Стохастичность свойства

Др. важное свойство траекторий динамич. систем— обратимость во времени — также может быть выполнено автоматически в М. д. и. Т. о., легко убедиться, что в М. д. м. проблемы стохастичности динамич. систем и обратимости ур-ний механики во времени никак не связаны между собой. Описанный метод замкнут, ибо его основания и результаты можно проверить внутр. образом, в рамках самого этого подхода. [c.197]

Стохастичность гамильтоновых систем. Стохастич. свойства демонстрируют даже очень простые гамильтоновы системы, наир, маятник под действием внеш. периодич. силы [c.695]

Обнаружение стохастичности у биллиардных и подобных им систем опровергло существовавшее долгое время убеждение, что у ДС механич. происхождения такие свойства могут наблюдаться лишь при большом числе степеней свободы. [c.633]

Генератор стохастичности качественно отличается как, от преобразователя стохастичности, так и от усилителя стохастичности. Он похож на идеальный усилитель тем, что случайность его выхода не исчезает по мере уменьшения и исчезновения случайной составляющей входа, и отличен от него тем, что стохастические характеристики его выхода пренебрежимо мало зависят от достаточно малых случайных входных воздействий и целиком определяются динамическими свойствами системы. В пределе при стремлении случайных воздействий к нулю случайность выхода не исчезает и вне зависимости от статистических характеристик входа стремится к одному и тому же стохастическому выходу, статистическое описание которого может быть найдено по описанию динамической системы. [c.68]

Свойства динамической системы, например наличие в ней диссипации энергии, также можно связывать со свойством сжимаемости. Такого рода связи тоже достаточно прочно ощущаются. Совершенно иная ситуация возникает, как только наряду со сжатием появляется растяжение. Именно с такими не только сжимающими, но и растягивающими отображениями неразрывно связана стохастичность в динамических системах. Как уже говорилось, стохастичность — следствие глобального сжатия при локальной неустойчивости. [c.125]

Несмотря на это, предпринят ряд попыток связать стохастичность квантовых систем в классическом пределе со свойствами стационарного энергетического спектра в квазиклассическом приближении. В работах [601, 602] показано, что стохастическому движению классической системы можно сопоставить нерегулярность энергетического спектра квантовой системы. В [155] на основе аналогии с классическими бильярдами выводится закон расталкивания случайных энергетических уровней в виде распределения вероятностей для расстояния между ближайшими уровнями АЕ [c.384]

Стохастическое уравнение (48) проще, чем (36). Стохастичность у есть результат наличия функции г] х). Функция у х) обладает марковским свойством, что свидетельствует о наличии в задаче малого параметра, а именно отношения масштаба существенного изменения г] х) к масштабу существенного изменения у х). [c.811]

На странных аттракторах фазовые траектории имеют следующие свойства стохастичности 1) чувствительную зависимость от начальных условий (создаваемую экспоненциальной расходимостью начально близких траекторий) 2) почти всюду плотность всех фазовых траекторий, причем любое начальное неравновесное [c.22]

Особый интерес здесь для нас представляют странные аттракторы, на которых фазовые траектории обнаруживают свойства стохастичности [c.125]

Сосредоточимся теперь на первом свойстве стохастичности. Экспоненциальная расходимость близких траекторий при сжатии фазового объема возможна, если по одним направлениям в фазовом пространстве и происходит расширение, а по другим — сжатие, т. е. неблуждающие фазовые точки должны быть подобны двумерным седлам. Такие точки называются гиперболическими. Неподвижная точка Uo является гиперболической, если матрица Якоби Л(ид) = [c.125]

Из этих свойств траекторий в фазовом пространстве вытекают аналогичные предложения о геодезических на самом многообразии. Физики называют эти свойства стохастичностью асимптотически при больших t траектория ведет себя так, как если бы точка была случайной. Например, свойство перемешивания означает, что вероятность после выхода из А оказаться в В через большое время t пропорциональна объему Б и т. п. [c.279]

Появление стохастичности (хаоса) является внутренним свойством системы к не связано с действием каких-либо априори случайных сил. Теперь мы можем не только указать различные механизмы, порождающие случайные события (т. е. создать идеальную рулетку), но и доказать, что эти механизмы производят именно то, для чего они предназначены (например, что выбрасывание шарика в рулетке при определенных условиях происходит по закону случая). [c.6]

Однако наиболее важным обстоятельством является не то, что при определенных условиях может рождаться хаос, а то, насколько это типично для систем общего вида. И, по-видимому, именно здесь содержится объяснение того необычайно большого числа работ и результатов, которые появились в последнее время и посвящены явлению стохастичности. Хаос (как внутреннее свойство системы) возникает почти всегда и почти везде И если мы его не всегда обнаруживаем, то лишь потому, что либо он возникает в очень узкой области параметров, либо проявляется на очень больших временах, либо вуалируется другими, более сильными процессами. [c.6]

Столь же важна и шестая глава. В ней строится кинетическое описание систем, в которых внутренняя динамика порождает стохастичность. Особые свойства таких систем позволяют освободиться от априорных гипотез типа приближения случайных фаз при выводе кинетического уравнения. [c.7]

Заметим, что когда мы говорим о критерии стохастичности, то речь идет об определении очень непривычного свойства системы — такого значения некоторого параметра, которое разделяет два разных типа движения регулярное и случайное. Поэтому далеко не праздным является вопрос о существовании моделей, для которых свойство перемешивания устанавливается точно. Некоторые пз таких моделей будут рассмотрены в этой главе. Мы отобрали те из них, аналогия с которыми позволит перейти к реальным физическим системам. [c.42]

Рассмотренные два примера обладают одним важным свойством, на котором желательно остановиться подробнее. Его можно сформулировать следующим образом движение однозначно вперед во времени и неоднозначно назад . Это свойство появляется вследствие оператора дробная часть . Далее мы увидим, как это свойство будет проявляться в многочисленных физических задачах. Таким образом, можно сказать, что в реальных задачах имеется определенный тип необратимости, или, лучше сказать, неоднозначности. Его не следует смешивать с обычно употребляемым понятием необратимости. Если изменить направление времени, то мы будем двигаться по той же траектории, но в обратном направлении, т. е. движение обратимо. Однако в случае рассмотренных преобразований мы не можем однозначно сказать, откуда система начала свой путь для того, чтобы в фиксированный момент времени оказаться в заданной точке. Мы не исключаем того, что указанное свойство неоднозначности может оказаться необходимым для появления стохастичности, тем более что неоднозначность возникает лишь при К>1. К сожалению, строгих результатов по этому вопросу пока не существует. [c.52]

Свойство (3.4) будет в дальнейшем часто использоваться, так как при К> его можно распространить также и на преобразование (1.7) универсальной модели стохастичности. [c.85]

В этом месте необходимо напомнить об отсутствии строгого (в математическом смысле) содержания в используемых нами понятиях изоморфизма и -систем. Свойства реальных динамических систем создают определенные трудности ва этом пути. Поэтому в слова изоморфизм и Я -сис-темы вкладывается скорее физическое содержание, которое позволяет пользоваться этими терминами, не интересуясь рядом тонких деталей. Оправданием этому может служить тот обширный экспериментальный (реальный и численный) материал, который подтверждает правильный взгляд на сущность явления стохастичности. Еще раз обращаем внимание па то, что обсуждаются пока только гамильтоновы системы. [c.102]

Из приведенных выше рассуждений можно получить одно следствие, которое связано с некоторым общим свойством динамики частицы в области стохастичности. В 5.3 при анализе уравнений (3.1) или (3.6) уже отмечалось, что потенциал каждой из плоских волн создает для частицы на фазовой плоскости область, соответствующую области захвата в нелинейный резонанс. Условие стохастичности (3.5) означает просто условие перекрытия таких областей. Теперь заметим, что характерное время прохождения частицей потенциальной ямы, создаваемой одной плоской волной, в которую захвачена частица, равно т согласно [c.120]

Лемма 4.2.16. Если П" = тг , то тг, > —> p при п оо. Доказательство. Из предложения 4.2.14 следует, что П" — последовательность стохастических матриц, сходящаяся к проекции вектора р на прямую Z. Так как стохастичность — замкнутое свойство, предел этой последовательности — также стохастическая матрица. Но единственная стохастическая матрица, проектирующая Е" на Z, —это матрица, столбцы которой— копии вектора р. [c.168]

Существование движений, которые проявляются при численном моделировании как случайные, надежно установлено. Однако математические попытки охарактеризовать стохастичность с помощью таких понятий, как эргодичность, перемешивание и тому подобное, далеко не всегда оказывались успешными ). Синай [377] доказал эти свойства для газа твердых шариков. Было показано также, что некоторые модельные гамильтоновы системы обладают даже более сильными стохастическими свойствами. Эти результаты, описанные в гл. 5, дают основание считать, что случайность движения имеет место и для типичной гамильтоновой системы в том случае, когда она обладает поведением, характерным для идеализированных моделей. [c.17]

Сепаратрисное отображение играет чрезвычайно важную роль в понимании хаотического поведения систем, близких к интегрируемым. Как мы видели выше, резонансы в таких системах всегда окружены сепаратрисами, а сепаратрисное отображение описывает движение в их окрестности, причем это движение является хаотическим при ш 0. Ввиду такой универсальности сепаратрисное отображение интенсивно изучалось [70] с целью определения границы стохастичности которая характеризует ширину стохастического слоя вокруг сепаратрисы, а также для выяснения статистических свойств хаотического движения внутри этого слоя. Результаты этих исследований представлены в гл. 4 и 5. Далее в гл. 6 будет показано, что движение в окрестности сепаратрисы лежит в основе анализа диффузии Арнольда, которая, вообще говоря, всегда имеет место в системах с тремя и более степенями свободы. [c.243]

Нек-рые ДС обладают гораздо более сильными свойствами стохастичности, чем перемешивание. Эти свойства можно описать с помощью того же соотношения (3), потребовав на этот раз, чтобы предельный переход был равномерным по тому или иному классу ф-ций. Одно из наиболее сильных свойств указанного типа, называемое К-свойстаом (в честь А, Н. Колмогорова, к-рый впервые рассмотрел его в кон. 1950-х гг.), допускает неск. эквивалентных формулировок. Одна из них состоит в следующем. Пусть Т )—каскад или поток,/(х), хеХ,—ф-ция с конечным числом значений и / —оостационарный случайный процесс. Дяя любого S рассмотрим подпространство Н, пространства L k,. 4 , (.t), определяемое поведением этого процесса до момента s. Оно состоит из ф-ций вида ф(/,,, /J, t, < <5, п=1, 2,. .. и их пределов в среднем квадратичном. Очевидно, при s s", а ф-ции, входящие в й, при [c.629]

Одно из проявлений стохастичности К-систем — свойство внутр. случайности . Оно состоит в том, что с помощью нек-рого положит, оператора в L , обратимого на всюду плотном множестве, можно перевести полугруппу и , 1 0 унитарных операторов (обратимых), отвечающих К-системе, в полугруппу необратимых марковских операторов, сходяпщхся (в нек-ром смысле монотонно) к пределу при t-юэ. [c.629]

При исследовании стохастичности ДС иногда удаётся обнаружить ф-ции /, к-рые порождают случайные процессы/ с достаточно быстрым, напр, экспоненциально быстрым, убыванием при с-юо ковариационной функции K t)=Ef,+,f,-Efi+,Efs (где Е—матем. ожидание, т. е. интеграл по мере J1, а черта означает комплексное сопряжение). Часто оказывается, что те же процессы f, удовлетворяют центральной предельной теореме [в случае дискретн. времени и веществен, ф-ции / последнее означает, что распределение случайной величины DS ) S —ES ), где 5 =/о +. ..+/ -1, а Z)5 = (S,- S ) —дисперсия, стремится при 1 >сс та нормальному распределению с нулевым матем. ожиданием и единичной дисперсией]. Ф-ции/с этими свойствами могут существовать даже в том случае, когда система обладает не очень явно выраженной стоха-стичностью, но наличие таких свойств у самых простых и естеств. ф-ций, определённых на фазовом пространстве,—достаточно надёжный признак стохастичности. [c.629]

Для случая, когда в той же ситуации движется бесконечное множество частиц, доказано, что соответствующий поток является К-системой. Природа стохастичности этой системы иная, чем у идеального газа. В самом деле, в отличие от модели Лоренца, в движении отд. частицы идеального газа нет никакой стохастичности и, т. к. частицы друг с другом не взаимодействуют, стохастичность всей системы выглядит парадоксально, по крайней мере, она не согласуется с общепринятым представлением, что в основе этого свойства должна лежать нетривиальность взаимодействия. В случае же идеального газа причиной стохастичности служат бесконечность числа частиц и их неразличимость—при отказе от любого из этих условий стохастичность исчезает (впрочем, неразличимость частиц, вследствие к-рой координата и скорость отд. частицы не являются ф-циями на фазовом пространстве, можно считать суррогатом взаимодействия). [c.635]

Четвертая глава посвящена анализу современных моделей и методов оптимального проектирования конструкций из композитов. Процесс оптимизации рассматривается с позиций системного подхода, в связи с чем обсуждаются такие присущие моделям оптимизации конструкций из композитов свойства, как поливариантность, многомерность, многоэкстремальность, стохастичность и неполнота, определяющие сложность и своеобразие процесса оптимального проектирования конструкций из армированных материалов. [c.6]

Подавляющее большинство известных решений задач оптимизации конструкций из композитов получено в детерминированной постановке. При этом стохастический характер моделей оптимизации, обусловленный стохастичностью физико-механических свойств композита, учитывается посредством интерпретации описывающих эти свойства параметров модели как статистически усредненных величин. В отношении деформативных характеристик конструкций такой подход представляется достаточно правомерным, поскольку указанные характеристики получаются в результате усреднения большого числа элементов конструкционного композита (представительных объемов, монослоев и т. д.). Однако такие факторы, как, например, геометрические несовершенства, индивидуальны на уровне конструкции и поэтому в модели оптимизации, вообще говоря, усреднены быть не могут. Один из разделов главы посвящен анализу стохастических моделей оптимизации и методам де-терминизации некоторых частных случаев таких моделей. [c.7]

Моделирование несущей способности оболочек из композитов. Содержание процесса постановки любой задачи оптимизации состоит в моделировании проектной ситуации и построении модели оптимизации, т. е. включает определение локальных критериев эффективности, формулировку модели проекта и ограничений на варьируемые параметры, а также их последующую формализацию в качестве элементов оптимизационной модели. Формализация модели проектной ситуации означает математически строгое определение связей между параметрами модели проекта и показателями его функциональности и экономичности, выражаемых посредством функциональных зависимостей или соотношений. В задачах оптимизации несущих конструкций функциональные зависимости между параметрами проекта детерминируются расчетными моделями оптимизируемых конструкций и их предельных состояний, подлежащих учету по проектной ситуации, а в случае конструкций из композитов, кроме того, моделями композиционного материала. Упомянутые модели конструкции, ее предельных состояний и материала синтезируются в модели расчета несущей способности конструкции, свойства которой непосредственно определяют размерность частных моделей оптимизации М , а также их качественный характер одно- или многоэкстре-мальность, стохастичность или детерминированность. Таким образом, моделирование несущей способности является одним из важнейших этапов постановки задач оптимизации несущих конструкций, на котором в значительной мере определяются свойства соответствующих оптимизационных моделей, существенные для выбора средств и методов их численной реализации, а также анализа и интерпретации получаемых оптимальных рещений. [c.175]

При обсуждении физических механизмов конфайнмента наряду с различными формами упорядочения КХД вакуума рассматривается и противоположная возможность, отвечающая его стохастическим свойствам. Так, недавно было отмечено, что теорема площадей прямо следует из случайного характера распределения потока цветового поля по площади вилсоповского контура [1]. В данной статье обсуждаются иные, менее формальные аспекты возможной связи стохастичности и конфайнмента. [c.199]

О некоторых методах моделирования турбулентности. Помимо статистического подхода к моделированию турбулентности в настоящее время все более широкое применение находит феноменологический (полуэмпириче-ский) подход и методы прямого численного моделирования турбулентности на основе решения специальных кинетических уравнений или нестационарной системы трехмерных уравнений Навье-Стокса, хотя в силу стохастичности данного явления в реальности удается получать лишь осредненные характеристики движения. Это позволяет, тем не менее, иногда проследить не только эволюцию образований различных пространственных структур с течением времени, но также изучать общую динамику и природу развития турбулентности. Например, результаты численного моделирования явления перебросов в гидродинамической системе (сконструированной в виде многоярусной модели зацепления простейших элементов - триплетов) иллюстрируют каскадный процесс передачи энергии в развитом турбулентном потоке, соответствующий известному закону Колмогорова-Обухова Гледзер и др., 1961) и подкрепляют представления об общих свойствах в поведении динамических систем. Интересно также отметить, что исследование процесса стохастизации динамических систем и сценариев перехода к хаосу при численном моделировании турбулентности служит аналогом решения некорректных задач с использованием оператора осреднения и параметрического расширения Тихонов и Арсенин, 1986). При таком подходе упорядоченная структура турбулентного течения, которая определяется как аттрактор асимптотически устойчивого решения для осредненных величин, представляет собой его регуляризованное описание Белоцерковский, 1997). Следует однако заметить, что использование методов прямого численного моделирования турбулентности для решения практически важных задач (особенно задач, связанных с расчетами турбулентного тепло-и массопереноса в многокомпонентных химически активных смесях) часто затруднительно или является слишком громоздким. Поэтому подобные задачи целесообразнее решать с помощью более простых, полуэмпирических теорий. [c.16]

Д. Рюэлль и Ф. Такенс (1971) высказали гипотезу о том, что турбулентность представляет собою завихренное течение вязкой жидкости, эволюционирующее на странном аттракторе (и потому обладающее указанными выше свойствами стохастичности). Они доказали, что у широкого класса динамических систем канторов-ский странный аттрактор (т. е., в некотором общем смысле, турбулентность) может появляться в результате разрушения четырехчастотного движения путем возникновения резонансов его высоких гармоник (а в их работе с Ньюхаузом (1978) это доказательство было распространено и на трехчастотные движения). Ныне обнаружен уже целый ряд и других сценариев стохастизации (т. е. схем возникновения турбулентности). [c.22]

Странный аттрактор. В хаотических системах возникновение случайности связано с новой геометрической структурой — странным аттрактором. В качестве критерия, позволяющего определить существование в динамической системе странного аттрактора, можно использовать свойство гиперболично сти. Наглядно гиперболичность представляет собой комбинацию растяжения фазового объема в одном направлении и сжатия в другом. Растяжение приводит к стохастичности, сжатие необходимо, чтобы траектории оставались в ограниченной области фазового пространства. Растяжение и сжатие систематически устраняют начальную информацию при экпоненциальном разбегании траекторий возрастает неопределенность, обусловленная неопределенностью AVq, при сжатии сближаются далеко отстоящие траектории и стирается различие в начальных данных. [c.180]

Принципиальное значение соотношения (5.12) в тол1, что установлена связь между статистическими свойствами системы (йс) и ее чисто динамической характеристикой йо- Иными словами, можно узнать, когда регулярное (например, условно-периодическое) движение системы разрушится и движение станет пе-релшшивающимся. Для этого необходимо выяснить условие, при котором в динамической системе возникает локальная неустойчивость (5.9). Такое условие мы будем в дальнейшем называть условием стохастической неустойчивости или, короче, условием стохастичности. Максимальной неустойчивости соответствует разрушение всех интегралов движения, кроме полной энергии системы. Анализ, проведенный Н. С. Крыловым, показал, что именно стохастическая неустойчивость обеспечивает равномерное перемешивание начальной фазовой ячейки с любой требуемой точностью на поверхности неразрушенных однозначных интегралов движения и приводит к конечному времени релаксации на этой поверхности, ( ам характер релаксации именно тот, который типичен в статистической механике (ком. 8). [c.30]

Напомним некоторые основные свойства модели (5.12), если выполнен критерий стохастичности (5.16). По переменной Ь происходит быстрое перемешивание, и корреляция фаз О экснонен-цпально расцепляется [c.173]

Простые рассуждения показывают, что невозможно провести прямую аналогию между перекрытием резонансов в классическом случае и в квантовом случае. Действительно, из результатов, полученных в этом параграфе, следует, что изолированный квантовый нелинейный резонанс проявляется в сильном взаимодействии конечного числа ( Aw) состояний с энергиями, лежащими в полосе квантовых чисел (по —Ага, rao + Ага). Это проявляется в том, что система уравнений (3.11) имеет эффективно конечный порядок ( 2Ага). Перекрытие двух резонансов означает, что эффективный порядок системы для амплитуд Сп увеличивается до величины 4Ага, но тем не менее остается конечным. Таким образом, задача о перекрытии двух резонансов в квантовой механике сводится с формальной точки зрения к системе линейных уравнений. Порядок этой системы конечен, и поэтому в ней не может возникнуть стохастичность (конечные линейные системы таким свойством не обладают). [c.192]

Выражения (2.14), (2.15) являются, в определенном смысле, окончательными, так как возможные значения коррелятора фаз Я определяют все дальнейшие свойства системы. Действительно, функция 31 является типичным коррелятором фазы М в момент времени 1 и фазы ( о) = в момент времени 1о, поскольку и о лежат на одной и той же классической траектории (см. 4.1). Формула (2.15) совпадает с (4.1.15). Как было показано в 4.1, для систем рассматриваемого типа величина 1521 1, если критерий стохастичности не выполняется. В этом случае величина / также порядка единицы и недиагональные элементы не затухают (согласно (2.14)). Это, з частности, показывает, что сама по себе процедура огрубления (равно как и квантовомехани- [c.205]

Гипотеза Х — Е эквивалентности не была очевидной, и основной аргумент в ее пользу был связан с тем, что распределение собственных значений ансамбля случайных матриц обладает свойством расталкивания, т. е. таким же свойством, каким должно обладать распределение уровней энергии. Однако основной вопрос о том, какие физпческпе причины приводят к случайному распределению уровней, оставался неясным. В теории Вигнера — Портера — Дайсона отсутствие информации об этих причинах компенсировалось введенпем некоторого расплывчатого понятия о существовании черного ящика взаимодействий . Аргумента-1ЩЯ к сложности системы также была неудовлетворительной, ибо само определение сложности происходило из наивного представления о системе с большим числом степеней свободы. Сейчас нам уже известно, что статистические свойства могут возникнуть даже в системе с двумя степенями свободы, в то время как в системе с большим числом степеней свободы они могут не обнаружиться, если не выполнен критерий стохастичности. [c.215]

Стохастичность н турбулентность. Во исом тскстс монографии существенно использовалось свойство гамильтоновости рассмотренных динамических систем. Это означало, что фазовый объем системы сохраняется и процессе ее движения. Перемешивающееся в фазовом пространстве, или стохастическое движение обозначалось одновременно турбулентностью движения в фазовом пространстве. При анализе возникновения стохастичности в континуальных системах типа взаимодействующих волн переход к перемешиванию означает также переход и к турбулентному движению в пространстве координат спстемы. [c.250]

Существует, например, точка зрения А. Переса [129, 130], что проблемы коллапсов вообще нет, поскольку "вектор состояния нельзя приписать отдельной системе, а только ансамблю систем". Соответственно, волновая функция становится не свойством системы, а только "процедурой" для вычисления вероятностей, но с таким подходом трудно согласиться. Перес добавляет в своей статье [130] "Те из читателей, которые привержены позиции "реализма", не примут моего подхода, но тогда это их проблема, как объяснить удивительные события..." при измерениях. Прямо противоположная точка зрения, напротив, допускает динамическое описание коллапса [131] и существование спонтанных коллапсов [132] даже у свободной частицы. Для описания таких коллапсов уравнение Шрёдингера предлагается дополнить феноменологическим слагаемым со стохастичностью. Поскольку при этом изменяется динамика даже свободной частицы, данный подход должен привести к кардинальному изменению основ квантовой механики, для чего пока не видно достаточных оснований. [c.381]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...