Параболические уравнения в частных производных

ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [c.120]

Параболические уравнения в частных производных 120 Погрешности 74 [c.231]

Книги [121], [ 110] и [318] описывают бесконечномерные динамические системы, которые возникают при исследовании параболических уравнений в частных производных и других сход-, ных систем с сильным диссипативным поведением. Такие системы изучаются с помощью подходящих обобщений теории устойчивых и неустойчивых многообразий, а также понятий и методов топологической динамики и эргодической теории. Этн книги содержат хороший набор конкретных задач, которые могут быть решены подобными способами. [c.722]

Нелинейное двумерное параболическое уравнение (1.1.1) получено редукцией системы дифференциальных уравнений в частных производных, описывающей большой класс неустойчивых систем гидродинамики, физики, биофизики, химии и химической технологии. [c.10]

Многие задачи тепло- и массообмена сводятся к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Примером таких задач являются рассмотренные в данном пособии задачи о течении Куэтта (в том числе многокомпонентной среды), о расчете пограничного слоя в автомодельном случае и др. При построении численного алгоритма решения уравнений в частных производных параболического типа (алгоритм рассмотрен ниже) задача также по существу сводится к последовательному решению на каждом шаге вдоль обтекаемой поверхности обыкновенных дифференциальных уравнений методом прогонки. [c.96]

Таким образом, система уравнений Навье—Стокса является системой нелинейных уравнений в частных производных второго порядка. В курсе гидромеханики для частного случая несжимаемого газа показано, что эта система параболического типа. Этот вывод сохраняет свою силу и для многокомпонентной реакционноспособной смеси. [c.139]

Если не учитывать излучения, то система уравнений (7.4.24) — (7.4.27) представляет собой систему уравнений в частных производных параболического типа. [c.381]

Следовательно, характеристическая функция ш и время ( в параболическом,, так же как и в эллиптическом, движении представляют собой функции хорды и суммы радиусов. Таким образом, полагая в предыдущих выражениях а бесконечным, мы находим для параболического движения следующие уравнения в частных производных [c.211]

В работах А. В. Лыкова систематически разработана аналитическая теория внутреннего тепло- и массообмена в капиллярно-пористых телах, которая описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа. Эта система в потенциальной ([юрме может быть записана так [c.166]

Для исследования физических процессов, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных эллиптического и параболического типов, используются аналоговые универсальные сеточные моделирующие установки типов УСМ-1 и МСМ-1 [20]. [c.801]

Уравнения эти, представляющие систему нелинейных уравнений в частных производных второго порядка параболического типа, были указаны Л. Прандтлем в 1904 г. ). [c.445]

При исследовании задач статистической динамики и теории случайных колебаний второе уравнение Колмогорова получило наибольшее распространение. По существующей классификации дифференциальных уравнений в частных производных уравнения Колмогорова (4.19) и (4.30) принадлежат к параболическому типу уравнений. Для того чтобы решение уравнения было однозначным, необходимо знать начальные и граничные условия для искомой функции (для плотности вероятности f(x, /[хд, / о)). Кроме начальных и граничных условий, функция / должна удовлетворять условиям, справедливым для любой плотности вероятностей [c.133]

Решение уравнений Колмогорова представляет большие трудности (кроме простейших частных случаев). Эти уравнения в частных производных относятся к классу параболических уравнений. Поэтому для получения однозначных решений необходимо знать начальные и граничные условия, которым должна удовлетворять функция А (закон распределения плотности вероятности). [c.146]

Существуют два основных подхода к рассмотрению временных эффектов. Один из них заключается в том, чтобы учитывать время явно, таким же образом, как и пространственные координаты, и производить численное интегрирование по отрезку времени так же, как и по геометрической границе тела. Такой метод применялся в работе [1]. Другой подход, более широко используемый в методе ГИУ, состоит в исключении времени из числа независимых переменных путем применения преобразования Лапласа к исходным дифференциальным уравнениям в частных производных и граничным условиям. (Обсуждению такого подхода посвящается эта статья.) Этим способом параболические и гиперболические дифференциальные уравнения, как правило, могут быть сведены к более удобным эллиптическим уравнениям, которые решаются в пространстве преобразований методом ГИУ для [c.30]

Ясно, что случаям дозвукового течения (М<1), звукового течения (М = 1) и сверхзвукового течения (М > 1) отвечают уравнения в частных производных соответственно эллиптического, параболического и гиперболического типов ). Это простое замечание уже указывает на то, что краевая задача корректно поставлена лишь в дозвуковом случае. [c.34]

Равенства (212) и (214)—два уравнения в частных производных двух зависимых переменных и и. Они подобны точным уравнениям Навье — Стокса в том смысле, что и те и другие нелинейны. Однако эти равенства имеют и существенное отличие, заключающееся в отсутствии в них слагаемого х д и/дх , что превращает равенство (212) из дифференциального уравнения эллиптического типа в уравнение параболического типа, в общем случае гораздо более легко решаемое и более удобное для численной аппроксимации. [c.292]

Определим, к какому типу — эллиптическому, параболическому или гиперболическому— относится это уравнение в случае, когда скорость движения газа во всех точках потока больше скорости распространения звука. Записывая дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка в общем виде [c.402]

Если дискриминант уравнения (37.68е) равен нулю, то две системы характеристик сливаются в одно семейство кривых, когда же он отрицателен, то действительных характеристик не существует вовсе. Три соответствующих типа дифференциальных уравнений в частных производных, как известно, называются гиперболическим, параболическим и эллиптическим 2). Само собой разумеется, что характер дифференциального уравнения в частных производных общего вида (37.68) в различных областях поля координат может изменяться, а уравнение может быть гиперболическим в одной области и параболическим или эллиптическим в примыкающих областях и т. д. [c.624]

Отметим, что в силу общих свойств уравнений в частных производных параболического типа распространение примеси в пространстве, описываемое параболическим полуэмпирическим уравнением диффузии, происходит бесконечно быстро. Последний факт можно связать, также с тем, что параболическое полуэмпирическое уравнение соответствует представлению о диффузии как о марковском случайном процессе в пространстве [c.479]

Исследования показывают, что при р = 1 получаем уже расходящуюся вычислительную схему. Вообще следует отметить, что при решении нестационарных уравнений в частных производных параболического типа вопросы соотношения между Л и /, а также ошибка округления в численном решении играют первостепенную роль, ибо ими определяется сходимость и устойчивость получаемых решений. Из строгих теоретических рассуждений следует [c.63]

Моча ЛИН А. И. Применение 5-функции Дирака к решению дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа. В кн. Тепло-и массообмен в процессах испарения . М., Изд. АН СССР, 1958. [c.594]

Бифуркация рождения цикла - это появление периодических орбит ( автоколебаний ) из устойчивой неподвижной точки при прохождении параметра через критическое значение. Хотя в наше время доказана возможность применения бифуркационной теории Хопфа к нелинейным параболическим уравнениям с частными производными, мы целиком и полностью ограничимся применением этой теории к обыкновенным дифференциальным уравнениям на плоскости. [c.70]

Данные уравнения в отличие от волновых уравнений содержат лишь первую производную по времени. Классификационно они относятся к дифференциальным уравнениям в частных производных параболического типа 131 и описывают физические процессы, схожие с процессами нестационарной теплопроводности или диффузии. [c.40]

Разнообразны методы решения уравнений в частных производных, описывающих течения газа в соплах. Сложность задачи состоит пе только в большом числе таких уравнений, необходимых для описания неравновесных процессов, но и в том, что тип их различен в различных областях сонла. В случае стационарного течения в дозвуковой области соответствующая система уравнений в частных производных является эллиптической, в трансзвуковой — параболической, в сверхзвуковой — гиперболической. Таким образом, нри изучении течений в соплах приходится иметь дело с различными областями современной физики, а при решении уравнений, описывающих течение,— с основными типами уравнений математической физики. Отмеченные обстоятельства привели к тому, что сформировалась по существу самостоятельная ветвь газовой динамики — физическая газовая динамика внутренних течений. [c.7]

Построение аналитических и даже численных решений системы (1.18) — (1.21) связано со значительными трудностями ввиду сложности физико-химических процессов и того, что в общем случае течение в сопле содержит до-, транс- и сверхзвуковые области, для описания которых требуется различный математический аппарат, поскольку приходится иметь дело сразу с эллиптическими, параболическими и гиперболическими уравнениями в частных производных. В то же время построение некоторых аналитических решений, основанных на приближенных предпосылках, позволяет, значительно упростив методы решения, установить многие важные качественные закономерности. В связи с этим в настоящем параграфе будут рассмотрены некоторые элементарные теории, позволяющие выявить ряд основных закономерностей движения газа в сопле. К числу таких теорий относятся одномерная теория сопла, теория течений типа источника и стока, теория простой волны или течения Прандтля — Мейера. [c.40]

Так, если Ri является интегируремой (по Лебегу) функцией в окрестности (в дальнейщем будем обозначать Ri(rj) ), Г является притягивающей границей, в противном случае - отталкивающей. Притягивающая граница будет достижима, если Rsirj) j , и недостижимой в противном случае. Применение этих функций связано с тем, что они являются решениями соответствующих параболических уравнений в частных производных для различных вероятностей и времен достижения тех или иных границ, а условия интегрируемости являются условиями существования нетривиальных рещений. [c.306]

Если В —АС>0, то уравнение характеристик имеет два решения, и основное уравнение (IX.14) называется в этом случае дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка гиперболического типа. Если В —АС<0, то уравнение характеристик не имеет ни одного вещественного корня, а основное уравнение эллиптического типа. Если В —АС = 0, то уравнение характеристик имеет одно решение. Основное уравнение (IX.14) в этом случае называется дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка параболического типа. В нашем случае в уравнении (1Х.13) Л = —1, B = tg20, С = 1, тогда [c.114]

Уравнение (9.75) называется дифференциальным уравнением для потенциала скорости при стационарном двумерном изоэнтропичееком течении идеального газа оно представляет собой нелинейное уравнение в частных производных второго порядка. В области w< с уравнение (9.75) является эллиптическим при ш — с—параболическим, а в области — [c.329]

Построение аналитических и даже числовых решений полной системы уравнений газовой динамики связано со значительными трудностями не только из-за сложности физико-химических процессов, но и потому, что в общем случае течение содержит дозвуковые, трансзвуковые и сверхзвуковые области, для описания которых требуется различный математический аппарат. При этом приходится иметь дело сразу с эллиптическими, параболическими и гиперболическими уравнениями в частных производных. В то же время построение некоторых аналитических решений, основанных на приближенных предпосылках, позволяет, значительно упростив методы решения, установить многие качественные закономерности. В настоящем параграфе будут рассмотрены некоторые аналитические решения, позволяющие выявить ряд важных закономерностей движения газа и являющиеся необходимыми тестовыми примерами при численных расчетах. К числу таких решений относятся одномерная теория сопла, теория простой волны (течение Прандт-ля — Майера, волна Римана), обтекание клина, распад произвольного разрыва, точечный взрыв, решение методом источников и стоков, решение уравнения для потенциала. [c.54]

Решение сопряженных задач теплообмена связано с преодолением принципиальных математических трудностей. Основная трудность состоит в том, что приходится решать систему уравнений в частных производных, и1кеющих различный вид на разных интервалах, в случае стационарных задач мы сталкиваемся даже с дифференциальными уравнениями разных типов для жидкости получается уравнение в частных производных параболического типа, а для твердого тела —эллиптического типа. Наиболее рациональным подходом к решению сопряженных задач является введение на границе сопряжения неизвестной функции, равной температуре или тепловому-потоку на этой границе, которое позволяет свести систему уравнений в частных производных к двум несвязанным краевым задачам. Неизвестная функция определяется в дальнейшем из оставшихся условий сопряжения. [c.259]

Тарапон А. Г. Моделирование дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа на электропроводной бумаге с распределенной емкостью.— Некоторые вопросы прикладной математики и аналоговой вычислительной техники. К., Наук, думка , 1966, № 2, с. 3—18. [c.245]

В принципе численное решение для трехмерного течения газа можно получить путем совместного решения трех уравнений сохранения количества движения для газа, уравнения состояния, уравнений сохранения массы и состава смеси для шести неизвестных Uzy Ur, Uq, р, р, с. Даже с учетом того, что уравнение сохранения энергии не используется, решение такой системы сопряжено с определенными трудностями. Самая большая из них заключается в том, что дифференциальные уравнения в частных производных для газовой фазы — комбинированного параболическо-эллиптического типа, поэтому анализ затруднен из-за сложности решения начальной задачи Коши. Для решения такой системы уравнений, как задачи на отыскание собственных значений, необходимо полное описание неизвестных во всех точках (г, 0) границы с последующей зоной трубок тока. Но степень сгорания топлива на этой нижней границе зоны горения заранее не известна, поэтому неизвестны концентрации распыленной жидкости и скорости жидкости и газа, как и продольное распределение давления. [c.156]

При составлении уравнений в методе Бубнова—Галеркина никакие связи с вариационными задачами вообще говоря не используются, поэтому этот метод является универсальным. Он может быть применен к уравнениям в частных производных различных типов эллиптическим, гиперболическим, параболическим.Однако для вариационных задач метод Бубнова—Галеркина находится в тесном взаимоотношении с методом Ритца, а в ряде случаев эквивалентен последнему в том смысле, что приводит к тому же приближенному решению, но с помощью более простых выкладок. [c.118]

Особо характерным для уравнений параболического типа является последнее граничное условие, выражающее задание профиля скоростей Мо у) в некотором начальном сечении пограничного слоя х = х ). Согласно общей теории дифференциальных уравнений в частных производных, реще-ние уравнений параболического типа при заданных граничных условиях определяется только в области течения, расположенной вниз по потоку за этим начальным сечением. [c.446]

В заключение следует указать, что возможности использования произвола, содержащегося в общем решении уравнений безмомент-ной теории, зависят от формы оболочки. Объясняется это тем, что дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка, к решению которых сводится определение усилий и смещений в безмоментных оболочках, принадлежат к разным классам для оболочек положительной, отрицательной и нулевой гауссовой кривизны, а именно они являются эллиптическими для первых, гиперболическими для вторых и параболическими для третьих оболочек. Это вносит специфику в постановку граничных условий в каждом частном случае, что будет показано на примерах ниже. [c.89]

Изучается поведение малых возмущений стационарных решений произ-вольной системы уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными ж и t в окрестности критической точки, где обращается в нуль одна из характеристических скоростей. Все характеристики системы предполагаются действительными и различными, кроме t = onst, которые могут быть кратными для параболически вырожденной системы. Критические точки совпадают с особыми точками системы уравнений, описывающей стационарные решения. Исследованы их возможные типы. Показано, что нестационарные процессы в окрестности критических точек описываются одним уравнением в частных производных первого порядка, коэффициенты которого определяются собственными числами особой точки стационарных уравнений. Нестационарные процессы исследованы с учетом нелинейных членов. [c.640]

Дифференциальные уравнения в частных производных классифицируют либо в зависилюсти от их математической природы — эллиптические, параболические и т. п.,— либо в зависимости от физического с.мысла решаемых с их помощью задач — уравнение диффузии, волновое уравнение и т. п. Чтобы пользоваться математической литературой и литературой по прикладным дисциплинам, инженер должен быть знаком с обеими этими классификациями. [c.103]

Уравнения (13) нредсгавлякп собой систему нелинейных уравнений в частных производны.ч второго порядка параболического типа. Как уже упоминалось, входящая в них заданная наперед функция U(x,t) является скоростью на вненлней границе пограничного слоя и определяется заранее путем решения задачи безвихревого обтекания тела идеальной несжимаемой жидкостью. [c.561]

Среди граничных условий для уравнений (15) или, что то же, (16), следует обратить особое внимание на последнее, виражающее задание профиля скоростей в некотором сечении пограничного слоя. Согласно общей теории диффереициальньг С уравнений в частных производных, решение уравнений параболического типа при заданных граничных условиях определяется только в области течения, расположенной вниз по потоку за этим сечением, что позволяет назвать само сечение и профиль скоростей в нем начальными . В областях течения, описываемых параболическими уравнения.ми, влия1ше начального профиля скоростей вверх по потоку не могло бы иметь места. Только благодаря существованию внешнего безвихревого потока,, описываемого уравнениями эллиптического типа, да, кроме того, эффекту обратного влияния пограничного слоя на внешний поток, 1 этой смешанной области действия уравнений параболического и эллиптического типов иногда приходится наблюдать влияние начального профиля на области пограничного слоя, расположенные вверх по течению относительно начального сечения. [c.562]

Основяылг математическим аппаратом в механике сплошных сред являются дифференциальные уравнения в частных производных. В свою очередь, на развитие теории дифференциальных уравнений существенное влияние оказали такие разделы механики сплошных сред, как теория упругости, гидродинамика, газовая динамика. Они стимулировали исследования в теории эллиптических, параболических и гиперболических уравнений. [c.7]

Книга известных американских математиков Р. Беллмана и Э. Энджела посвящена одной из важнейших задач современной вычислительной математики — созданию устойчивых численных методов решения уравнений в частных производных. Авторы убедительно показывают, что известные методы динамического программирования и инвариантного погружения приводят к эффектным и эффективным методам решения уравнений эллиптического и параболического типов. Удачно подобранные примеры и упражнения увеличивают педагогическую ценность книги. [c.310]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...