Определение Лежандра

Связь такого представления с нашей теперешней точкой зрения заключается в следующем если (р есть потенциал скоростей источника на оси х на расстоянии с от начала, то мы будем иметь, согласно определению Лежандра, для значений г, меньших чем с, [c.143]

Для решения задачи можно воспользоваться представлениями смещений через гармонические функции в том или ином виде, например, представлениями Папковича — Нейбера (5.16) гл. III. При этом сами гармонические функции представляются через присоединенные функции Лежандра, а для определения требуемых значений % получаются весьма сложные трансцендентные уравнения [c.321]

При определении значений функций Лежандра можно пользоваться их разложением в бесконечные ряды [55], методика табулирования этих функций при комплексном значении п дана в работе [91]. [c.218]

Канонический интеграл. Уравнения системы (6.3.5) происходят из двух источников. Первая группа уравнений возникает в силу преобразования Лежандра и может рассматриваться как определение импульсов р,-. Вторая группа уравнений является следствием вариационного принципа. Вместе с тем явная симметрия полной системы уравнений заставляет предположить, что все они могут быть получены из какого-то единого принципа. Это действительно так. [c.197]

Затем Р рассматривается как функция от Г и 7, тогда как и была функцией 5 и У. Это служит примером преобразования Лежандра. Определение (5.10) является другим примером того же преобразования, и, следовательно, функцию Гамильтона нужно в общем случае считать функцией координат, импульсов и времени, т. е. [c.61]

С помощью преобразования Лежандра определение (а) перейдет в [c.876]

ТО для определения неизвестных по принципу Лежандра составляются нормальные уравнения следующего вида [c.310]

Цель приложения заключается в том, чтобы кратко напомнить квадратурную формулу Гаусса, правило выбора узлов и соответствующих им весовых множителей. Эта формула оказывается полезной в МГЭ при вычислении различных интегралов по элементам и ячейкам. Главное преимущество метода численного интегрирования Гаусса — Лежандра по сравнению с обычными методами (правилом трапеций Симпсона и т.д.) заключается в том, что определенная точность результатов может быть достигнута методом Гаусса при использовании вдвое меньшего, чем в других методах, числа ординат. Это является следствием введения в формулу в виде параметра не только соответствующего каждой ординате весового множителя, но и местоположения узлов, соответствующих этим взятым из области интегрирования ординатам (рис. В. 1). [c.478]

Если к- определяется равенством (47), то уравнение (44) представляет собой уравнение Лежандра, определяющее полиномы Лежандра степени п. Нужно заметить, что для определения частот ц нашей задаче мы используем несколько необычное условие. [c.636]

Основная трудность при численном получении решения в форме (5.46) заключается в определении матрицы K(t,x), зависящей от обратной матрицы которую при численном счете надо получать на каждом шаге. Для уравнений, решение которых может быть получено в специальных функциях (уравнения Бесселя, Лежандра, Эрмита и т.д.), матрицу K(t,i) можно представить в аналитическом виде через специальные функции. [c.168]

В частных случаях при рассмотрении конкретных задач, связанных с определенной системой координат, функциями y uk,x) и г] и,х) являются либо тригонометрические функции, либо функции Бесселя, либо функции Лежандра, либо другие известные специальные функции. [c.30]

Отличие между выражениями (1.177) и (В.8) обусловлено тем обстоятельством, что потенциал V определен при постоянном поле h,aV при фиксированной амплитуде флуктуаций р. Иными словами, первый является функцией поля h, а второй зависит от амплитуды флуктуаций <р. Величины h,(p представляют пару сопряженных параметров стационарного состояния (типа объема и давления в термодинамике), а синергетические потенциалы V h), V преобразованием Лежандра V = V — htp. Уравнение состояния, дающее зависимость h ip), следует из условия h = -dV/dip. Более просто ввести поле / = VQ ri) + V r] = которое сводится к обобщенной силе. Тогда уравнение (1.220) принимает вид [c.322]

Мнемонические тер.модина.чические диаграммы. Уравнение Гиббса (3.1) является следствием применения первого и второго законов термодинамики к инфинитезимальному квазистатическому процессу, а уравнения (3.2) — (3.4) получаются далее путем повторного применения преобразования Лежандра (3.11). Если вы овладели двумя основными законами и запомнили определения термодинамических потенциалов, то для вас не представляет труда написать уравнения (3.1) — (3.4) с помощью приема, описанного выше. Однако еще лучше запомнить и следующий метод, так сказать, про черный день. [c.172]

Еще раз отметим, что можно выбрать любой базис. Полиномы Лежандра взяты только для определенности. С учетом (2.42), (2.45), (2.46) приведем спектральную задачу к виду [c.65]

Взяв за базис Ь2[—1,1] систему полиномов Лежандра (пусть далее для определенности р х) — ортонормированные полиномы Лежандра) в покомпонентной записи ползучим (см.(1.20)) [c.161]

К спонтанному упорядочению ведет нестабильность среды — нарастание малых флуктуаций поляризации. Соответствующую информацию содержит эффективный потенциал (функционал Ландау [8]) 1 (Р) — величина, определенная при всех, в том числе и неравновесных значениях ПП и имеющая минимум в точке равновесия, где она совпадает со свободной энергией Г. Последняя ведет к эффективному потенциалу при преобразовании Лежандра от аргумента Ео к самому ПП. Согласно (4) [c.206]

ИЛИ, используя определение присоединенных функций Лежандра (80), [c.380]

При определении перемещений и напряжений по формулам (14.9) и (14.17) требуется вычислять интегралы от функций Лежандра и их производных. Обозначим [c.156]

Преобразование Лежандра — вспомогательный математический прием, состоящий в переходе от функций на линейном пространстве к функциям на сопряженном пространстве. Преобразование Лежандра сродни проективной двойственности и тангенциальным координатам в алгебраической геометрии яли построению сопряженного банахова пространства в анализе. Оно часто встречается в физике (например, при определении термодинамических величин). [c.59]

Доказательство. Чтобы сделать преобразование Лежандра функции д переменного р, мы должны, по определению, рассмотреть новое независимое переменное (обозначим его через х), составить функцию [c.60]

Определение. Две функции /, g, являющиеся преобразованиями Лежандра друг друга, называются двойственными по Юнгу. [c.60]

По определению преобразования Лежандра, F х, р) — рх — [c.60]

Автор, пользуясь выражениями (8.9) и удовлетворив условиям (8.52), определение неизвестных коэффициентов сводит к парным рядам, содержащим полиномы Лежандра. [c.257]

Для этого выведем сначала формулу, принадлежащую Лапласу, представляющую многочлен Лежандра п-го порядка в виде некоторого определенного интеграла. [c.168]

Уравнение (4.97) является аналитической основой для определения и изучения эллипсоидальных функций, так же как и ранее уравнение Лежандра служило для определения и изучения сферических функций. Это основное уравнение называется уравнением Ламе ). [c.198]

Определение 9.1.1. Преобразованием Лежандра функции /(х) Нс1зывается функция [c.627]

Применения. Рассмотрим нек-рые простейшие применения описанного формализма к определению спинов и чётностей нестабильных частиц. Пусть, капр., в результате столкновений двух бесспиновых частиц образуется частица с собств. моментом j, к-рая затем распадается на те же Две бесспнновые частицы. В этом случае модуль коэф. А (р, р) в разложении (1) имеет максимум при нек-ром р=/7ре,. Если это макс, значение l/4 (/ ,)l гораздо больше всех осгальных коэф. ряда (I), то а) полное сечение рассматриваемого процесса имеет пик при ркр , б) угл. распределение в области пика имеет вид lPj(ni 2) , где Pj(n-itt2) — полином Лежандра. Отсюда можно определить спин / нестабильной частицы чётность её равна (—где Яд, Яь—чёткости рассеивающихся частиц. В случае = 0, V2 угл. распределение имеет вид [c.204]

Для полного определения индикатрисы рассеяния по теории Ми требуются вычисления для большого числа углов рассеяния. Чтобы обойти эту трудность, Чу и Черчилль [33] представили индикатрису рассеяния для неполяризованного излучения в виде ряда по полиномам Лежандра [c.94]

Проведем все выкладки в более общем, чем у Фюрта, случае несферических дырок [241]. Деформацию пузырька при заданном объеме можно описать с помощью набора параметров, как это принято в теории капиллярных колебаний [242]. Колебания поверхности являются формой теплового движения и характеризуются определенными средними амплитудами. Рассмотрим для простоты симметричные деформации пузырька. Тогда его радиус-вектор в плоскости главного сечения можно представить в виде ряда через полиномы Лежандра [c.260]

Регулярные решепия системы (13) возможны лишь при определенных значениях а , связанных с собственными значениями оператора системы (13), который является обобщенным оператором Лежандра. Такие операторы обладают хорошими спектральны- [c.278]

Получение основных формул для назначения производительных режимов как скоростно-стойкостных, так и температурных, основано на методе математической статистики с графическим определением показателей как тангенсов угла наклона выпрямленных прямых. Проведение прямых производится визуальным методом. Прямая проводится так, чтобы опытные точки лежали выше и ниже линии. В этом случае могут быть внесены индивидуальные ошибки. Можно, однако, как показатели, так и коэффициенты формул определять аналитически, методом Гаусса — Лежандра без геометрических построений. [c.216]

Способ наименьших квадратов. В виду возможных при выполнении наблюдений ошибок (например в астрономии, в геодезии) делаются дополнительные наблюдения, т. е. производится наблюдений больше, чем это необходимо для определения искомых величин. При измерении независимых величин имеют место прямые наблюдения. Если же искомые величины не могут быть измерены непосредственно и представлены как явные функции измеряемых величин, то измеряют величииы ф-ий, зависящих от искомых величин, и получают систему ур-ий, в к-рые искомые величины входят как неизвестные (вспомогательные наблюдения). Вследствие ошибок, содержащихся в ур-иях, ни одно из последних не м. б. с.ледствием остальных—между ур-иями будут противоречия. Когда число ур-ий, полученных из наблюдений, больше числа неизвестных, то ур-ия решаются по способу наименьших квадратов (Лежандр, 1806 г. и Гаусс, 1809 г.). Задача этого способа и состоит в том, чтобы уравновесить ошибки, т. е. подобрать такие величины неизвестных, при которых эти противоречия были бы наименьшими. (Предполагается, что при наблюдениях не допущено грубых, постоянных или систематических ошибок.) В задачу входит таклсе нахождение меры точности полученных значений величин. Наблюдения бывают кроме того или независимыми друг от друга или-условными. В основанде способа наименьших квадратов положено требование, чтобы сумма произведений квадратов ошибок на веса была наименьшей. [c.278]

Многие задачи математич. физпки, в частности теории колебаний, приводят к задаче о разыскании собственных ф-ций и собственных значений раз.личных дифференциальных О. Папр., цилиндрич. ф-ции, многочлены Лежандра, ф-ции Матье и т. д. представляют собой не что иное, как собственные функции определенных дифференциальных О. [c.491]

Доказательство. По определению, преобразование Лежандра Ь д, д, I) по десть функция Я р) = рд — Ь д), в которой д выражено через р по формуле р дЫдд, и которая зависит еще от параметров д, I. Эта функция Н называется функцией Гамильтона. [c.62]

В доказанной теореме к сравнению с у допускается значительно более широкий класс кривых у, чем в принципе Гамильтона яа связь р с g ве накладывается никаких ограничений. Может показаться удивительным, что оба принципа, тем не менее, эквивалентны из экстремальности в более узком классе вариаций р = = дЫдд) следует экстремальность при любых вариациях. Объяснение состоит в том, что при фиксированном q величина р = дЫдд экстремизирует рд — Н (см. определение преобразования Лежандра, 14, стр. 61). [c.215]

Формула, прицеленная в 23], отличается от (116) множителем (—1) . Различие связано с тем, что в работе [23] использовапо несколько иное определение присоединенных полиномов Лежандра (см. сноску на стр. 597), [c.609]

Критерий Якоби для минимума. Если экстремаль монспо целиком поместить в поле и условие Лежандра выполняется для всех ее точек между Р1 и Рз, то интеграл /, определенный (1), имеет (слабый) минимум. Остается найти критерий существования такого 1юля. [c.674]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...