Преобразование Лежандра. Функция Гамильтона

Преобразование Лежандра. Функция Гамильтона. В [c.283]

Лагранжева механика включается в гамильтонову как частный случай (фазовое пространство в зтом случае есть кокасательное расслоение конфигурационного, а функция Гамильтона — преобразование Лежандра функции Лагранжа). [c.142]

Резюме. Преобразование Лежандра можно применить к функции Лагранжа L, считая скорости qi активными переменными преобразования, а позиционные координаты qi и время t— пассивными. Скорости преобразуются в импульсы функция Лагранжа преобразуется в функцию Гамильтона. [c.195]

Исходя из функции Гамильтона Я и опираясь на дуализм преобразования Лежандра, можно построить функцию Лагранжа L. Функция L будет определяться выражением [c.197]

Затем Р рассматривается как функция от Г и 7, тогда как и была функцией 5 и У. Это служит примером преобразования Лежандра. Определение (5.10) является другим примером того же преобразования, и, следовательно, функцию Гамильтона нужно в общем случае считать функцией координат, импульсов и времени, т. е. [c.61]

Функция Гамильтона и уравнение энергии. Функция Гамильтона Н связана с функцией Лагранжа L (в условиях преобразования Лежандра при переходе от переменных щ к переменным pi) равенством [c.51]

В 29 были введены уравнения Рауса. Рассмотрим частный случай этих уравнений, когда непотенциальные силы отсутствуют, а преобразованию Лежандра подвергаются все обобщенные скорости. Функция Рауса в этом случае называется функцией Гамильтона и обозначается обычно буквой %. [c.279]

Полная производная по времени. Функция Лагранжа получается из гамильтониана с помош,ью преобразования Лежандра [c.445]

Гамильтонова форма системы (6.18) может быть получена при помощи преобразования Лежандра (4.14). При этом функция Гамильтона системы в общем случае слишком громоздка, приведем ее вид при условии, что тело динамически симметрично относительно оси Ь (Д = /2) [c.69]

Частные производные функций Лагранжа и Гамильтона по играющим в преобразовании Лежандра роль параметров координатам И времени будут связаны соотношениями [c.104]

Это непосредственно следует из определения функции Гамильтона (1.2) и определения преобразования Лежандра (1.1). [c.145]

При построении функционала (2.5) использовалась связь между функциями Лагранжа и Гамильтона и преобразование Лежандра р -. В дальнейшем переменные р, д рассматривались как независимые и из стационарности функционала действие были получены обратное преобразование Лежандра и динамическое уравнение р = -У,Я. [c.150]

Если вместо обобщенных скоростей ввести новые переменные, то система уравнений Лагранжа будет представлять собой систему уравнений, разрешенную относительно производных от этих новых переменных. Гамильтон обнаружил преобразования, которые делают функцию Лагранжа линейной относительно скоростей при одновременном удвоении числа переменных. Благодаря этому преобразованию задачи механики могут быть сведены к каноническим дифференциальным уравнениям. В основе преобразования Гамильтона лежит идея общих преобразований французского математика Лежандра (1752—1833). [c.446]

Эпштейн показал полную эквивалентность обоих методов. Во всех этих. методах использован математический прием, состоящий в применении преобразования Лежандра. В старой классической квантовой механике стремились ввести такие координаты, которые делают функцию Гамильтона зйвисимой только от канонически сопряженных импульсов, так как в этом случае механическая задача легко разрешима. [c.860]

Показано, что элементарное действие и уравнения Гамильтона будут инвариантными по отношению к преобразованию подобия, если суммы показателей квазиоднородности сопряжённых величин равны между собой. При этом преобразование Лежандра даёт функцию Лагранжа, которая является квазиоднородной той же степени, что и функция Гамильтона. [c.232]

Заметим, что степень квазиоднородности функции Н в равенствах (10) играет также роль показателя квазиоднородности величины, сопряжённой с независимой переменной (временем), а суммы показателей (включая и правую часть равенства) дают значение степени действия. При условиях (10) преобразование Лежандра даёт функцию Лагранжа, которая является квазиоднородной той же степени, что и функция Гамильтона. [c.233]

Доказательство. По определению, преобразование Лежандра Ь д, д, I) по десть функция Я р) = рд — Ь д), в которой д выражено через р по формуле р дЫдд, и которая зависит еще от параметров д, I. Эта функция Н называется функцией Гамильтона. [c.62]

Часто вместо точечной характеристики удобно использовать другие, свя- занные с ней функции (также введенные Гамильтоном), которые называются смешанной и уг.ювой характеристиками. Их можно получить из точечной характеристики с по ющью преобразований Лежандра ), и они оказываются особенно полезными, когда Р или Рг, или обе эти точки находятся в бесконечности. [c.139]

Задача п точечных вихрей. Не следует думать, ч. уравнения Гамильтона появляются в механике лишь в результате применения к уравнениям Лагранжа преобразования Лежандра. Рассмотрим плоское стационарное течение идеальной несжимаемой жидкости. Пусть v=(a x, у), Ь х, i/))—поле скоростей ее частиц в декартовых координатах х, у. Из условия несжимаемости divt = 0 следует, что 1-форма ady—bdx является дифференциалом некоторой функции Yix, у). Уравнение движения частицы жидкости можно представить тогда в виде уравнения Гамильтона [c.36]

М, Ь) является натуральной, перейдем с помощью преобразования Лежандра к уравнениям Гамильтона иа Т М. Функции /ь. .., / Т М- -Н независимы и инволютивны (в стандартной симплектической структуре на Т М) тогда и только тогда, когда поля VI,..., о независимы и коммутируют иа М. Наличие линейных интегралов налагает ограничения не только на риманову метрику и потенциал силового поля, но и на топологию пространства положений. [c.93]

Мы рассмотрим случай, когда Ф = -vT, где — известная положительная функция времени (например, = onst > 0). Применяя преобразование Лежандра, перейдем от уравнений Лагранжа (6.1) к обобщенным каноническим уравнениям Гамильтона [c.138]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...