулярных точек и линий аналитически продолженного подынтегрального выражения. [c.369]

Еш,е одно замечание касается того, что суш,ествуют некоторые пределы, превзойти которые собственные значения не могут. Собственные значения, превосход71ш,ие эти предельные величины, принадлежат непрерывному спектру п связаны с сингулярными собственными функциями, такими, как рассмотренные в разд. 2.2.3. Для полного решения задачи с импульсным источником нейтронов или нейтронными волнами (синусоидальный источник) эти сингулярные собственные функции следовало бы принимать во внимание, но для асимптотических решений (по времени и пространству) достаточно дискретных собственных значений при условии, что они существуют. [c.293]

В заключение подчеркнем еще раз, что возможность разложения произвольного решения системы (2.7) в ряд по специальным решениям вида (2.8) будет иметь место часто/но все же не всегда—это обстоятельство часто забывается при рассмотрении задач гидродинамической теории устойчивости. В частности, более сложная ситуация возникает, если система (2.7) оказывается сингулярной (т. е., например, если какой-тО коэффициент при старшей производной у этой системы где-то обращается в нуль). В таком случае полнота системы собственных функций не может быть просто доказана, и даже само понятие собственной функции должно определяться с осторожностью. Дело в том, что здесь часто и при фиксированном масштабе возмущения возникает непрерывный спектр собственных значений, которому отвечают собственные функции, удовлетворяющие более сложным, чем обычно, граничным условиям или имеющие более сложную структуру (например, не убывающие на бесконечйости или имеющие разрывы производных в особой точке). В приложениях такие более сложные собственные функции часто просто упускаются из виду, в результате чего система элементарных решений вида (2.8) оказывается заведомо неполной (ср. Кэйз (1962), Линь (1961), Линь и Бенни [c.102]

Спектральная мера Еи Х) унитарного оператора и определена на борелевских множествах X единичной окружности С С. Точки Т обозначаем, как правило, буквой 1 (или I/), /х = 1 через Х обозначаем лебегову меру множества X С Т, Т = 2тг. Совершенно аналогично самосопряженному случаю по отношению к этой мере определяются абсолютно непрерывные и сингулярные элементы. Это позволяет буквально перенести изложенную в 3 классификацию спектра на унитарный случай. [c.81]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...