Уравнение Лежандра

Это уравнение — линейное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами и имеет форму уравнения Лежандра. [c.81]

Это уравнение Лежандра ). Два его фундаментальных решения, для обозначения которых используются обычно символы (.г) и < (%), являются функциями Лежандра первого и второго рода. При /г О, 1, 2, 3. .. функции Р х) представляют собой полиномы Лежандра [c.388]

Чтобы осуществить переход от независимой переменной Xj к соответствующей ей переменной Xj, достаточно согласно уравнениям Лежандра вместо / взять в качестве [c.140]

Общее решение уравнения Лежандра [c.141]

Функции Лежандра [53 , (25) определяются как решения дифференциального уравнения Лежандра [c.223]

Так же как и для уравнения Лежандра, необходимо рассматривать только целые значения п. Кроме того, если положить п = —V + 1, то п п — 1) = г) (г) — 1). Отсюда следует, что необходимо сконцентрировать внимание на положительных целых числах п О, В интересующей нас области изменения —1 1 запишем независимые решения уравнения (4.23.11) в форме — [c.157]

Поэтому, записав уравнение Лежандра для полинома Р (м-) в виде [c.340]

VI. 3. Решения Qm(ja), qn s). Известно, что знание одного частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка позволяет свести к квадратуре задачу разыскания его второго частного решения. В применении к уравнению Лежандра (VI. 1.5), называя его линейно независимые (с отличным от нуля вронскианом W) решения через Ait, М2, имеем [c.897]

Выбирая надлежащим образом постоянные С, i и принимая Mi =P (ji), из этого соотношения находим второе решение уравнения Лежандра — функцию Лежандра второго рода (т = 0) [c.897]

Аналогично определяется второе решение уравнения Лежандра (VI. 1.9) при т = 0 [c.898]

Видно, что без собственной жесткости взаимосвязь движений изгиба исчезает. Движения в плоскостях взмаха и вращения приобретают одинаковую форму, а собственные частоты определяются зависимостью = 1 -f особый случай, поскольку отбрасывание собственной жесткости понижает порядок уравнений. Для малого Е/ граничные условия удовлетворяются на небольших участках вблизи конца лопасти. Для / = О необходимо учитывать два граничных условия на конце. При равномерном распределении масс уравнение для г сводится к уравнению Лежандра [c.419]

Полином Лежандра степени п, Р ((а), где п — целое и положительное число, служит коэффициентом при й" в разложении (1—2 hи удовлетворяет уравнению Лежандра [c.244]

Уравнение Лежандра есть уравнение вида [c.63]

Если к- определяется равенством (47), то уравнение (44) представляет собой уравнение Лежандра, определяющее полиномы Лежандра степени п. Нужно заметить, что для определения частот ц нашей задаче мы используем несколько необычное условие. [c.636]

Все /3f — вещественные числа, так как являются собственными значениями задачи Штурма-Лиувилля для уравнения Лежандра с граничным условием (4.74) при этом (3k = -к- Далее считаем /Зк > О [c.173]

Обратимся к уравнениям (6), в которых случай ге = 2 не исключен. Устремив Рг->0 или КеО (Л- оо) из (6) приходим к классическим уравнениям Лежандра, имеющим нетривиальные регулярные решения только нри целочисленных значениях п, отвечающих собственным значениям Яд = и(1 — тг). Цри малых, но ко- [c.263]

Можно показать, что при Рг = О неоднородная краевая задача (25), (27) неразрешима при всех числах Рейнольдса, так как в этом предельном случае однородное уравнение есть классическое самосопряженное уравнение Лежандра, имеющее регулярное решение, а условие ортогональности не выполнено. Действительно, решение [c.272]

ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ 0 РАВНОВЕСИИ ЦИЛИНДРА 391 Заметим далее, что удовлетворяет уравнению Лежандра [c.391]

Из Ф1 = О будем иметь уравнение Лежандра первого рода и естественное граничное условие [c.415]

ВХОДЯЩИЙ В уравнение (2-10-28), превращается в дифференциальное уравнение Лежандра [c.190]

Полиномы Лежандра представляют собой специальные функции, связанные с решением дифференциального уравнения Лежандра. Члены полинома находят из выражения [c.111]

Уравнение (6.19) просто преобразуется в уравнение Лежандра [c.78]

Это уравнение, являющееся обыкновенным линейным дифференциальным уравнением второго порядка без правой части (однородное ), называется уравнением Лежандра и играет важную роль, так как служит аналитической основой для изучения сферических функций. [c.159]

Уравнение (4.97) является аналитической основой для определения и изучения эллипсоидальных функций, так же как и ранее уравнение Лежандра служило для определения и изучения сферических функций. Это основное уравнение называется уравнением Ламе ). [c.198]

Все функции Лежандра являются решениями дифференциального уравнения Лежандра [c.40]

Последние получаются из (2.5) и определения (2.56) после интегрирования по частям с использованием уравнения Лежандра (2,10). В итоге находим, например, [c.51]

Аналитическая интерполяция чисел Pj и посредством аналитических функций не встречает затруднений. Полиномы Лежандра Ру (z) имеют стандартное аналитическое продолжение, которое получается с использованием диф -ренциального уравнения Лежандра, если просто считать, что входящий в него параметр может принимать произвольные значения. Тогда регулярным [c.88]

В то время как второе из уравнений является уравнением Геген-бауэра степени —1/2. Оно также тесно связано с уравнением Лежандра [c.157]

Подробное исследование этого уравнения, носящего название уравнения Лежандра, можно найти на стр. 155 курса А. R. Forsyth, указанного в сноске на стр. 154. [c.157]

Интерполяция функций Лежандра. Стандартная интерполяция (3.100) полино.мов Лежандра (г), получаемая путем простого продолжения дифференциального уравнения Лежандра, для каждого фиксированного г является целой аналитической функцией V. При фиксированном 2 и V - оо (Re v>-0) функция f v (г) имеет следующее асимптотическое поведение ([242], т. 1, стр. 143, формула (21)) [c.374]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...