Соотношение Лежандра

Постоянные 6i и 62 связывает соотношение Лежандра [c.18]

Применим равенство (3.9) к определению постоянных 61 и 62 для правильных систем. Привлекая соотношение Лежандра [c.25]

Из формул (2.1.23) находим с помощью соотношения Лежандра (0.1.30) величины К о, К , К 2 и Кз - [c.184]

Если функцию формы F В, t) представить в виде ряда по полиномам Лежандра, из соотношения (2. 6. 8) будет следовать, что только член, пропорциональный P (6) os t, даст отличный от нуля вклад в амплитуду в. Соотношение (2. 6. 9) означает, что функция F (0, t) всегда ортогональна функции (0) sin i и, следовательно, зависимость фазы колебаний от времени имеет вид os t. [c.53]

Соотношения (2. 6. 26), (2. 6. 27) с учетом свойств ортогональности полиномов Лежандра и тригонометрических функций приводят к следующему виду функции в, i) [c.56]

Подставим в (6. 8. 69) соотношение (6. 8. 16). В силу ортогональности полиномов Лежандра ненулевой вклад в интеграл дадут только члены с п=0. Кроме того, поскольку [c.287]

Таким образом, соотношения (5.34), (5.36) и (5.39) определяют прямое и обратное преобразования (преобразования Лежандра). [c.140]

Этот результат не является выражением особенностей рассмотренной системы (идеального газа), он следует из законов термодинамики. Для расчета всех овойств системы, как было показано, достаточно знать одно (фундаментальное) соотношение между ними, поэтому уравнения состояния не могут быть независимыми. Связь между ними выводится наиболее естественно- при помощи уравнений Гиббса—Гельмгольца, так называют соотношения между двумя любыми термодинамическими потенциалами, которые различаются друг от друга только одной независимой переменной, т. е. получаются один из другого при однократном преобразовании Лежандра [c.93]

Такое разнообразие выражений для элементарных работ вызвано принятыми в физике способами описания электрических и магнитных явлений, а не термодинамическими особенностями этих систем. Действительно, соотношение (19.7) показывает, что функцию и можно рассматривать не как внутреннюю энергию, а как термодинамический потенциал Ль являющийся преобразованием Лежандра функции V. Формальный смысл введения этой функции—замена переменной на сопряженную ей интенсивную переменную 6. Соотношение между V" ц. и ъ поляризованной системе подобно соотношению между Я и (У в рассмотренных выше механических системах. Так, если давление в цилиндре создается весом поршня mg, то потенциальная энергия поршня mgh = Pa)h = PV, где h — высота цилиндра, со — площадь поверхности поршня. Можно ограничить рассматриваемую систему телом, находящимся, внутри цилиндра, внутренняя энергия такой системы равна U. Но можно включить в систему и поршень, тогда внутренняя энергия равняется U + PV=H. Физический смысл слагаемых типа VdP, входящих в фундаментальное уравнение функции, Н Т, Р, п) [c.161]

Но таким же соотношением связаны переменные р и х при преобразовании Лежандра. Кроме того, в силу выпуклости /(х) этот экстремум есть максимум. [c.628]

Отметим, что базисные функции можно выражать и через полиномы Чебышева, Лежандра и др., причем существенных различий в результате расчета не наблюдалось, поэтому большинство результатов было получено из решения указанной выше задачи с применением базисных функций вида, представленного соотношением (2.2.24). [c.62]

Из соотношения (1) легко получить теоремы сложения для сферических функций полиномов Лежандра. [c.224]

Переход от соотношений (2.8.6) к (2.8.7) называется преобразованием Лежандра. Осуществляется оно следующим образом. [c.65]

Мы предположим, что соотношения (8.1.3) однозначно разрешимы относительно вц. С помощью преобразования Лежандра эти обратные соотношения можно представить при помощи формул, аналогичных (8.1.2). Если U вц) служит потенциалом напряжений, то потенциал деформаций или дополнительная работа определяется следующим образом (см. 2.8) [c.238]

Отсюда преобразованием Лежандра получаются обратные соотношения [c.630]

При получении формулы (и) и последующих формул учтены свойства функций Лежандра, выраженные соотношениями [c.217]

Гаусс высоко ценил сформулированный им принцип, потому что этот принцип представляет собой полную физическую аналогию методу наименьших квадратов теории ошибок (открытому самим Гауссом и независимо Лежандром). Пусть задано некоторое функциональное соотношение, содержащее ряд параметров, которые должны быть определены экспериментально. Если число наблюдений равно числу неизвестных параметров, то вычисления производятся непосредственно. Однако при числе наблюдений, превышающем число параметров, уравнения становятся противоречивыми вследствие наличия ошибок наблюдений. [c.132]

Так называемые присоединённые функции Лежандра Р х) удовлетворяют соотношению [c.141]

Чтобы найти соотношение для адиабатического размагничивания, образуем новую характеристическую функцию Ф по правилу Лежандра (см. 11) [c.131]

Подставляя в это соотношение полином (4.111), дифференцируя и записывая полученные выражения через полиномы Лежандра (4.116), получаем зависимость [c.153]

Возвращаясь к уравнению (VI. 1.5) при тФО, можно непосредственной проверкой убедиться, что функция (ц) связана с п-и полиномом Лежандра соотношением [c.896]

Выбирая надлежащим образом постоянные С, i и принимая Mi =P (ji), из этого соотношения находим второе решение уравнения Лежандра — функцию Лежандра второго рода (т = 0) [c.897]

Задачу обращения преобразования Лапласа для соотношения (V.50) можно решать методами, основанными на разложении оригинала в ряды по ортогональным функциям Лежандра. Таким образом, задача сводится к проблеме моментов на конечном промежутке [221]. [c.121]

Приведенные соотношения записаны для сферических гармоник (0, ф) = jPn ( os 0) е"" ортонормированными присоединенными функциями Лежандра. Величины — коэффициенты разложе- [c.38]

Использование формулы дифференцирования интеграла по параметру (1.74) и соотношений между полиномами Лежандра [c.36]

Легко видеть, что О1СО2 — бг — чисто мнимая величина. Действительно, найдя 62 из соотношения Лежандра (0.1.30) и подставив его в рассматриваемое выражение, получим [c.98]

Здесь 2(003 6) — функция Гегенбауэра порядка п и степени — V2l которая связана с полиномами Лежандра следующим соотношением [29] [c.79]

Соотношение (3. 1. 9) представляет собой двойное сферическое разложение потенциала (р . Первый член в правой части 3. 1. 9) соответствует потенциальному течению жидкости в отсутствие одного из пузырьков газа ряд по полиномам Лежандра учитывает возмугцение течения жидкости, обусловленное наличием двух пузырьков газа в жидкости и их взаимодействием. [c.91]

Подставим (1.15), (1.16) в (1.12). Р1спользуЯ свойство ортогональности полиномов Лежандра и приравнивая в полученном соотношении коэффициенты левой и правой частей при многочленах одинакового номера, получим [c.129]

С помощью Лежандра преобразований можно перейти от внутр. энергии U к Гельмгольца энергии (свободной энергии) F, Гиббса энергии G и энтальпии Н. ooth i tb. диф-ференц. соотношения имеют след, вид [c.85]

Это частный случай преобразования Лежандра, применяемого в вариа-циоином исчислении. Можно доказать, что существует единственное соотношение, являющееся обращением уравнения (2.28). [c.57]

Формула (8.130) дляа при п=2,3,. .. приводится к виду (8.22), если использовать следующее рекуррентное соотношение для по-/ линомов Лежандра [64] Рп+ (а ) ( + 1)-=(2я+ 1) л Р (л ) (л ). Полагая здесь п+ = т и вновь заменяя т на п, найдем [c.385]

Таким образом, решение перюй и второй задач в /-м приближении свелось соответственно к вычислению величин из рекуррентных соотношений (5.49), (5.51). Следовательно, в /-м приближении задачи можно считать решенными, если известны операторы Lft " для /-приближения, поскольку в этом случае интегралы в правых частях (5.49), (5.51) вычисляются с использованием рекуррентных соотношений для функций Лежандра. Поскольку указанные операторы известны (формулы для них приведены в третьей главе), решение задачи заканчивается. [c.125]

Рост полюсов и нулей функции К (а) с уменьшением относительной толщины упругого слоя позволяет асимптотически значительно упростить систему (4.50) и другие соотношения. Используя асимптотику функций Лежандра при больших индексах, можно показать, что система (4.50) асимптотически эквивалентна системе [c.169]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...