Лежандра эллипсоид

Лапласа плоскость 268 Лежандра эллипсоид 33, 41, 451 Линия наибольшего сжатия 171 [c.462]

Функции Лежандра встречаются также при применении метода разделения переменных к ортогональным координатам, полученным внутренними сечениями семейства конфокальных растянутых эллипсоидов вращения и семейства конфокальных гиперболоидов (рис. 29). Если записать [c.106]

На поверхности эллипсоида 5 = искомая гармоническая функция зависит по сказанному только от [х и чётна относительно х поэтому она может быть представлена рядом полиномов Лежандра чётного порядка [c.264]

ИЗ которой надо определить коэффициенты А , причем предполагается, что ядра Кп (х) образуют на промежутке (а, Ь) замкнутую систему, а числа и заданы. С помощью парных рядов, содержащих разложения по полиномам Лежандра, в работах Н. X. Арутюняна, Б. Л. Абрамяна и А. А. Баблояна (1964, 1966) было решено несколько интересных задач о деформации упругой сферы, а также эллипсоида вращения при смешанных граничных условиях. Ими рассмотрено осесимметричное сжатие сферы двумя симметрично расположенными одинаковыми жесткими штампами в предположении отсутствия трения. Эту задачу удалось свести к парным рядам указанного выше вида при х) = (ж), = /г + /а, == = 1 + Ртг (величины при п- оо имеют порядок 1/п), а —1, Ь = 1. Если обозначить через V х) значение суммы первого из парных рядов при X > с, то решение сводится к интегральному уравнению [c.39]

Пример. Если плоскость движется таким образом, что момент инерции твердого тела относительно ее всегда пропорционален квадрату длины перпендикуляра, опущенного на эту плоскость из центра тяжести тела, то эта плоскость огибает эллипсоид, подобный эллипсоиду Лежандра. [c.33]

Этим эллипсоидом можно также воспользоваться для нахождения момента инерции относительно произвольной прямой, проходящей через начало координат. Пользуясь результатами, полученными в п. 15, можно доказать, что момент инерции тела относительно произвольной прямой, проходящей через начало координат, пропорционален разности двух выражений. Одно из пих является суммой величин, обратных квадратам длин полуосей этого эллипсоида, другое — величиной, обратной квадрату длины радиуса-вектора эллипсоида, направленного вдоль данной прямой. Рассматриваемый эллипсоид является поверхностью, взаимной эллипсоиду Лежандра. У всех этих эллипсоидов главные диаметры совпадают по направлению, и любой из этих эллипсоидов может быть использован для определения направления главных осей инерции в произвольной точке. [c.34]

В XVIII—XIX вв. при решении этой проблемы исходили из гипотезы о том, что на некоторой стадии развития небесные тела были жидкими. А. Клеро показал, что если скорость вращения жидкой массы очень мала, то за поверхности уровня с достаточной степенью точности могут быть приняты поверхности эллипсоидов вращения. Но этот результат справедлив лишь в первом приближении, а теория Клеро не позволяла найти более высокие приближения. Затем А. Лежандр и П. Лаплас предложили методы, которые позволяли находить последовательные приближения. [c.265]

Существенного успеха по сравнению с тем, что было достигнуто геометрическими методами, впервые добился Лежандр в мемуаре Исследования о прйтяжении однородных эллипсоидов , представленном Парижской академии в 1785 г. несомненно, работа была закончена на год или два года раньше. Лежандр справедливо указывает, что хотя Лагранж рассмотрел задачу о притяжении во всей общности, но фактически провести интегрирование ему удалось только в тех случа ях, которые были уже исследованы Маклоре-ном. Лежандр доказывает новую важную теорему если известна сила притяжения телом вращения любой внешней точки на продолжении оси тела, то она известна для любого положения внешней точки. Это позволяет ему обобщить теорему Маклорена о софокусных эллипсоидах вращения (обобщение теоремы на случаи трехосных софокусных эллипсоидов позже удалось Лапласу). Лежандр впервые вводит в этом мемуаре разложение в ряд по полиномам, названным его именем (по сферическим функциям), и здесь же впервые появляется силовая (или потенциальная) функция, но с указанием, что эта идея принадлежит Лапласу. По оценке Тодхантера, ни один мемуар в истории рассматриваемого вопроса не может соперничать с этим мемуаром Лежандра. В течение сорока лет средства анализа, даже в руках Даламбера, Лагранжа и Лапласа, не продвинули теорию притяжения эллипсоидов дальше того рубежа, на который вышла геометрия Маклорена.... Лежандр обобщил главный результат этой геометрии... Введение и применение круговых функций начинает новую эру в математической физике. [c.152]

Методы решения задачи об обтекании удлиненных тел произвольного поперечного сечения сходны с методами, используемыми для тел вращения. Ф. И. Франкль и И. И. Этерман (1944) предложили метод расчета для тел, близких к удлиненным эллипсоидам вращения. На эллипсоиде вращения решается краевая задача с помощью обобщенных функций Лежандра (шаровых функций). Для поверхности более общего вида с резкими изменениями формы как продольных, так и поперечных сечений можно использовать распределение по поверхности особенностей. Краевая задача сводится к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Для его решения в настоящее время с успехом используются быстродействующие вычислительные машины. В посвяще нной этому вопросу работе Л. А. Маслова (1966) интегральное уравнение решается методом последовательных приближений и удается с хорошей точностью рассчитать тела сложной формы, такие как фюзеляжи самолетов и вертолетов с различными надстройками и т. п. [c.91]

В случае эллипсоида вращения аналитические функции допускают разложения по полиномам и функциям Лежандра Р (С/с), QJV ), i PniW ), (п- [c.253]

Иным способом эта формула была выведена А. А. Орловым в статье Об одном способе разложения силовой функцнн сжатого эллипсоида вращения в ряд по многочленам Лежандра, Труды ГЛИШ, т. XXIV, 1954, [c.250]

Этот эллипсоид должен рассматриваться как сплошное однородное тело такой плотности, что его масса равна массе тела. Из примера 3 п. 8 следует, что моменты инерции объема этого эллипсоида относительно главных осей и на основании п. 15 его моменты инерции относительно всех плоскостей и осей — те же самые, что и у данного твердого тела. Этот эллипсоид называют равномоментпым эллипсоидом инерции или эллипсоидом Лежандра. [c.33]

Используя в качестве исходного эллипсоид Лежандра для произвольно выбранного тела, заключаем, что произвольное тело равномоментно системе пяти материальных частиц, расположенных, как было описано ранее, на эллипсоиде, подобном эллипсоиду Лежандра для данного тела, [c.41]

Построим эллипсоид инерции Лежандра для центра тяжести тела. Тогда, как объяснено в п. 29, этот эллипсоид равномомеитен телу. Но этот эллипсоид также равномомеитен системе четырех соответственно расположенных точек с равными массами, каждая из которых равна (ЗЛ4/20)-(1/я ) и пятой точке (вводимой для дополнения массы всей системы точек до массы тела), помещенной в центре тяжести О. [c.451]

Для трёхосных эллипсоидов используемые интегралы нельзя выразить через элементарные функции. Как показал Дарвин, их можно выразить посредством эллиптических интегралов в форме Лежандра. Поэтому численные расчёты для эллипсоидов оказываются гораздо более громоздкими, чем для сфероидов. Такими расчётами занимался Дарвин, однако отдельные значения до него получил ещё Плана (Plana), хотя некоторые из них Дарвин считал ошибочными. Таблица II, впервые составленная Дарвином, даёт ряд значений для эллипсоидальных конфигураций, начиная со сфероидального члена ряда Якоби. [c.73]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...