Преобразования Лежандра и уравнения Гамильтона

Преобразования Лежандра и уравнения Гамильтона. [c.240]

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛЕЖАНДРА И УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА 241 [c.241]

При построении функционала (2.5) использовалась связь между функциями Лагранжа и Гамильтона и преобразование Лежандра р -. В дальнейшем переменные р, д рассматривались как независимые и из стационарности функционала действие были получены обратное преобразование Лежандра и динамическое уравнение р = -У,Я. [c.150]

Переход от системы уравнений второго порядка к системе уравнений первого порядка можно осуществлять разными способами, и в результате будут получаться, вообще говоря, различные эквивалентные системы. Среди них особенно простую и симметричную структуру имеет система канонических уравнений Гамильтона. Свойства этих уравнений лежат в основе метода Гамильтона-Якоби исследования движений механических систем, а также современной теории возмущений. Канонические уравнения получаются с помощью преобразования Лежандра. [c.626]

Функция Гамильтона и уравнение энергии. Функция Гамильтона Н связана с функцией Лагранжа L (в условиях преобразования Лежандра при переходе от переменных щ к переменным pi) равенством [c.51]

В 29 были введены уравнения Рауса. Рассмотрим частный случай этих уравнений, когда непотенциальные силы отсутствуют, а преобразованию Лежандра подвергаются все обобщенные скорости. Функция Рауса в этом случае называется функцией Гамильтона и обозначается обычно буквой %. [c.279]

Уравнения Лагранжа, записанные в явном виде, содержат вторые производные от ж по и поэтому являются уравнениями второго порядка. Полезно перейти к уравнениям первого порядка, вводя шестимерное фазовое пространство. Обычно уравнения Лагранжа представляют в виде уравнений Гамильтона, применяя преобразование Лежандра. Напомним его определение и основные свойства. [c.45]

Первое уравнение системы (4.13) совпадает с уравнением (4.11) и является непосредственным следствием преобразования Лежандра (оно фактически было получено Пуассоном). Второе уравнение (4.13) получается из уравнения Лагранжа (4.7) после замены дЬ/дх на импульс у и использования соотношения (4.12). Если воспользоваться соотношением (4.11) и преобразованием Лежандра Н Ь, то уравнения Гамильтона (4.13) перейдут в уравнение Лагранжа. [c.47]

С помощью преобразования Лежандра можно перейти к уравнениям Гамильтона с квадратичным гамильтонианом и затем воспользоваться теорией инвариантных соотношений из 8. Однако здесь проще действовать непосредственно, не переходя к каноническому виду уравнений (9.1). [c.96]

М, Ь) является натуральной, перейдем с помощью преобразования Лежандра к уравнениям Гамильтона иа Т М. Функции /ь. .., / Т М- -Н независимы и инволютивны (в стандартной симплектической структуре на Т М) тогда и только тогда, когда поля VI,..., о независимы и коммутируют иа М. Наличие линейных интегралов налагает ограничения не только на риманову метрику и потенциал силового поля, но и на топологию пространства положений. [c.93]

Показано, что элементарное действие и уравнения Гамильтона будут инвариантными по отношению к преобразованию подобия, если суммы показателей квазиоднородности сопряжённых величин равны между собой. При этом преобразование Лежандра даёт функцию Лагранжа, которая является квазиоднородной той же степени, что и функция Гамильтона. [c.232]

Гамильтонианы (7.20) и (7.23) являются релятивистскими лищь в том смысле, что они приводят к правильным релятивистским уравнениям движения. Однако они не являются ковариант-ными. Ковариантный гамильтониан Н можно получить, применяя преобразования Лежандра к ковариантному лагранжиану L, рассмотренному в предыдущей главе. При этом вместо времени t следует пользоваться инвариантным временем т и вместо обобщенного 3-импульса рассматривать обобщенный 4-импульс. В релятивистских обозначениях ковариантный гамильтониан частицы запищется в виде [c.248]

Важное качественное свойство лагранжевой динамики и гамильтоновой динамики заключается в том, что они сохраняют определенную каноническую форму объема. Действительно, во-первых, из координатного представления (5.3.6) немедленно следует, что уравнения Гамильтона являются бездивергентными, так что они сохраняют фазовый объем в х, р)-простран-стве, который на самом деле представляет собой п-ю внешнюю степень формы fi. Возвращаясь на касательное расслоение с помощью инверсии преобразования Лежандра, мы видим, что инвариантный объем является произведением формы объема на многообразии и евклидова объема, определенного в касательном пространстве римановой метрикой. Лагранжева система сохраняет гиперповерхности Н = onst, так что для каждого регулярного значения Н имеется индуцированная инвариантная форма объема на гиперповерхности Н — onst. Это особенно просто понять в случае геодезических потоков, когда инвариантные гиперповерхности являются сферическими расслоениями г) = onst и инвариантный объем потока есть [c.212]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...