Формула Лежандра

Согласно формулы Лежандра, запишем [c.275]

Параметр т] связан с г формулой Лежандра [c.110]

Это и есть формула Лежандра. [c.195]

Воспользовавшись опять формулой Лежандра, получим после упрощений [c.250]

Лежандра [378], причем интегралы с полиномами Лежандра берутся с применением формулы Родрига. При г = ria уравнение (10.25) принимает вид [c.443]

Найдем этот потенциал и дифференциальное его выражение, для чего перейдем в формуле (5.42) с помощью преобразования Лежандра к дифференциалам переменных V, Т, Ц . Тогда [c.116]

Здесь Р 1/, (x)—функция Лежандра первого рода, а производная f x) в выражениях Oi и 4 i понимается в обобщенном смысле. При получении (7.23) использовалась формула обращения [c.511]

Мы предположим, что соотношения (8.1.3) однозначно разрешимы относительно вц. С помощью преобразования Лежандра эти обратные соотношения можно представить при помощи формул, аналогичных (8.1.2). Если U вц) служит потенциалом напряжений, то потенциал деформаций или дополнительная работа определяется следующим образом (см. 2.8) [c.238]

При получении формулы (и) и последующих формул учтены свойства функций Лежандра, выраженные соотношениями [c.217]

Формулы Гаусса. Если на отрезке интегрирования в качестве искомых параметров квадратурной формулы рассматривать (7V + 1) коэффициенте,- и (jV + 1) узел Xi, то получим 2N + 2) неизвестных. Эти параметры можно выбрать так, чтобы квадратурная формула была точна для любого многочлена степени не выше (2N + 1). Решение такой задачи известно расположение узлов J вычисляется с по-мощ,ью корней полиномов Лежандра. Узлы х, и весовые коэффициенты i для различных N приведены в [2]. Построенные таким образом квадратурные формулы называют формулами Гаусса или формулами наивысшей алгебраической точности. Для гладких функций эти формулы дают очень высокую точность. [c.61]

Случай интегрируемости Лежандра. Мы исследуем со всеми подробностями случай, когда, по предположению, сопротивление определяется формулой [c.310]

Упругие свойства 1 (2-я) —166 Ледебурит 3 — 321, 337 Ледебуритная сталь 3 — 337, 359 Лежандра полиномы 1 (1-я) — 99, 267 Лежандра функции 1 (1-я)—140 Лейбница формула 1 (1-я)—155 Лемешные плуги — см. Плуги лемешные Лемехи — Построение контура 12—10 Построение поверхности 12 — 12 [c.130]

Полиномы Лежандра могут быть представлены с помощью формулы [c.140]

При таком методе требуется большой объем памяти для хранения и решения системы уравнений. Эти недостатки в основном устраняются при использовании в описании функции Pi ортогональных полиномов Чебышева, Лежандра, Форсайта и др. В таком случае коэффициенты аппроксимирующего уравнения вычисляются по рекуррентным формулам. Для вычисления коэффициентов на ЭВМ при произвольных выражениях Pi используются [c.20]

Интегральное преобразование Лежандра и соответствующие формулы обращения для различных интервалов изменения переменной ц [c.177]

Его правая часть представляет полином (п — 2)-й степени от (л, представимый через полиномы Лежандра формулами [c.340]

В формулах (8.22) P =P ( os Р) — полиномы Лежандра. Способ вычисления интегралов (8.21) приводится в приложении 8.2 к данной главе. [c.331]

Интегрирование В (5.66), (5.68), (5.70), (5.73) проводится численно по формулам Гаусса — Лежандра [49, 122]. [c.175]

Замечая, что по известной формуле теории функций Лежандра -1 [c.301]

Рассмотрим рекуррентную формулу для полиномов Лежандра [29] [c.364]

Совершив над функцией W (9 езз, р, q) обобщенное преобразование Лежандра (в предположении, что это возможно), получим функцию т (от, озз, Р, Q), для которой справедлива формула (1.1.6) [c.239]

Прежде чем перейти к выводу формулы Гаусса, приведем некоторые сведения о полиномах Лежандра — полиномах вида [c.230]

Таким образом, для достижения наивысшей точности квадратурной формулы (VI.101) в качестве точек г достаточно взять нули соответствующего полинома Лежандра. Как известно [свойство (3)], эти нули действительны, различны и расположены на интервале (—1, 1). Зная абсциссы %г, легко можно найти из линейной системы [первые п уравнений системы (VI.106)] коэффициенты Я< (i=l, 2,...,/г). [c.232]

Формула (VI. 102), где —нули полинома Лежандра РпЦ) и Hi [c.232]

Исследуем вначале случай плоскопараллельного нестационарного движения, когда в (1.2) индексы г, = 1,2. Для дальнейшего удобно перейти в (1.2) к независимым переменным t ui u2 (будем предполагать, что щ и U2 функционально независимы в окрестности поверхности Rt), Такой переход легко осуществить при помощи преобра зования Лежандра, вводя функцию Ф(м1, 2, t) по формуле [c.289]

Цель приложения заключается в том, чтобы кратко напомнить квадратурную формулу Гаусса, правило выбора узлов и соответствующих им весовых множителей. Эта формула оказывается полезной в МГЭ при вычислении различных интегралов по элементам и ячейкам. Главное преимущество метода численного интегрирования Гаусса — Лежандра по сравнению с обычными методами (правилом трапеций Симпсона и т.д.) заключается в том, что определенная точность результатов может быть достигнута методом Гаусса при использовании вдвое меньшего, чем в других методах, числа ординат. Это является следствием введения в формулу в виде параметра не только соответствующего каждой ординате весового множителя, но и местоположения узлов, соответствующих этим взятым из области интегрирования ординатам (рис. В. 1). [c.478]

Использование формулы дифференцирования интеграла по параметру (1.74) и соотношений между полиномами Лежандра [c.36]

Доказательство. По формуле Лежандра ЩШ2 - 2< 1 = 2тгг, следовательно, достаточно показать, что г)г = тт/мх. В силу однородности по и>, можно принять = 1. Для любых 2 Ь имеет место равенство [c.339]

Угол г]з изменяется от —у до hy- Интеграл, входящий в формулу (IV. 190а), называется эллиптическим интегралом первого рода F (ф, Щ (в обозначениях Лежандра). Следовательно, [c.409]

Обращение формул (5.2.5) достигается с помощью преобразования Лежандра (ом. 2.8). Полож им [c.150]

Функции Лежандра (сферические функции) —система о линомов, определяемых по формуле (л )--—- [c.652]

Из этого поостого анализа видно, что кведратичная аппроксимация ( .2) точно описывает чисты изгиб, но при поперечном изгибе появляются ложные сдииги, которые сильно "ужесточают" элемент. Для устранения этого наиболее удобно сокращенное интегрирование, гак как выражение в квадратных скобках в ( Л), (4.5) есть полинок Лежандра 2-го порядка, а его корни и есть точки интегрирования по Гауссу 2-го порядка. Поэтому двухточечная формула интегрирования позволяет получить точное значение энергии. [c.166]

Формула (8.130) дляа при п=2,3,. .. приводится к виду (8.22), если использовать следующее рекуррентное соотношение для по-/ линомов Лежандра [64] Рп+ (а ) ( + 1)-=(2я+ 1) л Р (л ) (л ). Полагая здесь п+ = т и вновь заменяя т на п, найдем [c.385]

Для численного интегрирования величины [L] [В] det [/] при Построении матрицы жесткостг по алгоритму, блок-схема которого приведена на рис. 92, применялась квадратурная формула Гаусса—Лежандра, причем по обеим переменным использовалась трехточечная схема, обеспечивающая получение точных результатов для полиномов для пятого порядка включительно (рис. 93). [c.290]

Штрих у знака суммы указывает на независимое суммирование четных и нечетных членов. Постоянные N n вводятся для нормировки, а величины есть коэффициенты разложения сфероидальных угловых функций Sml (с, п) В ряды ПО присосдиненным функциям Лежандра (см. формулу (2.59)). Функции Ro (а, ) — радиальные сфероидальные юлновые функции I рода [88]. Потенциалы дифрагированных и и излученных и волн согласно 4 главы 2 можно представить в виде рядов [c.116]

Таким образом, решение перюй и второй задач в /-м приближении свелось соответственно к вычислению величин из рекуррентных соотношений (5.49), (5.51). Следовательно, в /-м приближении задачи можно считать решенными, если известны операторы Lft " для /-приближения, поскольку в этом случае интегралы в правых частях (5.49), (5.51) вычисляются с использованием рекуррентных соотношений для функций Лежандра. Поскольку указанные операторы известны (формулы для них приведены в третьей главе), решение задачи заканчивается. [c.125]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...