Лежандра Разложение в степенные

Функции Бесселя, полиномы Лежандра, Чебышева, Якоби, Эрмита, Лагерра представляют коэфициенты разложений по степеням z (или тригонометрических разложений) некоторых функций F(x,z), называемых производящими функциями. [c.142]

Существует много математических методов приведения трехмерных уравнений теории оболочек к некоторой последовательности систем двумерных уравнений, описывающих напряженное состояние тонких оболочек. С этой целью применялись разложения в степенные ряды по толщине (72, 159], разложения по функциям Лежандра (15, 105, 106, 140], а также энергетические подходы (88]. Метод, изложенный в этой главе, можно назвать асимптотическим. Он развивался в последние годы рядом авторов для изотропных однородных оболочек [3, 12, 20, 34, 54, 55, 75, 76, 144—147, 171, 172, 179], для анизотропных оболочек (1, 2] и, наконец, для слоистых пластин (65—68, 150]. Обзоры работ, посвященных проблеме сведения трехмерных уравнений теории упругости к двумерным уравнениям теории оболочек, можно найти в [34, 58, 157, 158]. [c.408]

Полином Лежандра степени п, Р ((а), где п — целое и положительное число, служит коэффициентом при й" в разложении (1—2 hи удовлетворяет уравнению Лежандра [c.244]

Полиномы Лежандра могут быть получены при разложении в ряд по степеням г функции [c.63]

К третьей группе относятся работы, сочетающие приведение трехмерных краевых задач теории упругости к двумерным задачам теории оболочек с оценкой области применимости приближенных теорий. В этом направлении выделяется метод, основанный на построении разложений искомых функций по возрастающим степеням координаты в тригонометрические ряды, в ряды по полиномам Лежандра и т. д. Подробный обзор работ, связанных с этим способом приведения, представлен в монографии Н. А. Кильчевского [54]. [c.4]

Используя асимптотические разложения для функций Лежандра при больших значениях степени или порядка [15, 20], можно доказать, что при фиксированном А и 5 —+ сх [c.222]

Вычисленные значения квадратов коэффициентов являются рациональными дробями, которые за редким исключением для рассмотренных пределов изменения аргументов содержат только простые множители, не больше чем 19. Обычно в приложениях необходимо умножить несколько таких рациональных дробей, чтобы найти численный коэффициент при полиноме Лежандра Pj ( os 0) или при нормированной присоединенной функции Лежандра Р ( os 0). Эта операция упрощается, если вместо самой дроби писать лишь показатели степеней тех простых чисел, на которые раскладывается числитель и знаменатель последней. Показатели степеней простых чисел записываются в следующем порядке на первом месте пишется степень двойки, на втором — степень тройки, на третьем— степень пятерки и т. д. Если следующее по порядку простое число отсутствует в разложении, то вместо него пишется нуль. Отрицательные степени простых чисел отмечаются подчеркиванием снизу. Для более быстрой ориентации показатели степени простых чисел первого десятка отделяются запятой от остальных показателей. Если в разложении встречается простое число, большее 19, то оно записывается справа в скобках в явной форме в соответствующей степени. Если показатель превышает десять, то пишется только величина превышения вместе с черточкой над ней. Для единицы принято обозначение в виде е. Такую запись мы будем называть представителем числа. Например, представителем числа 30 будет 111, так как 30 = 2 31 51- -111. Приведем еще ряд примеров [c.224]

В дальнейшем, рассматривая функции, вектор-функции или векторные поля f x , х , ж ), зависящие от координат х , х , з точки оболочки, будем предполагать, что они в достаточной степени гладки, например, /(ж , х , ж ) (й и /ге 1. Тогда f x , х , ж ) относительно скалярной координаты ж для каждой фиксированной точки x , з ) 8 можно разлагать в ряд по полиномам Лежандра Аргумент ш = - полиномов Лежандра изменяется в промежутке [—1, 1], когда [-К ]. Разложение функции (вектор-функции, векторного поля) имеет вид (см., например, [И]) [c.34]

Из (31), (33) следует, что (32) представляет собой разложение по действительным показателям степени В, по крайней мере, в области пе очепь больших значений Ке и Рг. Заметим, что при Рг = О или Ке = О система функций, отвечающая положительным показателям степени при В, тп(п<0) также совпадает, как и при га > О, с полной липейно независимой системой полиномов Лежандра. Можно полагать, как и в случае с га > О, что свойства полноты и линейной независимости функций (га<0) сохраняются и при Рг >0, Ке > 0. Это дает основание утверждать, что решение тепловой задачи в шаровом слое также существует и единственно и представимо в виде разложения (32). Видимо, существование и единственность решения краевой задачи для однородного уравнения конвективной теплопроводности будут иметь место, как в случае уравнения Лапласа, и для областей более общего вида. [c.268]

Представим функцию Кошмарова Кв(г) при 1г1<1 в виде степенного ряда. Для этого воспользуемся разложением в ряд функции Лежандра (см. [3], 3.5) [c.382]

В этой связи представляется полезным упомянуть об интересной аналогии между данным методом и потенциальной теорией рассеяния. Хорошо известно (см., например, [3]), что вся необходимая информация динамического характера потенциальной теории заложена в 5-матрице, которая является отношением функций Поста — предэкспоненциальных множителей в асимптотическом выражении для шредингеровской волновой функции. Реджевское поведение амплитуды потенциального рассеяния является следствием степенной (экспоненциальной) асимптотики функций Лежандра (матричных элементов некомпактной группы SIУ(1, 1)) по энергии. В теории представлений некомпактных полупростых групп Ли имеет место аналогичная ситуация, причем роль функций Иоста играют коэффициенты при главных членах асимптотического разложения матричного элемента соответствующего представления, имеющих экспоненциальный характер в области бесконечно больших значений некомпактных параметров. (Более подробно, см. П.З, 11.4.) [c.81]

Метод разложения по специальным функциям реализован И. Н. Векуа [3 24] (1965) в этом методе разложения строятся не по степеням нормальной координаты Хз, а по полиномам Лежандр1а, что, по-видимому, улучшает сходимость. Дважды непрерывно дифференцируемую функцию (х), заданную на сегменте [—1, 1], можно разложить в равномерно сходящийся ряд по полиномам Лежандра Рп(х) [c.184]

На протяжении всего параграфа выявляются два пути использования этих точных решений. Первый из них состоит в добавлении напряжений, связанных с точными решениями, чтобы удовлетворить граничным условиям для напряжений па дополнительных поверхностях второй — в использовании точных решений при. тех размерах и частотах, когда необходимые добавочные граничные условия удовлетворяются автоматически либо точно, либо приближенно. Однако нужно упомянуть еще об одном эффективном методе решения задач подобного типа, хотя он и не рассматривается ниже. Он состоит в разложении всех смещений при заданной геометрии в соответствующие ряды функций, ортогональных в интервале, соответствующем заданному размеру Такими рядами функций являются степени х, полиномы Лежандра и полиномы Якоби. Подобный метод использовал Эпштейн [42 У для получения резонансных частот толстых круглых пласпшЫс й Миндлин и др. [18, 29, 43, 44] для сведения дифференциальных уравнений и граничных условий в трех измерениях к бесконечным рядам более просто решаемых дифференциальных уравнений и граничных условий в двух измерениях. Эти ряды затем обрываются и иногда для получения желаемого приближения в них вводятся произвольные параметры. Работы, перечисленные в списке литературы, не являются исчерпывающими, но могут служить-в качестве практического введения к этим методам получения приближенных решений для полубесконечных цилиндров и пластинок и для резонаторов. [c.174]

Для определения параметров колебаний ограниченных пьезоэлектрических пластин разработано несколько теорий, дающих, однако, точные результаты лишь для пластин довольно простого вида. В настоящее время большинство решений основано на аппроксимации двумерных уравнений, полученных путем разложения выбранных величин в ряд. В теории пьезоэлектрических резонаторов используются главным образом два типа разложения. Первый предполагает разложение величин в степенной ряд. Для чисто упругого случая этот метод применил Миндлин [32], а с учетом пьезоэлектрических свойств его дополнили Тирстен и Миндлии [33]. Второй тип разложения основан на использовании полиномов Лежандра и был применен для решения уравнений колебаний чисто упругих пластин [34] и пьезоэлектрических пластин [35]. Оба указанных способа приближенного решения будут рассмотрены в данной главе. [c.64]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...