Дифференциальное уравнение Лежандра

Функции Лежандра [53 , (25) определяются как решения дифференциального уравнения Лежандра [c.223]

ВХОДЯЩИЙ В уравнение (2-10-28), превращается в дифференциальное уравнение Лежандра [c.190]

Полиномы Лежандра представляют собой специальные функции, связанные с решением дифференциального уравнения Лежандра. Члены полинома находят из выражения [c.111]

Все функции Лежандра являются решениями дифференциального уравнения Лежандра [c.40]

Широко используется также при решении задач теории - переноса излучения метод сферических гармоник, т. е. метод разложения интенсивности излучения по полиномам Лежандра. При этом уравнение переноса сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно весовых функций разложения. [c.143]

Подставив значения (8.18) в уравнения (8.17), получим для коэффициентов рядов (8.18) обыкновенные дифференциальные уравнения присоединенных функций Лежандра [c.313]

Подставив значения (7.18) в уравнения (7.17), получим для коэффициентов рядов (7.18) обыкновенные дифференциальные уравнения присоединенных функций Лежандра [c.226]

Дуальное преобразование Лежандра. Французский математик Лежандр (1752—1833) в своих работах по изучению дифференциальных уравнений обнаружил одно важное преобразование, которое обладает замечательными свойствами, обусловившими его применение во многих проблемах анализа. В механике оно приводит к новой форме уравнений [c.190]

Резюме. Уравнения движения Лагранжа являются дифференциальными уравнениями второго порядка. Применение преобразования Лежандра замечательным образом отделяет дифференцирование по времени от аналитических операций над переменными. Новые уравнения образуют систему 2п дифференциальных уравнений первого порядка. Они называются каноническими уравнениями . [c.197]

Это дифференциальное уравнение типа Лежандра определяет соз как функ- [c.139]

Здесь можно также привести подробности открытия, о котором я раньше известил Академию полное интегрирование дифференциальных уравнений, составленных Лежандром, от которых зависит существование максимума или минимума в изопериметрической задаче. Метод, которым я пользуюсь, есть новое и замечательное приложение известного метода вариации произвольных постоянных он основывается в принципе на важных свойствах [c.289]

VI. 3. Решения Qm(ja), qn s). Известно, что знание одного частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка позволяет свести к квадратуре задачу разыскания его второго частного решения. В применении к уравнению Лежандра (VI. 1.5), называя его линейно независимые (с отличным от нуля вронскианом W) решения через Ait, М2, имеем [c.897]

Для упомянутых выше систем обыкновенных дифференциальных уравнений не удалось найти достаточно простых общих точных методов решения (в качестве исключения можно привести сферическую оболочку [40, 90, 110, 114, 149, 190], для которой общий интеграл однородных моментных уравнений, соответствующий п-му члену разложения, удалось выразить через элементарные функции и присоединенные функции Лежандра комплексного индекса). [c.209]

Таким образом, потребности развивающейся новой техники поставили уже в 40-х годах нашего столетия задачу об эффективных способах нахождения решений систем нелинейных уравнений с частными производными с учетом реальных свойств веществ и геометрии проектируемых изделий. Известные ранее аналитические методы решения отдельных типов линейных уравнений (создание их связано с именами Фурье, Адама ра, Римана, Лежандра и других известных математиков) и некоторых нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (Пуанкаре, Ляпунов и другие) не могли дать решения поставленных задач. Численные же методы, которые также успешно при менялись для решения отдельных задач еще в прошлом веке (Гаусс, Леверье и другие), не могли быть эффективно реализованы до появления хороших счетных машин. Конец 40 х годов и все последующие десятилетия проходили под знаменем бурного прогресса средств вычислительной техники. Первое время рост возможностей электронно-вычислительных машин, в первую очередь их быстродействия и памяти, выдвинул тезис о том, что с помощью достаточно мощных ЭВМ, с использованием сугубо численных методов (прежде всего разностных методов и методов прямого статистического моделирования) можно эффективно получить решение практически всех возникающих в приложениях задач без детального, аккуратного в математическом смысле исследования свойств применяемых математических моделей. [c.13]

Когда п и 5 — положительные целые числа, для решения этого однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка используются хорошо известные полиномы и присоединенные функции Лежандра. Общее решение уравнения имеет вид [c.104]

Из теории дифференциальных уравнений в частных " [производных известно преобразование Лежандра, которое применительно к данному случаю заключается в том, что вместо а и у за независимые переменные принимаются составляющие скорости и и,, а за искомую функцию — вместо потенциала скоростей 9—так называемый сопряженный потенциал [c.377]

Если вместо обобщенных скоростей ввести новые переменные, то система уравнений Лагранжа будет представлять собой систему уравнений, разрешенную относительно производных от этих новых переменных. Гамильтон обнаружил преобразования, которые делают функцию Лагранжа линейной относительно скоростей при одновременном удвоении числа переменных. Благодаря этому преобразованию задачи механики могут быть сведены к каноническим дифференциальным уравнениям. В основе преобразования Гамильтона лежит идея общих преобразований французского математика Лежандра (1752—1833). [c.446]

Это следует, например, из того обстоятельства, что дифференциальное уравнение полиномов Лежандра [c.330]

В заключение этого параграфа следует указать работу акад. А. И. Некрасова О плоско-параллельном движении газа при дозвуковых скоростях [56], в которой он решает задачу о движении газа, приводя дифференциальное уравнение для потенциала скорости с помощью преобразования Лежандра к линейному виду. [c.405]

Преобразуем выражения (9.6.6). Для этого воспользуемся дифференциальным уравнением для полиномов Лежандра (1.2.11) и формулой (1.2.5). Тогда с помощью равенств (9.6.3) для найдем следующие формулы [c.300]

После преобразования Лежандра лагранжева система дифференциальных уравнений второго порядка переходит в замечательно симметричную Систему 2п уравнений первого порядка — систему уравнений Гамильтона (или канонических уравнений). [c.61]

Это уравнение, являющееся обыкновенным линейным дифференциальным уравнением второго порядка без правой части (однородное ), называется уравнением Лежандра и играет важную роль, так как служит аналитической основой для изучения сферических функций. [c.159]

Примечание. Многочлен Лежандра есть частное решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка (4.21). Из теории линейных уравнений известно, что, зная одно частное решение однородного уравнения второго порядка, можно найти при помощи квадратур второе его решение, линейно независимое с первым. Нетрудно проверить, что это второе решение можно представить в виде [c.162]

Присоединенная функция Лежандра является одним из линейно независимых решений дифференциального уравнения [c.372]

Прямолинейное движение было изучено Лежандром в предположении, что планета может проходить через массы К п К. Полезно считать, что движение заканчивается соударением, так как здесь утрачивается физический смысл движения и дифференциальные уравнения теряют силу. [c.130]

В работе [3.1431 осесимметричная задача об изгибных колебаниях тонкой упругой сферической оболочки приведена к решению системы двух дифференциальных уравнений, содержащих прогиб и силовую функцию. Получено решение этой системы при гармонических колебаниях в функциях Лежандра и приведены результаты расчета низшей частоты. Неосесимметричные колебания полусферической оболочки со свободным краем рассмотрены в предположении о мембранном характере деформации. Приведено сопоставление частот чисто изгибных колебаний и колебаний растяжения. [c.208]

Уравнения Кирхгофа (2.6) дают нам важный пример гамильтоновых систем дифференциальных уравнений, которые появляются не как привычный результат преобразования Лежандра из классической динамики. [c.32]

Интерполяция функций Лежандра. Стандартная интерполяция (3.100) полино.мов Лежандра (г), получаемая путем простого продолжения дифференциального уравнения Лежандра, для каждого фиксированного г является целой аналитической функцией V. При фиксированном 2 и V - оо (Re v>-0) функция f v (г) имеет следующее асимптотическое поведение ([242], т. 1, стр. 143, формула (21)) [c.374]

Интегрируя дваждрл по частям в правой части (4.13 ) и используя дифференциальное уравнение Лежандра для Р-ч.+щ ( ) [c.86]

Это не что иное, как канонические уравнения (6.3.5), пред-ставляюш,ие собой единую систему из 2п дифференциальных уравнений, полученных из интеграла действия (6.4.3). Мы больше не нуждаемся ни в первоначальной функции Лагранжа, ни в преобразовании Лежандра, при помощи которого была получена функция Н. У нас есть теперь новый вариационный принцип, эквивалентный первоначальному, но имеющий перед ним некоторое преимущество вследствие более простой структуры получающихся дифференциальных уравнений — они уже не второго, а первого порядка. В уравнениях все производные выделены, а не скрыты какими-либо алгебраическими операциями. [c.198]

Тейлорова неустойчивость весьма заметно проявляется в пульсации сферических пузырьков. Такие пузырьки играют главную роль как в кавитационной эрозии ( 42), так и в подводных взрывах. В предположении сферической симметрии (снова гипотеза (С) ) Рэлей ) получил простые дифференциальные уравнения для радиуса Ь 1) как функции времени, применимые к обоим типам пузырьков. Однако, если возмущения сферической границы разложить по функциям Лежандра р/,(созф), то можно показать, что амплитуды возмущений >л (<) удовлетворяют уравнению [c.108]

Систему уравнений (4) можпо представить как результат действия иесамосопряженного обобщенного дифференциального оператора Лежандра [131], поэтому в окрестности особых точек ж = 1 существуют аналитические решения, а условия ограниченности и", У, ТУ", Q равносильны требованию аналитичности функций в этих точках. Условия аналитичности следуют из (4), если учесть, что г/1 (ж) задана выражением (1.2), и положить х = или ж = — 1. Выбором параметра а можно осуществить аналитическое продолжение решения из точки ж = 1 вплоть до точки х = = —1 (или наоборот). [c.309]

Схема П. И. Клубина использована в работе В. К. Голуба и В. И. Моссаковского [21], где рассмотрена осесимметричная задача о круглой пластинке, сцепленной с обычным полупространством. В этом случае система (2.1) после перехода к полярной системе координат и учета осевой симметрии вырождается в систему из двух интегральных и двух дифференциальных уравнений типа (2.24). При этом упомянутые авторы для дополнительной неизвестной функции (касательного контактног напряжения) брали представление (2.34) с заменой содержащихся там многочленов Лежандра на соответствующие присоединенные. Эта же задача тем же методом, но с заменой присоединенных многочленов Лежандра на многочлены Чебышева, рассмотрена также в работе В. М. Сеймова [93]. Метод П. И. Клубина с указанной выше модификацией В. К. Голуба и В. И. Моссаковского использован в работе В. К. Голуба [20] тоже для случая основания в виде обычного полупространства, но когда помимо сил сцепления имеет место и переменная жесткость (усложняются дифференциальные операторы задачи). [c.296]

На протяжении всего параграфа выявляются два пути использования этих точных решений. Первый из них состоит в добавлении напряжений, связанных с точными решениями, чтобы удовлетворить граничным условиям для напряжений па дополнительных поверхностях второй — в использовании точных решений при. тех размерах и частотах, когда необходимые добавочные граничные условия удовлетворяются автоматически либо точно, либо приближенно. Однако нужно упомянуть еще об одном эффективном методе решения задач подобного типа, хотя он и не рассматривается ниже. Он состоит в разложении всех смещений при заданной геометрии в соответствующие ряды функций, ортогональных в интервале, соответствующем заданному размеру Такими рядами функций являются степени х, полиномы Лежандра и полиномы Якоби. Подобный метод использовал Эпштейн [42 У для получения резонансных частот толстых круглых пласпшЫс й Миндлин и др. [18, 29, 43, 44] для сведения дифференциальных уравнений и граничных условий в трех измерениях к бесконечным рядам более просто решаемых дифференциальных уравнений и граничных условий в двух измерениях. Эти ряды затем обрываются и иногда для получения желаемого приближения в них вводятся произвольные параметры. Работы, перечисленные в списке литературы, не являются исчерпывающими, но могут служить-в качестве практического введения к этим методам получения приближенных решений для полубесконечных цилиндров и пластинок и для резонаторов. [c.174]

Плоскость напряжений впервые была введена Р. Зауером [157], который получил дифференциальные уравнения характеристик непосредственно в переменных а и Хху, путем применения преобразования Лежандра к дифференциальным уравнениям пластического равновесия. [c.210]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...