Формула Гаусса — Лежандра

Формулы Гаусса. Если на отрезке интегрирования в качестве искомых параметров квадратурной формулы рассматривать (7V + 1) коэффициенте,- и (jV + 1) узел Xi, то получим 2N + 2) неизвестных. Эти параметры можно выбрать так, чтобы квадратурная формула была точна для любого многочлена степени не выше (2N + 1). Решение такой задачи известно расположение узлов J вычисляется с по-мощ,ью корней полиномов Лежандра. Узлы х, и весовые коэффициенты i для различных N приведены в [2]. Построенные таким образом квадратурные формулы называют формулами Гаусса или формулами наивысшей алгебраической точности. Для гладких функций эти формулы дают очень высокую точность. [c.61]

Интегрирование В (5.66), (5.68), (5.70), (5.73) проводится численно по формулам Гаусса — Лежандра [49, 122]. [c.175]

Прежде чем перейти к выводу формулы Гаусса, приведем некоторые сведения о полиномах Лежандра — полиномах вида [c.230]

Цель приложения заключается в том, чтобы кратко напомнить квадратурную формулу Гаусса, правило выбора узлов и соответствующих им весовых множителей. Эта формула оказывается полезной в МГЭ при вычислении различных интегралов по элементам и ячейкам. Главное преимущество метода численного интегрирования Гаусса — Лежандра по сравнению с обычными методами (правилом трапеций Симпсона и т.д.) заключается в том, что определенная точность результатов может быть достигнута методом Гаусса при использовании вдвое меньшего, чем в других методах, числа ординат. Это является следствием введения в формулу в виде параметра не только соответствующего каждой ординате весового множителя, но и местоположения узлов, соответствующих этим взятым из области интегрирования ординатам (рис. В. 1). [c.478]

Наиболее часто встречающийся в приложениях случай постоянного на конечном интервале 1а, Ь] веса приводит к известной квадратурной формуле Гаусса. Квадратурные формулы с таким весом имеют наилучшую точность для интегрирования функций, не имеющих особенностей на [а, Ь]. Для упрощения квадратурных формул линейным преобразованием независимой переменной интервал интегрирования [а, Ь] преобразуется в [—1, 1]. Ортогональную систему многочленов с постоянным весом-на [—1, 1 ] образуют многочлены Лежандра [339] [c.150]

В данной главе мы опишем метод, основанный на квадратурной формуле Гаусса ([31], гл. И и III), который позволяет легко получить численные решения на ЭВМ. При этом решение дается в виде ряда, точность которого возрастает с ростом числа его членов. Другое решение в виде ряда, использующее полиномы Лежандра, обсуждается кратко в разд. 11.6. Рассматриваемую задачу можно также сформулировать в виде интегрального уравнения, основываясь на принципе инвариантности и инвариантном погружении . Эти вопросы изложены в превосходных учебниках [2, 12] и здесь не рассматриваются. [c.225]

Описанный Б данной главе метод основан на квадратурной формуле Гаусса. Имеются и другие методы, которые оказались также эффективны при решении рассматриваемой задачи. Так, например, лучевую интенсивность можно разложить в ряд по полиномам Лежандра с неизвестными коэффициентами ([И], гл. 3). Можно также рассмотреть общие соотношения между отражением и прохождением, для конечного слоя и составить соответствующие интегральные уравнения. Такой метод оказался достаточно эффективным ([31], гл. 7, а также [2, 12]). Основную идею этого метода называют принципом инвариантности и инвариантным погружением. В следующем разделе мы опишем аналогичную методику, применимую к случаю слоистой плоскопараллельной среды. [c.239]

Формула Гаусса — Лежандра 204 [c.507]

Формулу Гаусса благодаря этому называют квадратурой наивысшей алгебраической степени точности. Узлы квадратуры Гаусса располагаются в корнях полинома Лежандра степени п. Если (г) полином Лежандра, то — корни полинома на отрезке (—1,1), т. е. табличные узлы квадратуры Гаусса с [c.159]

Интегрирование этого выражения производится с использованием квадратурной формулы Гаусса — Лежандра [14] [c.43]

Для объемных элементов, с боковых граней которых осуществляется конвективный теплообмен, производится вычисление матрицы теплообмена. Применение квадратурных формул Гаусса — Лежандра к выражению (1.51) для матрицы теплообмена приводит к следующему результату [c.44]

Интегрирование этого выражения с использованием квадратурных формул Гаусса — Лежандра приводит к результату [c.46]

Интегрирование с использованием квадратурных формул Гаусса — Лежандра дает [c.47]

Поэтому опытные данные, взятые из графиков износа при постоянстве всех факторов, были обработаны методом наименьших квадратов Лежандра—Гаусса, что дало возможность объективно оценить закономерности, свойственные исследованному процессу резания в широком диапазоне изменения различных факторов. Разработанные на основании полученных формул нормативы приближаются, таким образом, к некоторым средним значениям фактических режимов резания. [c.39]

Для численного интегрирования величины [L] [В] det [/] при Построении матрицы жесткостг по алгоритму, блок-схема которого приведена на рис. 92, применялась квадратурная формула Гаусса—Лежандра, причем по обеим переменным использовалась трехточечная схема, обеспечивающая получение точных результатов для полиномов для пятого порядка включительно (рис. 93). [c.290]

Разработана обширная теория квадратурных формул, приспособленных для различных подынтегральных функций и промежут ков интегрирования (см., например, [38]), Поскольку формула (48) содержит 2п параметров (п узлов щ тл п весов а ), можно выполнить 2п условий. Условия могут быть различными. Например, возможен выбор равномерной сетки узлов или закрепление граничных узлов. Если потребовать, чтобы формула давала точные результаты для многочленов порядка до 2п — 1, т. е. для степеней аргумента 0,1, 2,. ..2п — 1, то получится так называемая формула наивысшей точности. В случае интегралов вида (48) такая формула называется формулой Гаусса—Лежандра. Выведем ее для п = 2. [c.55]

Для оценки погрешности приближенных методов Г. В. Иванов (1966) рассмотрел простейший случай элемента пластины, к которому приложены продольная сила и момент в том же направлении. Расчет производился на основе вариационного уравнения Д. Л. Сандерса и др., в котором варьируются скорости напряжений и перемещений. Для рассматриваемой задачи достаточно было варьировать скорости напряжений. В качестве эталонного принималось решение, полученное в результате замены интегралов по толщине квадратурной формулой Гаусса с 15 узлами с ним сравнивался результат, полученный по методу В. И. Розенблюма при линейном законе распределения напряжений по толщине и при аппроксимации этого распределения четырьмя членами разложения по полиномам Лежандра. Последняя аппроксимация дает всегда хороший результат, для других можно указать области значения параметров, для которых они удовлетворительны. [c.144]

Интегрирование матриц теплопроводности осуществляется подобным же образом. Применяя квадратурные формулы Гаусса — Лежандра к выражению (1.50) для матрицы теплопроводности восьмиточечного объемного элемента, получим [c.44]

Из этого поостого анализа видно, что кведратичная аппроксимация ( .2) точно описывает чисты изгиб, но при поперечном изгибе появляются ложные сдииги, которые сильно "ужесточают" элемент. Для устранения этого наиболее удобно сокращенное интегрирование, гак как выражение в квадратных скобках в ( Л), (4.5) есть полинок Лежандра 2-го порядка, а его корни и есть точки интегрирования по Гауссу 2-го порядка. Поэтому двухточечная формула интегрирования позволяет получить точное значение энергии. [c.166]

Получение основных формул для назначения производительных режимов как скоростно-стойкостных, так и температурных, основано на методе математической статистики с графическим определением показателей как тангенсов угла наклона выпрямленных прямых. Проведение прямых производится визуальным методом. Прямая проводится так, чтобы опытные точки лежали выше и ниже линии. В этом случае могут быть внесены индивидуальные ошибки. Можно, однако, как показатели, так и коэффициенты формул определять аналитически, методом Гаусса — Лежандра без геометрических построений. [c.216]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...