Сферические функции и полиномы Лежандра

Для внутренней среды, согласно равенствам (8,22) и (8,48), можно написать, учитывая, что в решение войдут только симметричные относительно оси сферические функции PJb) (полиномы Лежандра) [c.273]

Теоремы сложения для сферических функций Бесселя и полиномов Лежандра, Пусть Pi и Pg —точки пространства со сферическими координатами ri, 0i, ф1 и Гъ 2 ф2- Допустим, что 01 + 02 <я (рис. П.1.2). Тогда выполняются следующие соотношения [c.435]

Функции Бесселя нашли применение в разложениях координат невозмущенного кеплеровского движения (см. ч. II, гл. 3), в теории движения ИСЗ в сопротивляющейся среде (см. ч. VI, гл. 2). Сферические функции и, в частности, полиномы Лежандра используются в теории притяжения (см. ч. VI, гл. 1). Большие удобства дает применение гипергеометрической функции при разложении возмущающей функции в классических задачах небесной механики (см. гл. 6). Через эллиптические функции Якоби выражается решение задачи о движении ИСЗ с учетом возмущений от фигуры Земли [19]. [c.359]

Второе уравнение в (1.23) представляет собой уравнение для сферических функций и имеет однозначное и непрерывное решение, которое выражается через полиномы Лежандра Рп(со5 0) и специальные функции Р )(со8 0). Подстановка решений для по- [c.15]

Интегралы в (2. 6. 42), обозначенные угловыми скобками, представляют собой хорошо известные 3/- и 6/-символы для сферических гармонических функций [16]. Эти символы обозначают результат интегрирования трех, четырех полиномов Лежандра и их производных [c.58]

Здесь hn и Лп — сферические функции Ханкеля от аргументов соответственно аа и Ра. В силу ортогональности тп> тп и свойств полиномов Лежандра получим, что единственно отличные от нуля коэффициенты А , i определяются из системы уравнений [c.292]

Это объясняется малостью орбитальных моментов электронов с малыми энергиями, так что их волновые функции приближенно сферически симметричны. Напротив, поглощение большого числа надпороговых фотонов приводит к резкому увеличению числа каналов, так что относительная роль больших орбитальных моментов конечного состояния непрерывного спектра возрастает из-за их большого статистического веса. Следует отметить, что полиномы Лежандра имеют максимумы при углах О и тг для больших орбитальных моментов. [c.186]

Разложение в ряд по сферическим поверхностным векторам, которые в данном случае выражаются через полиномы Лежандра от аргумента вектора, представляющего сосредоточенную силу Q , можно получить, как указано в 6 и 7 главы 6, путём предельного перехода рассматриваем разложение в ряд вектор-функции [c.455]

Полиномы Лежандра и присоединенные функции Лежандра являются составными элементами сферических функций. Функции двух аргументов 0 и -ф [c.16]

Установим теперь, что следует из равенства (9.7) относительно свойств функции /(/). Для этого нужно получить вначале некоторые тождества для полиномов Лежандра. Из сферической тригонометрии известно, что если О, ф и О, ф — полярные координаты некоторых двух направлений в пространстве и — угол между этими двумя направлениями, то [c.127]

В настоящем разделе рассмотрена с помощью метода сферических гармоник задача о плоском изотропном источнике в бесконечной среде, В рамках этого метода угловая зависимость потока учитывается с помощью разложения в ряд по полной системе элементарных функций. В общем случае естественным выбором являются сферические гармоники, но для плоской и сферической геометрий они сводятся к полиномам Лежандра. [c.67]

Методы, обсуждаемые в настоящей главе, основаны на представлении угловой зависимости потока нейтронов, т. е. зависимости Ф от направления й, в виде ряда по полной системе ортогональных функций (полиномы Лежандра в простых геометриях и сферические гармоники в общем случае). Эти разложения ограничиваются несколькими членами, что позволяет получить решаемые на практике уравнения. Пространственную зависимость потока нейтронов обычно получают не в виде непрерывных пространственных функций, а с помощью введения дискретной пространственной сетки и вычисления потока в узлах этой сетки. [c.100]

Из свойств полиномов Лежандра известно, что функции Рл (м-) имеют точно N нулей в интервале—1 1. Это позволяет выполнить сформулированные требования. Для четных N имеется четное число направлений и четное число уравнений (5.5), соответствующих уравнениям метода сферических гармоник нечетного порядка. Таким образом, N = 2 в методе дискретных ординат соответствует Рх-приближению в методе сферических гармоник. [c.172]

Очевидно, что приведенное разложение члена рассеяния в уравнении переноса в виде суммы полиномов Лежандра не является необходимым условием методов дискретных ординат. Можно применять и другие полиномы, полиномы плюс дельт а-функции. Кроме того, можно использовать прямое интегрирование дифференциальных сечений. Однако наиболее широко используется все таки разложение в ряд по полиномам Лежандра (или по сферическим гармони- [c.187]

Существенного успеха по сравнению с тем, что было достигнуто геометрическими методами, впервые добился Лежандр в мемуаре Исследования о прйтяжении однородных эллипсоидов , представленном Парижской академии в 1785 г. несомненно, работа была закончена на год или два года раньше. Лежандр справедливо указывает, что хотя Лагранж рассмотрел задачу о притяжении во всей общности, но фактически провести интегрирование ему удалось только в тех случа ях, которые были уже исследованы Маклоре-ном. Лежандр доказывает новую важную теорему если известна сила притяжения телом вращения любой внешней точки на продолжении оси тела, то она известна для любого положения внешней точки. Это позволяет ему обобщить теорему Маклорена о софокусных эллипсоидах вращения (обобщение теоремы на случаи трехосных софокусных эллипсоидов позже удалось Лапласу). Лежандр впервые вводит в этом мемуаре разложение в ряд по полиномам, названным его именем (по сферическим функциям), и здесь же впервые появляется силовая (или потенциальная) функция, но с указанием, что эта идея принадлежит Лапласу. По оценке Тодхантера, ни один мемуар в истории рассматриваемого вопроса не может соперничать с этим мемуаром Лежандра. В течение сорока лет средства анализа, даже в руках Даламбера, Лагранжа и Лапласа, не продвинули теорию притяжения эллипсоидов дальше того рубежа, на который вышла геометрия Маклорена.... Лежандр обобщил главный результат этой геометрии... Введение и применение круговых функций начинает новую эру в математической физике. [c.152]

В общем случае произвольной функции Ф(х) уравнение (2.24) уже не решается таким простым способом. Если разложить v(9, ср) и Ф(х) в ряды по сферическим гармоникам, то уравнения для амплитуд, соответствующих сферическим функциям с разными азимутальными числами т (т. е. множителями разделяются. При этом число т не превышает максимального номера I в разложении функции Ф(х) по полиномам Лежандра Ф = 2 ( osx)- Таким образом, мы приходим к выводу, что в общем случае может возникнуть несколько нулевых звуков , для которых изменения функции распределения неизотропны в плоскости, перпендикулярной к направлению распространения k. Как и в простейшем случае, возможность появления таких колебаний определяется видом функции Ф. Например, если Ф = Ф - -Ф os х- то условием появления колебаний с является Ф[ > 6. [c.42]

Согласно дифракционной теории рассеяния Ми [9], выражения для членов ряда, как отмечалось в п. 1.2, являются осциллирующими функциями радиуса и показателя преломления частиц за счет присутствия в них сферических функций Бесселя от комплексного аргумента и производных полинома Лежандра. Для оценки коэффициентов йп и Ьп, входящих в выражения (1.6) для комплексных амплитуд рассеяния, в случае двухслойных частиц Фэнн [27] использует следующие выражения, полученные преобразованием точных формул Ми для соответствующих граничных условий [c.117]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...