Лежандра алгебраические

Формулы Гаусса. Если на отрезке интегрирования в качестве искомых параметров квадратурной формулы рассматривать (7V + 1) коэффициенте,- и (jV + 1) узел Xi, то получим 2N + 2) неизвестных. Эти параметры можно выбрать так, чтобы квадратурная формула была точна для любого многочлена степени не выше (2N + 1). Решение такой задачи известно расположение узлов J вычисляется с по-мощ,ью корней полиномов Лежандра. Узлы х, и весовые коэффициенты i для различных N приведены в [2]. Построенные таким образом квадратурные формулы называют формулами Гаусса или формулами наивысшей алгебраической точности. Для гладких функций эти формулы дают очень высокую точность. [c.61]

Лежандрово преобразование может быть приложено к лагранжиану, рассматриваемому как функция переменных преобразования ф, а также координат положения и времени t. При этом скорости преобразуются в импульсы, а лагранжиан — в гамильтониан. Преобразование Лежандра при приложении его к уравнениям Лагранжа отделяет дифференцирование по времени от алгебраического процесса и приводит к каноническим уравнениям. В самом деле, определив обобщенный импульс р, через лагранжиан [c.876]

Эта задача рассматривалась в работе [2], где было построено решение в виде ряда по произведениям функций Лежандра, коэффициенты которого находились из некоторой бесконечной системы линейных алгебраических уравнений. [c.95]

Несмотря на универсальность, этот метод достаточно прост для понимания и реализации. Эти преимущества обусловлены в основном использованием метода контрольного объема, при котором решаемые алгебраические уравнения представляют собой законы сохранения физических величин, таких как энергия, масса или импульс, для каждого контрольного объема в отдельности. Поэтому эти алгебраические уравнения имеют ясный физический смысл, и, получая окончательное решение, мы знаем, что в точности выполняется закон сохранения энергии (массы и т.п.) для всех маленьких контрольных объемов, на которые была разбита расчетная область. Этот метод основан преимущественно на понимании физических особенностей рассматриваемых процессов. Кроме того, разве не замечательно, что мы можем решать очень сложные задачи, не обращаясь к рядам Фурье, функциям Бесселя, полиномам Лежандра и другому подобному математическому аппарату. [c.280]

Преобразование Лежандра — вспомогательный математический прием, состоящий в переходе от функций на линейном пространстве к функциям на сопряженном пространстве. Преобразование Лежандра сродни проективной двойственности и тангенциальным координатам в алгебраической геометрии яли построению сопряженного банахова пространства в анализе. Оно часто встречается в физике (например, при определении термодинамических величин). [c.59]

Уравнения движения в алгебраической форме. В гамильтоновой форме уравнения (4.2), (4.7) можно представить при помощи преобразования Лежандра [c.51]

Формулу Гаусса благодаря этому называют квадратурой наивысшей алгебраической степени точности. Узлы квадратуры Гаусса располагаются в корнях полинома Лежандра степени п. Если (г) полином Лежандра, то — корни полинома на отрезке (—1,1), т. е. табличные узлы квадратуры Гаусса с [c.159]

Это не что иное, как канонические уравнения (6.3.5), пред-ставляюш,ие собой единую систему из 2п дифференциальных уравнений, полученных из интеграла действия (6.4.3). Мы больше не нуждаемся ни в первоначальной функции Лагранжа, ни в преобразовании Лежандра, при помощи которого была получена функция Н. У нас есть теперь новый вариационный принцип, эквивалентный первоначальному, но имеющий перед ним некоторое преимущество вследствие более простой структуры получающихся дифференциальных уравнений — они уже не второго, а первого порядка. В уравнениях все производные выделены, а не скрыты какими-либо алгебраическими операциями. [c.198]

В другой работе Ж. Бертран пришел к выводу, что указанные законы являются единственными, при которых орбиты замкнуты . Г. Кениг доказал, что эти законы единственные, при которых материальная точка описывает алгебраические траектории для всех начальных условий. Ф. Гриффин доказал, что единственный закон, который дает эллиптическую орбиту, когда сила является функцией только расстояния, принимающей действительные значения во всей плоскости, и не обращается в нуль в начале кординат, есть закон Ньютона. А. Лежандр положил начало изучению случаев, когда квадратуры приводят к эллиптическим функциям. Задача о центральном движении может быть решена в эллиптических функциях, если величина [c.106]

К сожалению, математическая теория таких спектральных задач развита слабо. Известна, например, теория несамосопряженных, операторов Лежандра [131], в которой доказывается, что спектры этих операторов состоят из изолированных собственных значений конечной алгебраической кратности, не имеющих конечных предельных точек. Линейная оболочка множества собственных и присоединенных функций обобщенного оператора Лежандра плотна в Ь2 (—1, 1) [131]. Если в уравнении (24) в последнем члене положить Яп = сОп(1 —ю ) и считать этот множитель собственным значением, а все остальные Юп в (24), (26) — данными, то такое уравнение можно записать в виде 2 Тп = ЯпТп, где 2 — несамосопряженный обобщенный оператор Лежандра. Тогда все указанные свойства переносятся на полученное уравнение. [c.265]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...