Функции Бесселя Лежандра

Функции Бесселя, полиномы Лежандра, Чебышева, Якоби, Эрмита, Лагерра представляют коэфициенты разложений по степеням z (или тригонометрических разложений) некоторых функций F(x,z), называемых производящими функциями. [c.142]

Этот случай Mфункций Бесселя первого и второго рода и обобщенных функций Лежандра двух родов. [c.165]

На рис. 6.3.5 показаны результаты расчетов для сферического бака. Кривые 1 соответствуют значениям, полученным с использованием сферических функций Лежандра, кривые 2 - значениям, полученным с использованием функций Бесселя. Результаты расчетов для других форм баков можно найти в работе 58). [c.348]

Jn x) — функции Бесселя Pi (х) — присоединенные полиномы Лежандра F (0, сферические функции Г(х) — гамма-функция [c.7]

Несмотря на универсальность, этот метод достаточно прост для понимания и реализации. Эти преимущества обусловлены в основном использованием метода контрольного объема, при котором решаемые алгебраические уравнения представляют собой законы сохранения физических величин, таких как энергия, масса или импульс, для каждого контрольного объема в отдельности. Поэтому эти алгебраические уравнения имеют ясный физический смысл, и, получая окончательное решение, мы знаем, что в точности выполняется закон сохранения энергии (массы и т.п.) для всех маленьких контрольных объемов, на которые была разбита расчетная область. Этот метод основан преимущественно на понимании физических особенностей рассматриваемых процессов. Кроме того, разве не замечательно, что мы можем решать очень сложные задачи, не обращаясь к рядам Фурье, функциям Бесселя, полиномам Лежандра и другому подобному математическому аппарату. [c.280]

Свойства присоединенных функций Лежандра и сферических функций Бесселя [c.36]

Основная трудность при численном получении решения в форме (5.46) заключается в определении матрицы K(t,x), зависящей от обратной матрицы которую при численном счете надо получать на каждом шаге. Для уравнений, решение которых может быть получено в специальных функциях (уравнения Бесселя, Лежандра, Эрмита и т.д.), матрицу K(t,i) можно представить в аналитическом виде через специальные функции. [c.168]

В частных случаях при рассмотрении конкретных задач, связанных с определенной системой координат, функциями y uk,x) и г] и,х) являются либо тригонометрические функции, либо функции Бесселя, либо функции Лежандра, либо другие известные специальные функции. [c.30]

Теоремы сложения для сферических функций Бесселя и полиномов Лежандра, Пусть Pi и Pg —точки пространства со сферическими координатами ri, 0i, ф1 и Гъ 2 ф2- Допустим, что 01 + 02 <я (рис. П.1.2). Тогда выполняются следующие соотношения [c.435]

X Рт ( OS 9) J,n kr), где Pm ( os 9) — полином Лежандра — функция Бесселя т-го порядка. [c.163]

ГД + 1/2 — модифицированные функции Бесселя порядка л + 1/2 здесь мы использовали соотношение между полиномами Цернике и Лежандра, а именно = (29 ) Подставляя разложение [c.311]

Здесь следует отметить последнюю работу [294], где решение задачи о кручении цилиндра с жестким сферическим включением на оси строится функциями Бесселя и Лежандра и сводится к бесконечной системе линейных уравнений. [c.245]

Функции Бесселя нашли применение в разложениях координат невозмущенного кеплеровского движения (см. ч. II, гл. 3), в теории движения ИСЗ в сопротивляющейся среде (см. ч. VI, гл. 2). Сферические функции и, в частности, полиномы Лежандра используются в теории притяжения (см. ч. VI, гл. 1). Большие удобства дает применение гипергеометрической функции при разложении возмущающей функции в классических задачах небесной механики (см. гл. 6). Через эллиптические функции Якоби выражается решение задачи о движении ИСЗ с учетом возмущений от фигуры Земли [19]. [c.359]

При получении этого результата была использована формула (2.57), а также рекуррентные соотношения для полиномов Лежандра и функций Бесселя. Вследствие граничных условий, накладываемых на и г]з, рассеянная волна должна иметь зависимость от ф, как в (4.9). Поэтому [c.102]

Здесь /( kr) — сферическая функция Бесселя (рис. 4.8), а Р — полином Лежандра. С помощью ряда упрощающих предположений можно получить формулу [c.30]

Установим предварительно асимптотическое выражение для величин v , позволяющее получить достаточно точные их значения для больших номеров т. При этом будем пользоваться методом, развитым Д. Г. Стоксом при рассмотрении им аналогичной задачи для функций Бесселя [60], и данными работы [30]. С учетом асимптотических представлений функций Лежандра [8, 60] [c.105]

Коэффициенты ап и Ьп являются функциями дифракционного параметра х и комплексного показателя преломления т и выражаются через функции Риккати — Бесселя. Функции Пп и Хп рассчитываются через полиномы Лежандра [6]. [c.16]

Исследование поля рассеяния звука сферическим препятствием основывается на тех же рассуждениях, которые были развиты в предыдущем параграфе в связи с полем рассеяния цилиндра. Для решения поставленной задачи надо знать аналитическое выражение в сферических функциях Лежандра и Бесселя как падающей, так и рассеянной звз овой волны. Что касается первой — плоской волны, падающей на жесткую сферу вдоль поляр-. ной оси последней, то она, как можно показать, представляется в виде бесконечного ряда [c.369]

Краевые задачи с особыми краевыми условиями, функции Бесселя и Лежандра, специальные полиномы Чебышева, Якоби, Эрмита, Лагерра (см. стр. 136 — 142) могут служить для построения замкнутых ортогональных систем функций, которые удовлетворяют краевым задачам диференциальных уравнений штурм-лиувиллевского типа, Коэфициенты этих уравнений, вообще говоря, таковы, что уравнения имеют на конечном интервале особые точки. Если особые точки являются концами интервала, для которого формулируется краевая задача, то обычное краевое условие (стр. 239) замещается требованием, чтобы при приближении к этим точкам собственные функции оставались конечными или становились бесконечно большими величинами не выше заданного порядка. [c.241]

Здесь п(аг) — сферические функции Бесселя [70] Pn( os0) — полиномы Лежандра. Ниже множитель опущен. [c.107]

Согласно дифракционной теории рассеяния Ми [9], выражения для членов ряда, как отмечалось в п. 1.2, являются осциллирующими функциями радиуса и показателя преломления частиц за счет присутствия в них сферических функций Бесселя от комплексного аргумента и производных полинома Лежандра. Для оценки коэффициентов йп и Ьп, входящих в выражения (1.6) для комплексных амплитуд рассеяния, в случае двухслойных частиц Фэнн [27] использует следующие выражения, полученные преобразованием точных формул Ми для соответствующих граничных условий [c.117]

Волновые уравнения акустикй и и к решения в функциях Бесселя и Лежандра, [c.354]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...