Уравнение Лежандра обобщенное

Лежандрово преобразование может быть приложено к лагранжиану, рассматриваемому как функция переменных преобразования ф, а также координат положения и времени t. При этом скорости преобразуются в импульсы, а лагранжиан — в гамильтониан. Преобразование Лежандра при приложении его к уравнениям Лагранжа отделяет дифференцирование по времени от алгебраического процесса и приводит к каноническим уравнениям. В самом деле, определив обобщенный импульс р, через лагранжиан [c.876]

Интересно отметить, что, как видно из (7-5), в случае работы, совершаемой системой, находящейся в гравитационном поле, обобщенная сила — вес тела gG — в отличие от других известных нам обобщенных сил является величиной не интенсивной, а экстенсивной, а обобщенная координата — высота ft, напротив, является не экстенсивной, а интенсивной величиной. Заметим в этой связи, что уравнение (7-6) можно преобразовать к более привычному (с точки зрения положения фактора интенсивности и фактора емкости) виду используя преобразование Лежандра [c.163]

Отличие между выражениями (1.177) и (В.8) обусловлено тем обстоятельством, что потенциал V определен при постоянном поле h,aV при фиксированной амплитуде флуктуаций р. Иными словами, первый является функцией поля h, а второй зависит от амплитуды флуктуаций <р. Величины h,(p представляют пару сопряженных параметров стационарного состояния (типа объема и давления в термодинамике), а синергетические потенциалы V h), V преобразованием Лежандра V = V — htp. Уравнение состояния, дающее зависимость h ip), следует из условия h = -dV/dip. Более просто ввести поле / = VQ ri) + V r] = которое сводится к обобщенной силе. Тогда уравнение (1.220) принимает вид [c.322]

Если вместо обобщенных скоростей ввести новые переменные, то система уравнений Лагранжа будет представлять собой систему уравнений, разрешенную относительно производных от этих новых переменных. Гамильтон обнаружил преобразования, которые делают функцию Лагранжа линейной относительно скоростей при одновременном удвоении числа переменных. Благодаря этому преобразованию задачи механики могут быть сведены к каноническим дифференциальным уравнениям. В основе преобразования Гамильтона лежит идея общих преобразований французского математика Лежандра (1752—1833). [c.446]

Преобразование Лежандра, осуществленное над всеми обобщенными скоростями д,, приводит к частному случаю уравнений Рауса, называемому уравнениями Гамильтона ( 66). [c.129]

В 29 были введены уравнения Рауса. Рассмотрим частный случай этих уравнений, когда непотенциальные силы отсутствуют, а преобразованию Лежандра подвергаются все обобщенные скорости. Функция Рауса в этом случае называется функцией Гамильтона и обозначается обычно буквой %. [c.279]

Разложение (15.27) служит, очевидно, простейшим обобщением стандартного разложения для частиц с нулевым спином [см. первую строку формулы (11.10)]. Оно отличается от последнего только тем, что полиномы Лежандра заменены функциями (ф, 0, —ф). зависимость которых от 0 выражается с помощью полиномов Якоби. Заметим, что физически функции являются собственными функциями уравнения Шредингера для симметричного волчка. Число / оказывается при этом квантовым числом углового момента, а v и v — квантовыми числами проекций углового момента соответственно на фиксированную ось в пространстве и на ось, связанную с волчком. [c.415]

Гамильтонианы (7.20) и (7.23) являются релятивистскими лищь в том смысле, что они приводят к правильным релятивистским уравнениям движения. Однако они не являются ковариант-ными. Ковариантный гамильтониан Н можно получить, применяя преобразования Лежандра к ковариантному лагранжиану L, рассмотренному в предыдущей главе. При этом вместо времени t следует пользоваться инвариантным временем т и вместо обобщенного 3-импульса рассматривать обобщенный 4-импульс. В релятивистских обозначениях ковариантный гамильтониан частицы запищется в виде [c.248]

К сожалению, математическая теория таких спектральных задач развита слабо. Известна, например, теория несамосопряженных, операторов Лежандра [131], в которой доказывается, что спектры этих операторов состоят из изолированных собственных значений конечной алгебраической кратности, не имеющих конечных предельных точек. Линейная оболочка множества собственных и присоединенных функций обобщенного оператора Лежандра плотна в Ь2 (—1, 1) [131]. Если в уравнении (24) в последнем члене положить Яп = сОп(1 —ю ) и считать этот множитель собственным значением, а все остальные Юп в (24), (26) — данными, то такое уравнение можно записать в виде 2 Тп = ЯпТп, где 2 — несамосопряженный обобщенный оператор Лежандра. Тогда все указанные свойства переносятся на полученное уравнение. [c.265]

При таком подходе для рассматриваемого уравнения собственное значение не обязано равняться со (1 —Юп). Однако оператор 2 является обобщенным несамосопряженным оператором Лежандра при произвольных конечных Юп, в частности для таких ю , которые удовлетворяют уравнению Яя = со (1 — соп). Поэтому можно надеяться (доказать это утверждение строго пока не представляется возмон ным), что свойство полноты собственных функций для задачи (24), (26) также будет иметь место. Это заведомо так для частных случаев Рг = О и Ке = О, поскольку тогда задача превращается в задачу на собственные значения для обыкновенного оператора Лежандра. Следует отметить, что первое собственное значение 0)1 = 1 при всех значениях чисел Ке и Рг, что диктуется законом сохранения теплового потока. Соответствующая собственная функция (11) отвечает решению задачи с заданным ненулевым потоком тепла на бесконечности. [c.265]

Систему уравнений (4) можпо представить как результат действия иесамосопряженного обобщенного дифференциального оператора Лежандра [131], поэтому в окрестности особых точек ж = 1 существуют аналитические решения, а условия ограниченности и", У, ТУ", Q равносильны требованию аналитичности функций в этих точках. Условия аналитичности следуют из (4), если учесть, что г/1 (ж) задана выражением (1.2), и положить х = или ж = — 1. Выбором параметра а можно осуществить аналитическое продолжение решения из точки ж = 1 вплоть до точки х = = —1 (или наоборот). [c.309]

Методы решения задачи об обтекании удлиненных тел произвольного поперечного сечения сходны с методами, используемыми для тел вращения. Ф. И. Франкль и И. И. Этерман (1944) предложили метод расчета для тел, близких к удлиненным эллипсоидам вращения. На эллипсоиде вращения решается краевая задача с помощью обобщенных функций Лежандра (шаровых функций). Для поверхности более общего вида с резкими изменениями формы как продольных, так и поперечных сечений можно использовать распределение по поверхности особенностей. Краевая задача сводится к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Для его решения в настоящее время с успехом используются быстродействующие вычислительные машины. В посвяще нной этому вопросу работе Л. А. Маслова (1966) интегральное уравнение решается методом последовательных приближений и удается с хорошей точностью рассчитать тела сложной формы, такие как фюзеляжи самолетов и вертолетов с различными надстройками и т. п. [c.91]

Это позволило свести (5.66) к соотношению (5.55), где / (0, с ), с=0, Ь = оо, а роль iti( i, л ) выполняет фигурирующая выше функция Лежандра. Последующее использование формулы обращения для обобщенного преобразования Мелера — Фока завершило получение точного решения уравнения (5.66). [c.74]

Мы рассмотрим случай, когда Ф = -vT, где — известная положительная функция времени (например, = onst > 0). Применяя преобразование Лежандра, перейдем от уравнений Лагранжа (6.1) к обобщенным каноническим уравнениям Гамильтона [c.138]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...