Задача краевая для гармонических функций

Из третьего условия (3.1) получаем краевую задачу Неймана для гармонической функции % [c.272]

Покажем теперь, что введенные выше представления смещений посредством гармонических функций позволяют в отдельных случаях краевые задачи теории упругости свести к совокупности независимо (или последовательно) решаемых краевых задач для гармонических функций. [c.287]

Единственность решения задач для гармонических функций, краевых внешних 173 [c.563]

Описанный расчет течения через решетку по методу сеток принципиально очень прост, однако он связан с определением искомых функций во всей области течения и поэтому получение решения с приемлемой точностью требует больших затрат времени. Кроме того, определение, например, скоростей во всей области течения никогда не оправдывается потребностями практики. Ввиду указанного распространение получили другие, описанные ниже, способы расчета течения через решетку, основанные на более эффективных методах решения краевых задач для гармонических функций. [c.48]

Все рассмотренные выше методы решения прямой и обратной задач теории гидродинамических решеток, по существу, в той или другой форме содержали решение краевых задач для гармонических функций. [c.145]

Для гармонических функций и Л)) могут быть поставлены следующие краевые задачи [c.310]

Приведенный выше метод решения плоской задачи теории упругости и изгиба плоских плит разработан с учетом технических возможностей интегратора ЭМ (БУ)-6. Почти все задачи решаются по частям путем расчленения их на составляющие задачи. В число последних входит неопределенная краевая задача, представляющая собой совместное решение уравнения = Р у Р = О, удовлетворяющее двум заданным условиям для функции да. Метод решения такой задачи, включающий подбор неизвестных краевых условий для гармонической функции Р, был практически проверен в НИС Гидропроекта при получении численных данных для большого числа задач, включающих решение неопределенной краевой задачи. Как показывает опыт, подбор краевых условий гармонической функции по критерию, который можно замерить в процессе подбора непосредственно на сетках интегратора, не представляет больших трудностей и обеспечивает большую точность выполнения заданных краевых условий. Однако выполнение операции подбора на интеграторе ЭМ (БУ)-6 при выполнении граничных условий с точностью 332 [c.332]

Мы не касаемся первого метода в вопросе представимости решений уравнений в частных производных, где, очевидно, первый метод также имеет во многих случаях большое значение. Например, это можно видеть в работах М. В. Келдыша (1938), М. В. Келдыша и Ф. И. Франкля (1935), где построен метод последовательных приближений для решения инте-гро-дифференциальных уравнений при строгом обосновании теории винта Жуковского, в работе М. В. Келдыша и Л. И. Седова (1937), где дана конструктивное решение краевых задач для гармонических функций, а также во многих работах Н, И. Мусхелишвили и его учеников. [c.82]

Наличие функции Грина для пространства с плоским круговым разрезом автоматически приводит к решению смешанной задачи для полупространства, когда в области, совпадающей с разрезом, задано значение гармонической функции, а на оставшейся части границы ее нормальная производная равна нулю. Естественно, что последнее ограничение может быть легко устранено преобразованием исходной краевой задачи при наложении частного решения задачи Неймана для всего полупространства. [c.110]

Основная идея изложенного в гл. 10 метода комплексной переменной для решения плоской задачи теории упругости состояла в том, чтобы представить искомые напряжения и перемещения через функции комплексной переменной, т. е. по существу через гармонические функции действительных переменных Ха.. Для этих функций формулируются те или иные краевые задачи, методы решения которых и составляют содержание соответствующего раздела теории упругости. Большая часть эффективных методов решения пространственных задач теории упругости представляет собою развитие той же идеи. Здесь мы приведем и будем в дальнейшем использовать одно такое представление решения задачи теории упругости через четыре гармонические функции. Это представление было открыто Папковичем в 1932 г. и независимо Нейбером в 1933 г. Будем отправляться от уравнений Ламе при отсутствии объемных сил [c.359]

Заметим, что если граничная поверхность 2 простирается до бесконечности, то проведенное выше рассуждение о поведении гармонических функций в бесконечности недействительно. В этих случаях требуется отдельное специальное аналогичное исследование, в частности, это необходимо для плоских задач, в которых поверхности 2 — бесконечные цилиндры. Однако и в этом случае требование об исчезновении скорости при удалении от внутренних границ области в бесконечность и требование об однозначности потенциала гарантируют единственность решения рассматриваемых основных краевых задач. [c.173]

Таким образом, в общем случае описанным путем после продолжения 8 и со в область вне 2) и после использования решения (25.28) для окончательного решения краевой задачи в области, имеющей границы, потребуется еще решить краевую задачу для определения гармонической функции ф х, у, z). [c.279]

Самый простой способ построения плоского потенциального течения несжимаемой жидкости заключается в численном решении краевых задач для уравнения Лапласа относительно различных гармонических функций, связанных с течением. Решение находится во всей области течения (для решетки — в полосе одного периода) путем последовательных приближений с применением различных вариантов известного метода сеток [57]. [c.41]

Решение краевой задачи заканчивается, когда эти три гармонические функции определяются из заданных граничных условий для каждого значения п. [c.80]

Из граничных условий, принятых для третьей составляющей задачи следует, что = 0. Функция также является гармонической и имеет одинаковые краевые условия с функцией Следовательно, = М . [c.320]

Таким образом, необходимо дополнительно решить краевую задачу для определения гармонической функции ф(г). [c.62]

Доказательство. Рассмотрим гармонические в полупространстве 7 + функции и представляющие собой соответственно решения краевой задачи (3.3.16) для трещин G и Введем гармоническую функцию i//, равную разности И( ф = <р —. Для i//имеем, согласно условиям теоремы и (3.3.16), следующую краевую задачу [c.108]

В случае одной сосредоточенной силы, нормальной к границе полупространства оно может быть получено наложением особых решений, соответствуюш.их, во-первых, действию сосредоточенной силы в неограниченной упругой среде, во-вторых, линии центров расширения (элементарное решение второго типа). Решение для одной сосредоточенной силы далее легко обобщается с помощью принципа наложения на случай произвольной, распределённой по границе нормальной к ней нагрузки. Второй путь решения заключается в сведении рассматриваемой задачи к некоторой краевой задаче теории потенциала — оказывается (это можно получить, исходя из общего решения в форме П. Ф. Папковича), что задача теории упругости о разыскании напряжённого состояния в полупространстве при заданном значении нормального напряжения на границе полупространства и при отсутствии на ней касательных напряжений и сводится к разысканию одной гармонической функции, обладающей всеми характеристическими свойствами потенциала простого слоя, распределённого по плоской области загружения с плотностью, пропорциональной интенсивности нагрузки. [c.90]

Таким образом, рассмотрение жёсткого закрепления края плиты не требует решения краевой задачи и, следовательно, введения однородного бигармонического решения Последнее становится необходимым для рассмотрения задач, соответствующих другим краевым условиям. Мы остановимся на случае свободного края. Добавив к решению (4.47)—(4.48) однородное решение (1.26)—(1.27) и выбрав гармоническую функцию / равной [c.242]

Определение компонент напряжений и перемещений в полубесконечном теле при плоской деформации с помощью плоских гармонических функций. Как показал автор ), компоненты напряжений и перемещений в плоско деформированном полубесконечном теле из упругого сжимаемого (или несжимаемого) или чисто вязкого материала, нагруженного на граничной плоскости заданными распределенными напряжениями — нормальными Oy=f x) либо касательными Тхг/ = / (л ) — можно определить путем решения первой краевой задачи для плоской гармонической функции. Хотя при определении формул для напряжений можно использовать функцию напряжений F x,y), мы убедимся, что их можно также определить с помощью плоских гармонических функций, не прибегая к бигармонической функции(л , ). [c.263]

Суммируя изложенное, мы устанавливаем, что решения задачи плоской деформации в полубесконечном упругом или вязком теле >0 при заданных значениях нормальных Oy = f x) или касательных Txy=f x) напряжений на поверхности у=0 сводится к построению первых краевых задач для поля плоских сопряженных гармонических функций [c.267]

Следует далее подчеркнуть, что при применении решения Папковича и Нейбера уравнения Навье удовлетворяются гармоническими функциями, множество из которых известно. Однако трудности при этом также связаны с удовлетворением граничных условий. Кажущиеся вполне безобидными краевые условия для первой граничной задачи (формулы Коши) р,- = стг/П, принимают, согласно решению Папковича и Нейбера, вид [c.113]

Поэтому мы в дальнейшем будем пользоваться данными формулами в виде (7.12), опуская, однако, значок ( ) при функциях ср p и XI- Выражения (7.12) можно трактовать как применение общего решения П. Ф. Папковича [V (8.8)] к плоской задаче. Для этого в V (8.8) надо положить Фг = 0, а Ф . и считать гармоническими функциями только д и и притом связанными друг с другом соотношениями Коши-Римана. Наложив это последнее ограничение (отнюдь не вытекающее из рассуждений йри выводе формул П. Ф. Папковича), мы утрачиваем предусмотренную в этих формулах возможность произвольно распоряжаться гармонической функцией Фо (в данном случае Хх)- Как будет установлено в дальнейшем, выбор этой функции определяется краевыми условиями. Заметим, что выражениям (7.12) может быть придан несколько иной вид, если ввести вместо (х, у) новую гармоническую функцию 2(х, ) (5.14). [c.311]

Решение прямой задачи по методу сеток заключалось в численном решении в решетчатой области задачи Дирихле для гармонических функций Ф" (х, у) или а(х, у), или, наконец, задачи Неймана для функции Ф(х, у). Эти же задачи сводились к решению интегральных уравнений типа Фредгольма, причем интегралы вычислялись вдоль контуров профилей и их ядра сушественно зависели как от формы просЬилей, так и от положения точки на профиле (дуги профиля). По методу конформных отображений решение краевой задачи для функций Ф(х, у) и ФДх, у) отпадает, так как эти функции определены в канонических областя> , зато возникает новая задача нахождения конформного отображения данной решетчатой области на каноническую, т. е. построения отображающей функции z Z). Решение последней задачи, по существу, также оказывается задачей Дирихле для гармонических функций х( , т ), у( , т ) или aгg т ), [c.145]

Первый этап указанного выше хода решения нашей задачи ставит нас перед необходимостью решить краевую задачу Дирихле для гармонических функций 0)1, и)2, шз [см. формулы (9.79)]. Однако эта задача, как показал Буссинеск, легко решается в том случае, когда нагрузка состоит из одной сосредоточенной силы, приложенной к какой-либо точке границы отсюда к случаю произвольной нагрузки можно перейти примерно таким же приемом, какой мы в 49 применили к соответственной плоской задаче. [c.270]

Задачей Дирихле называется краевая задача для гармонической функции в случае, если на контуре задано значение самой искомой функции. [c.47]

Кешении задачи теории упругости (Труды Ленинградского политехи, нн-та, s 4, 1947) н М. Г, Слободянского Общие формы решений уравнений упругости для односвязных и многосвязных областей, выраженные через гармонические функции (Прикл. матем. и мех. 18, 1954, стр. 55), в которых трактуется вопрос о допустимости илн недопустимости уменьшения числа гармонических функций в общем решении до трёх (вместо четырёх). Наша точка зрения сводится к тому, что решение П. Ф. Папковича, равно как и другие формы общих решений, является весьма полезным вспомогательным средством решения краевых задач теории упругости, допускающим непосредственное применение прн выборе частных решений хорошо известных классических решений в форме гармонических функций. Если и верно, что общее решение должно содержать только три гармонические функции, а не четыре, то прн построении решения конкретной задачи сохранение четвёртой гармонической функции может облегчить выбор необходимых частных решений, и поэтому нет нужды от него отказываться. [c.69]

Все рассмотренные выше методы решения задач теории решеток в той или иной форме содержали решения линейных краевых задач (Дирихле, Неймана или смешанных) для гармонических функций, в большинстве случаев однородных или кусочно-однородных задач, причем, как правило, выбор искомой функции, вид канонической области и способы вычислений специально не обосновывались. Между тем именно от этой стороны вопроса зависят успех решения задач и эффективность результатов, что, в частности, наиболее ясно показали работы московской школы в задачах теории решеток из тонких профилей и струйных течений. [c.122]

Вообще говоря, трудности, возникающие при решении задачи D, такие же, как и при решении краевых задач для области, ограниченной несколькими поверхностями. Здесь имеется ввиду следующее. Пусть несколько поверхностей S/ (/=1,2,. .., п) расположены друг вне друга, а одна, обозначаемая через So (эта поверхность может и отсутствовать), охватывает все остальные. Область D расположена между этими поверхностями ). Тогда решение для искомых гармонических функций (как в задаче Дирихле, так и в задаче Неймана) можно представить в виде потенциалов двойного и простого слоев соответственно, имея ввиду плотности, распространенные на все поверхности. В результате будут получены интегральные уравнения той же структуры, что (7.8) и (7.9), вернее, будут получены системы уравнений для функций ф,( ) (/ = 0,1,2,. .., п). [c.105]

Воспользуемся этими представлениями для получения удобных (в плане решения краевых задач) представлений частных решений задач теории упругости для шара и пространства с шаровой полостью. Применим для построения указанных гармонических функций метод разделения переменных. Зададим некоторое целое положительное число п. Тогда согласно изложенному в 10 гл. I следует, что ввиду осевой симметрии проекции вектора ф на оси координат х а у можног выбрать в виде [c.333]

Решение задачи о кручении призмы при помощи функции Т, сопряженной с функцией Ф. Путем перехода от функции Ф к гармонической функции , сопряженной с нею, задача о кручении призмы может быть сформулирована как некоторая другая краевая задача (задача Дирихле )) для этой вновь введенной функции. С этой целью в условии (11.72) направляющие косинусы нормали V выразим через соответствующие направляющие косинусы касательной t, согласно (11.78), в результате получим [c.47]

Краевые задачи для клина для простоты будем считать четными по Z, а гармонические функции Ф будем разыскивать в форме интегралов Фурье-Конторовича-Лебедева в комплексной плоскости [2] [c.147]

Задача о трещине нормального разрыва в безраничной среде при наличии связей между поверхностями, так же как и в отсутствии связей, эквивалентна задаче определения гармонической функции Ф в полупространстве. Однако теперь вместо граничных условий (3.3.16) имеем для Ф краевую задачу [c.110]

Если жидкость идеальна (V = 0), то г ) = О и поле скоростей будет потенциальным. При малых V вдали от границ области течение будет также близко к потенциальному. Вектор-функция будет компенсировать невязку граничных условий, которая возникает, если решение задачи о движении вязкой жидкости аппроксимировать потенциальным полем. Таким образом, функция я]) — это функция типа пограничного слоя. Для малых значений V методы построения асимптотики решений уравнения (6.2) хорошо известны. Функция г]) при этол1 в явном виде выражается через свои граничные значения, которые в свою очередь содержат величины, определенные потенциальным полем. Эта процедура позволяет исключить соленоидальную составляющую поля скоростей и свести задачу исследования линеаризованных уравнений Навье — Стокса к исследованию некоторой несамосопряженной краевой задачи теории гармонических функций. Для подобной задачи решение в некоторых случаях, как уже говорилось, может быть получено уже в явном виде. [c.72]

В важном частном случае р = onst и Q = О (второе несущественно) уравнения (6.6) и (6.7) становятся линейными и переходят в хорошо известные уравнения математической физики, описывающие движение электрического тока через проводящие поверхности произвольного вида (Н. А. Умов, 1875), течение несжимаемой жидкости в слое переменной толщины и ламинарную фильтрацию в неоднородных слоях (О. В. Голубева, 1950, 1953 П. Я. Полубаринова-Кочина, 1953), движение газй в плоскости годографа скорости (Л. С. Лейбензон, 1935), течение вязкой жидкости в подшипнике, напряженное состояние анизотропных валов и неоднородных пластинок. Математическая теория этих уравнений существенно развита в работах И. Н. Векуа, Л. Берса и А. Вайнштейна, М. А. Лаврентьева и Б. В. Шабата, С. Бергмана, Г. Н. ПоЛожего. Эффективные решения краевых задач для уравнений (6.6) и (6.7) представляются через аналитические (гармонические) функции и фундаментальные [c.149]

Следовательно, справедливо уравнение Ax(x,//) = 0 с граничным условием Xr = + i/ )/2 + onst. В результате задача кручения в такой постановке сведена к так называемой задаче Дирихле (или первой краевой задаче теории гармонических функций). В общем случае доказано, что эта задача имеет единственное рещение, и с помощью подходящих гармонических функций могут быть получены многочисленные точные решения задач кручения для некруговых поперечных сечений. [c.160]

Решение плоской задачи теории упругости зависит от двух координат и может быть выражено через две произвольные (с точки зрения выполнения уравнений равновесия и условий неразрывности) двухмерные гармонические функции, определяющиеся путем подчинения решения двум краевым условиям на плоском граничном контуре. То обстоятельство, что ортогональные преобразования координат на плоскости и теория двухмерных гармонических функций тесно связаны с теорией функций комплексного переменного, позволило разработать общий метод решения плоской задачи, основанный на аппарате теории аналитических функций (Г. В. Колосов [10], Н. И. Мусхелишвили [20] и его школа). Этот путь в принципе позволяет подойти к решению любой плоской задачи, но наиболее эффективен для односвязных и (в меньшей мере) для двухсвязных областей. Основная идея, которой при этом руководствуются, состоит в отображении рассматриваемой области на одну из канонических областей (на полуплоскость, круг единичного радиуса или круговое кольцо) с последующим использованием аппарата интегралов типа Коши для нахождения двух неизвестных функций по заданному краевому условию. Если ограничиться только односвязными областями (каковые по существу главным образом и рассматриваются [20], [27]), то можно обойтись и без аппарата интегралов типа Коши, оперируя лишь самыми элементарными представлениями теории аналитических фунщий. В нашей книге, носящей общий характер, мы даем только этот наиболее простой и в то же время достаточно эффективный способ, отсылая читателя за более полным и общим изло- [c.292]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...