Ряды Разложение по полиномам Лежандра

ИЗ которой надо определить коэффициенты А , причем предполагается, что ядра Кп (х) образуют на промежутке (а, Ь) замкнутую систему, а числа и заданы. С помощью парных рядов, содержащих разложения по полиномам Лежандра, в работах Н. X. Арутюняна, Б. Л. Абрамяна и А. А. Баблояна (1964, 1966) было решено несколько интересных задач о деформации упругой сферы, а также эллипсоида вращения при смешанных граничных условиях. Ими рассмотрено осесимметричное сжатие сферы двумя симметрично расположенными одинаковыми жесткими штампами в предположении отсутствия трения. Эту задачу удалось свести к парным рядам указанного выше вида при х) = (ж), = /г + /а, == = 1 + Ртг (величины при п- оо имеют порядок 1/п), а —1, Ь = 1. Если обозначить через V х) значение суммы первого из парных рядов при X > с, то решение сводится к интегральному уравнению [c.39]

Тогда из граничных условий (1.12) и (1.13), воспользовавшись разложениями в ряды по полиномам Лежандра, можно вычислить неизвестные коэффициенты [c.336]

Разложения в ряды по полиномам Лежандра. Полиномы Лежандра (см. стр. 99, табл. XVI и стр. 140) [c.267]

Разложение в ряд по тригонометрическим функциям (ряд Фурье) является наиболее употребительным. Применяются также разложения по полиномам Эрмита, Лежандра, Чебышева и др. Для решения диагностических задач представляет интерес разложение в ряд по ортогональным кусочно-линейным функциям. [c.110]

Это — известное разложение функции f((i) в ряд по полиномам Лежандра, [c.901]

В предыдущих разделах было рассмотрено формальное решение уравнения переноса излучения в плоском слое при наличии осевой симметрии. В случае изотропного рассеяния задача переноса излучения в плоском слое при отсутствии осевой симметрии легко преобразуется к задаче с осевой симметрией. Для анизотропно рассеивающей среды, если постулируется, что индикатриса рассеяния разлагается в ряд по полиномам Лежандра, как в (8.37), неосесимметричная задача может быть сведена к последовательности осесимметричных задач путем разложения интенсивности /(т, (х, ф) в ряд Фурье по ф. Например, в работах [26, 27] использовано разложение интенсивности в ряд типа [c.329]

К третьей группе относятся работы, сочетающие приведение трехмерных краевых задач теории упругости к двумерным задачам теории оболочек с оценкой области применимости приближенных теорий. В этом направлении выделяется метод, основанный на построении разложений искомых функций по возрастающим степеням координаты в тригонометрические ряды, в ряды по полиномам Лежандра и т. д. Подробный обзор работ, связанных с этим способом приведения, представлен в монографии Н. А. Кильчевского [54]. [c.4]

На рис. 3.10 показано изменение во времени коэффициентов Ti разложения температуры по толщине пластины в ряд по полиномам Лежандра при ft = 0,008 м. Температура окружающей [c.126]

Легко видеть, что только одно слагаемое в разложении в ряд по полиномам Лежандра [см. формулу (11.23)], отвечающее / = 1 (Р-волна), даёт отличный от нуля результат при [c.114]

Заметим прежде всего, что имеет место следующее разложение плоской волны в ряд по полиномам Лежандра 1 1 [c.162]

Из теории специальных функций [10, 33] известно, что разложение функций в ряд по полиномам Лежандра обладает теми же свойствами, что и разложение функций в ряд Фурье. [c.240]

Коэффициенты разложения этой функции в ряд по полиномам Лежандра по (6.41) будут [c.362]

Таким образом, коэффициенты разложения в ряд по полиномам Лежандра функции нагрузки, соответствующей приложению сосредоточенных сил в полюсах 0 = 0 и = тг, будут [c.363]

Полезное н общее выражение для фазовых функций дается разложением в ряд по полиномам Лежандра Я (ц) = Я ( os 0), Если рассеяние симметрично относительно направления падающей волны, то фазовая функция зависит только от у, и ее можно выразить в виде ряда по функциям Лежандра [c.227]

Тогда дифференциальное сечение рассеяния будет определяться, согласно формуле (8.16), как квадрат модуля амплитуды А. Если сечение записать в виде ряда по полиномам Лежандра Pi ( os 0), то результат получится довольно сложным ([903], часть 2, стр. 152, задача 11). Однако для полного сечения имеет место простое разложение. Используя второе равенство в формуле (11.10), сразу получаем [c.283]

Воспользуемся соотношением (1.3.7) для разложения 1/Z в ряд по полиномам Лежандра [c.17]

Разложение потока нейтронов в ряд по полиномам Лежандра в плоской геометрии имеет существенный недостаток. На плоской поверхности раздела распределение потока нейтронов, как функция косинуса угла рассеяния .I, обычно претерпевает разрыв при х = 0. Однако любая конечная сумма полиномов Лежандра на интервале — 1 х 1 будет непрерывной при .1 — 0. Таким образом, представление потока нейтронов вблизи поверхностей раздела с по.мощью полиномов Лежандра очень неточно. Эта трудность приводит также к неопределенностям в выполнении граничных условий свободной поверхности. Как отмечалось в разд. 2.5.4, такие граничные условия не могут быть удовлетворены точно, и поэтому были использованы различные приближения. В частности, было предложено использовать отдельные разложения в ряд по полиномам Лежандра для интервалов изменения косинуса угла рассеяния — 1 < .I < О н О .I 1. [c.123]

Когда для двух интервалов изменений х используются различные разложения в ряды по полиномам Лежандра, то этот метод известен как двойное Рл/-приближение или метод Ивона [21]. В этом приближении можно строго удовлетворить граничным условиям свободной поверхности, а также учесть разрывы на поверхностях. В результате этот метод оказывается значительно точнее, чем рассмотренные выше, для плоской геометрии (см. разд. 5.2.7). [c.125]

Угловые распределения потока нейтронов и источника можно теперь учесть с помощью разложения в ряд по полиномам Лежандра (см. разд. 2.6.1). Таким образом. [c.137]

Получение групповых сечений включает в себя два различных аспекта. Во-первых, должны быть известны микроскопические сечения и их изменение с энергией для всех представляющих интерес изотопов и нейтронных реакций. Во-вторых, необходимо оценить зависимость от энергии внутри каждой группы потока нейтронов и стольких компонент разложения потока в ряд по полиномам Лежандра, сколько-требуется для того, чтобы разложение было представительным. Вся эта информация требуется при вычислении выражений (4.26) и (4.27) для определения групповых констант. [c.155]

Следующий этап при вычислении групповых констант, определяемых, например, уравнениями (4.26) и (4.27), состоит в оценке для каждой группы энергетической зависимости полного потока (, и тока нейтронов 1, т. е. первых двух членов разложения потока в ряд по полиномам Лежандра, а также других компонент этого разложения, которые могут понадобиться при расчетах. Во многих случаях пригодны простые рецепты, основанные на качественных характеристиках решений для бесконечной среды. Например, часто предполагается, что энергетическая зависимость полного потока нейтронов и компонент разложения потока пропорциональна спектру деления при энергиях 1 Мзв и подчиняется закону 1/Е при более низких энергиях. Это [c.156]

В разд. 3.5.1 было показано, что в плоской геометрии обычно существует разрыв в угловом распределении потока нейтронов при ц = О на поверхности (или границе). Было найдено, что при решении уравнения переноса с помощью разложения потока в ряд по полиномам Лежандра полезно исследовать каждую сторону разрыва отдельно. Аналогичное двойное Рд -приближение было использовано в методе дискретных ординат с отдельным разложением потока в интервалах —1 х ОиО х 1 18]. [c.173]

Чтобы обеспечить определение групповых сечений и пользование ими, на практике применяют ту же процедуру, что и в методе сферических гармоник, и вводят разложение сечения рассеяния в ряд по полиномам Лежандра. После этого групповые константы становятся аналогичными тем, которые используются в многогрупповом методе сферических гармоник. Тем не менее остаются некоторые различия, в частности, в групповых константах для описанных здесь методов дискретных ординат имеются некоторые свободные параметры их возможное использование рассматривается ниже. [c.187]

Очевидно, что приведенное разложение члена рассеяния в уравнении переноса в виде суммы полиномов Лежандра не является необходимым условием методов дискретных ординат. Можно применять и другие полиномы, полиномы плюс дельт а-функции. Кроме того, можно использовать прямое интегрирование дифференциальных сечений. Однако наиболее широко используется все таки разложение в ряд по полиномам Лежандра (или по сферическим гармони- [c.187]

Для решения задачн о вертикальных установившихся колебаниях штампа с плоским круговым основанием, расположенного на упругом. полупространстве, В. М.. Сеймов [16, 17 ] и М. А. Старков [19 ] использовали метод ортогональных многочленов. Реактивное динамическое давление под штампом в [16, 17 ] ищется в виде разложения по полиномам Лежандра, а в [19 ] — в виде ряда по полиномам Чебышева. [c.330]

В планетном случае сходимость ряда из членов, входящих в Е, в большинстве случаев не улучшается существенно благодаря присутствию членов вида —множителей полинома Лежандра порядка А. По этой причине разложение по полиномам Лежандра не является, как прапило, пригодным для планетного случая. Вместо него применяется другая форма разложения для величины, обратной г 2. [c.237]

Соотношение (3. 1. 9) представляет собой двойное сферическое разложение потенциала (р . Первый член в правой части 3. 1. 9) соответствует потенциальному течению жидкости в отсутствие одного из пузырьков газа ряд по полиномам Лежандра учитывает возмугцение течения жидкости, обусловленное наличием двух пузырьков газа в жидкости и их взаимодействием. [c.91]

Перное слагаемое в атой ф-ле —плоская полна, опи- ывaюп aя нач. поток частиц, второе слагае.мое — расходящаяся волна, онисываюшая рассеянные частицы, f b, е) можно представить в виде ряда по полиномам Лежандра Р, ( os0) разложение по парциальным волнам) [c.71]

Обычно при описании свойств изотропной ферми-жндкости ферми-жидкосгную ф-цию Ландау /, характеризующую ферми-жидкостное взаимодействие квазичастиц вблизи ферми-поверхности, разлагают в ряд по полиномам Лежандра (как правило, соответствующие козф. разложения обозначают или F ), а отклонение ф-ции распределения от равновесия — по присоединённым полиномам Лежандра Р. При этом кинетич. ур-ние, определяющее распространение Н. з., распадается на систему независимых ур-ний, каждое из к-рых описывает волны нуль-звукового типа с разл. азимутальными числами т. В пренебрежении столкновениями, т. е. при Т —> О, эти ур-ния сводятся к следующим трансцендентным ур-ниям, задающим неявно скорости распространения волнН. з. с данным значением азимутального числа т [c.368]

В.А. Амбарцумиан [5], например, рассматривал законы рассеяния в виде разложений в бесконечные ряды по полиномам Лежандра [c.353]

Дается вывод приближенных уравнений переноса лучистой энергии в случае любой индикатрисы рассеяния, представимой при помощи разложения в конечный или бесконечный ряд по полиномам Лежандра. Как частный случай выведены приближенные уравнения переноса, аналогичные приближенным уравнениям Шварцшильда, и приведены в полном виде уравнения для простейших случаев индикатрисы рассеяния рассматриваемого типа. В качестве примера дай расчет яркости пеба в случае закона рассеяния вида 7 = 1 + (7i os(r, г ), причем произведено сравнение полу-чеппого ириближеппого решения этой задачи с точным решением. [c.604]

Здесь первое слагаемое представляет собой возмущённую взаимодействием нейтрона и протона 5о-волну непрерывного спектра второе слагаемое представляет собой D-волну в разложении в ряд по полиномам Лежандра. Эту волну мы считаем невозмущённой действием ядерных сил. Функция о вне области действия ядерных сил имеет вид [c.118]

В общем случае произвольной функции Ф(х) уравнение (2.24) уже не решается таким простым способом. Если разложить v(9, ср) и Ф(х) в ряды по сферическим гармоникам, то уравнения для амплитуд, соответствующих сферическим функциям с разными азимутальными числами т (т. е. множителями разделяются. При этом число т не превышает максимального номера I в разложении функции Ф(х) по полиномам Лежандра Ф = 2 ( osx)- Таким образом, мы приходим к выводу, что в общем случае может возникнуть несколько нулевых звуков , для которых изменения функции распределения неизотропны в плоскости, перпендикулярной к направлению распространения k. Как и в простейшем случае, возможность появления таких колебаний определяется видом функции Ф. Например, если Ф = Ф - -Ф os х- то условием появления колебаний с является Ф[ > 6. [c.42]

Для нахождения напряженного состояния при перекатывании упругих тел Калкер [131] ищет функцию напряжения в виде разложения в ряды по полиномам Лежандра. Предполагается, что тела обладают одинаковыми упругими характеристиками и зонй сцепления находится на стороне движения тел. При полном Сцеплении предполагается сингулярность напряжений на уходящей из контакта стороне. [c.323]

Для получения приближенного решения (6.27) Фейгельсон использовала индикатрису рассеяния /(г, г) в виде ряда по полиномам Лежандра, ограничиваясь первыми тремя членами разложения [27] [c.195]

Одно из преимуществ разложения в ряд по полиномам Лежандра состоит в том, что, по крайней мере, первые два члена разложения имеют простой физический смысл. При т = О, например, значение Ро ( х) есть 1, поэтому из уравнения (2.58) следует, чтофо (х) — просто полный поток в точке х. При т = 1 Р ( х) есть х, и из уравнения (2.58) [c.68]

До сих пор обсуждение метода сферических гармоник касалось плоской геометрии. Здесь же рассмотрено применение этого метода и к другим геометриям. Для системы, симметричной относительно некоторой точки, мол<но использовать сферические координаты. Ниже показаь о, что уравнения метода сферических гармоник в таких координатах очень похожи на те же уравнения в плоской геометрии. Такие системы рассмотрены в настоящем разделе, а более общие геометрии, для которых разложение потока нейтронов в ряды по полиномам Лежандра неприменимо, описаны в разд. 3.3.3 для Рх-приближения. Использование метода сферических гармоник в цилиндрической геометрии рассмотрено в разд. 3.6.2. [c.111]

Чтобы определить групповые константы для использования в уравнении (5.30), необходимо получить значения al g и Ol,g g из уравнений (5.32) и (5.33). Для этого требуется оценить внутригрупповой поток, т. е. ф для каждой группы и другие члены ф / в разложении потока в ряд по полиномам Лежандра кроме того, нужно знать изменение микроскопических сечений с энергией. Эта задача аналогична той, которая обсуждалась в гл. 4 в связи с мкогогрупповыми константами для P/v- (и связанных с ними) приближений. Выбор числа групп по существу определяется теми же факторами, которые обсуждались в предыдущей главе. [c.190]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...