Лежандра двойственность

Преобразование Лежандра — вспомогательный математический прием, состоящий в переходе от функций на линейном пространстве к функциям на сопряженном пространстве. Преобразование Лежандра сродни проективной двойственности и тангенциальным координатам в алгебраической геометрии яли построению сопряженного банахова пространства в анализе. Оно часто встречается в физике (например, при определении термодинамических величин). [c.59]

Определение. Две функции /, g, являющиеся преобразованиями Лежандра друг друга, называются двойственными по Юнгу. [c.60]

Примеры. 1. Преобразование Лежандра гиперповерхность в проективном пространстве поднимается в пространство его контактных элементов в виде лежандрова подмногообразия. Многообразие контактных элементов проективного пространства расслоено и над двойственным проективным пространством (контактному элементу сопоставляется содержащая его плоскость). Это расслоение лежандрово. Проекция поднятого лежандрова многообразия отображает его на гиперповерхность, проективно двойственную исходной. [c.452]

Теперь уже двойственность между результатами, полученными в пространстве скоростей и в пространстве сил, становится вполне завершенной. Эта двойственность, являющаяся следствием либо принципа наименьшей необратимой силы, либо принципа наименьшей скорости, представляет собой некоторое обобщение преобразования Лежандра (см., например, [7]), которое будет рассмотрено в п. 4.4. Как некоторое следствие этой двойственности рассмотрим соотношение [c.67]

Причина график преобразования Лежандра проективно двойствен графику исходной, функции (при естественном пополнении аффинных пространств до проективных). Поэтому особенности графика преобразования Лежандра гладкой функции лежандровы (откуда и происходит термин). [c.99]

Пример 1 [Двойственность Лежандра). Рассмотрим пространство контактных элементов проективного пространства Р". Это пространство естественно изоморфно пространству контактных элементов дуального проективного пространства Р [c.64]

Возвращаясь к двойственности Лежандра, рассмотрим два естественных расслоения пространства флагов (точка, гиперплоскость) [c.66]

Фронт Я С Р этого отображения называется гиперповерхностью, двойственной к Н. Аффинная версия построения фронта данной гиперповерхности называется преобразованием Лежандра. [c.66]

Лежандра двойственность 64 Лежандра преобразовгкние 66 Лежандров кобордизм 116 Лежандров край 115 Лежандрово многообразие, порождённое триадой 243 Лежандрово отображение 64 Лежандрово подмногообразие 62 Лежандрово расслоение 62 Лежандровы особенности 73 Лейбница тождество 82, 106 Линеаризованное сворачивание инваригштов 87 Локальная клгебра 86 [c.334]

Геометрически преобразования Лежандра объясняются возможностью двойственного олисания. поверхности в многомерном пространстве с одной стороны, такая (rf-f-1)-мерная поверхность может быть задана в виде зависимости (d-f-l)-ft координаты от остальных d координат, U=U tji,. .., да), т, е. набором точек в пространстве (U, qu. .., Qd), с другой стороны, в виде набора координат касательных плоскостей к поверхности lJ(qu qa) в каждой ее точке (сама поверхность является тогда огибающей семейства плоскостей), Если функция Ь ци. .., Qd) всюду строго"выпуклая (см. с. 185), то никакие две ее точки не могут иметь касательных плоскостей с одинаковыми координатами и оба способа представления являются однозначными и взаимообратимыми. [c.80]

Многомерный случай. Об особенностях фронтов многомерных лежандровых отображений (следовательно, об особенностях эквидистант, двойственных гладким гиперповерхностей, преобразований Лежандра, подэр, первообразных и т. д.) мало что известно. Из общих теорем Варченко 29], (30], [31], [226], следует конечность числа негомеоморфных особенностей на типичных фронтах любой фиксированной размерности. Явной же топологической классификации пока нет уже для шестимерных фронтов. [c.100]

Соответствие Ь Н называется преобразованием Лежандра. В силу двойственности формул (4.8) и (4.11), а также симметрии соотношения (4.10) по отношению к функциям Ь и Я, преобразование Лежандра инволютивно его квадрат будет тождественным преобразованием. [c.46]

Из предыдущей теоремы вытекает, что конструкция двойственной гиперповерхности (и, следовательно, преобразование Лежандра) инво-лютивно. [c.66]

Две попытки унификации двойственных принципов предприняты Севеллом (1969) и Артурсом (1970). Первый из них использует преобразования Лежандра (или инволютивные преобразования), второй—каноническую теорию уравнений Эйлера — Лагранжа. Превосходный обзор двойственных вариационных принципов вообще содержится в статье Нобла и Севелла (1972). [c.48]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...