Оператор гиперболический

По-видимому, эту систему надо отнести к новым системам дифференциальных уравнений смешанно-составного типа. Так, в локальной системе координат, связанной с главными напряжениями, изменение перемещений (скоростей перемещений) определяется дифференциальным оператором эллиптического типа вдоль второго главного направления, содержащим вторые частные производные от перемещений по координатам. А в поверхностях, ортогональных второму главному направлению, происходит привычное для плоской деформации описание перемещений (скоростей перемещений) с помощью дифференциальных операторов гиперболического типа две поверхности разрыва — линии скольжения (вещественные характеристики). По-видимому, эти особенности отражают физическую гипотезу Т. Кармана о сохранении упругой (квазиупругой) связи по второму главному направлению. [c.43]

Так, если для малых углов атаки и небольших углов полураствора конуса поток в возмущенной области везде сверхзвуковой, то при увеличении /Зо на наветренной стороне скорость потока становится меньше скорости звука и при определенных значениях /Зо в рамках модели конических течений возможен переход к обратному коническому течению. Для построения единообразного алгоритма, позволяющего рассчитывать обтекание конусов как при дозвуковых, так и при сверхзвуковых скоростях возмущенного потока, используется метод установления по фиктивной временной переменной т [22]. Введение оператора д/дт приводит систему уравнений к г-гиперболическому типу [c.94]

Как следует из результатов, излагаемых ниже (см. главу VII) и в соответствии с принципами Сен-Венана, асимптотика волны продольных напряжений с точностью до локальных возмущений, содержащихся в малых окрестностях точек х = О, х = it, определяется асимптотикой подынтегрального выражения при р, q0. После разложения гиперболических функций в степенной ряд (с сохранением первых двух членов), получим тот же результат, что и по уравнению (38.2), но с несколько другими значениями числовых параметров, а именно оператор левой части уравнения (37.10) оказывается измененным так, что вместо (38.11) получается [c.237]

Определение. Линейное векторное поле в комплексном фазовом пространстве называется гиперболическим слабо гиперболическим) если никакие два собственные значения соответствующего оператора не имеют вещественного (соответственно, вещественного неположительного) отношения. [c.84]

Гиперболические операторы образуют важный класс дифференциальных операторов в частных производных простейший его представитель — волновой оператор второго порядка. Фундаментальное решение любого гиперболического оператора в неособой точке задается интегральной формулой, контур интегрирования которой — компактный (вообще говоря, относительный) цикл в СР зависящий от этой точки. Это позволяет исследовать качественное поведение фундаментального решения методами теории монодромии и определяет сходство такого исследования с материалом предыдущего параграфа. Вот краткий словарь параллельных понятий в этих двух теориях. [c.189]

Гиперболические операторы и гиперболические полиномы. Пусть Р — линейный дифференциальный оператор в частных производных с постоянными коэффициентами в то> есть полином от символов д/1дх,, [=1,..., Оператор Р называется гиперболическим в полупространстве = 1 1 0 , если выполнено любое из следующих эквивалентных условий [c.190]

Для произвольных гиперболических операторов волновой, фронт определяется несколько сложнее (см. [109]), в любом случае он принадлежит множеству таких х, что плоскость Х х) находится в необщем положении с конусом КеЛ(Р). [c.191]

Лакуны, резкость, диффузия. Пусть Р — гиперболический оператор, и Ер — его волновой фронт и фундаментальное решение. [c.193]

X (j )) определен некоторый элемент—относительный класс Лере а (х) (см. [109]). Реализующий его относительный цикл лежит вблизи множества RP точная конструкция этого цикла в случае строго гиперболических операторов приведена в п. 2.12 ниже и пока нам не понадобится. Относительный цикл а(ху определяет еще абсолютный цикл P(x) = da(x)GHj 2(X — А У и абсолютный цикл f (л )бЯ у , (СР - —А —X ), который получается из (j ) применением трубочного оператора Лере (см. п. 1.13). [c.195]

Для почти всех гиперболических операторов эта теорем обратима. [c.198]

Предложение. 1 (см. [35]). Пусть d и N — произвольные натуральные числа. Тогда для почти любого гиперболического оператора Р степени d от N переменных множество точек дивизора А (Р), соответствующих непростым или версально вырожденным особенностям производящих функций, имеет в А (Р) коразмерность 6 или больше в частности, при N 7 оно пусто. [c.201]

С точки зрения исследования распространения волновых процессов одним из существенных качеств применяемой модели динамики сплошной среды является ее гиперболичность, т. е. соответствующие дифференциальные уравнения должны принадлежать к уравнениям так называемого гиперболического типа. Физически это выражает конечность скорости распространения любого возмущения в рассматриваемой среде, что, однако, не всегда принимается во внимание при построении математических аппроксимаций. Это обстоятельство особенно важно для построения упрощенных теорий. Такие приближенные теории строятся обычно как асимптотически вырожденные по параметру (параметрам) или как некоторые аппроксимации точно поставленных задач математической теории упругости. Гиперболические аппроксимации являются, по-видимому, наиболее подходящими. Они, в отличие от параболических аппроксимаций, характеризуют процессы распространения волн с разрывами и поэтому способны описать динамические явления в областях, расположенных ближе к реальным волновым фронтам, предсказываемым трехмерной теорией. Иначе говоря, если рассматривать гиперболические и параболические аппроксимации одного порядка (имеется в виду порядок пространственно-временного дифференциального оператора), то с помощью первых можно построить теории, применимые при более высоких частотах гармонических составляющих [2.54]. Все сказанное относится к модели динамической теории упругости, которая, как известно, является гиперболической, и ее аппроксимациям— теориям стержней, пластин и оболочек. Условию гиперболичности не удовлетворяют классические тео- [c.6]

Здесь — поперечная нагрузка (касательные напряжения на боковых поверхностях отсутствуют) Л и —дифференциальные гиперболические операторы, содержащие производные по осевой координате — < 1 и производные по времени [c.41]

Уравнения (20.44) и (20.45) эквивалентны исходной краевой задаче, математически эквивалентной уравнениям (20.38) — (20.40), если выполняются указанные выше условия. Но теперь для решения задач (20.44) и (20.45) требуется определить лишь функции е Х, Х2,1) и хту,[хи Х2,1), т. е. размерность задачи уменьшена на единицу. Сохраняя в бесконечных системах уравнений (20.44) или (20.45) операторы только до определенного порядка, будем получать усеченные системы— гиперболические аппроксимации. Это эквивалентно сохранению всех членов до определенной степени [2.521 (1961). Например, из уравнений (20.44) в первом приближении следует одномодовая гиперболическая аппроксимация — обобщенное плоское напряженное состояние [c.140]

В этом случае главным в операторе типа (20.50) является член, обусловленный инерцией, что соответствует быстро-протекающим динамическим процессам. Тогда первое приближение определяется гиперболическим оператором, т. е. получаем уравнение типа Тимошенко (20.47). [c.146]

Как всегда для (гиперболических) биллиардных систем первый этап изучения их эргодических свойств связан с исследованием соответствующего оператора В х) (см. (8.2)). В работе [97] доказано, что цепная дробь В х) сходится почти всюду в фазовом пространстве М и определяет симметричный неотрицательно определенный оператор, действующий в гиперплоскости J x), x= q,v), ортогональной вектору v. Поэтому J(х) можно разложить в прямую сумму двух (нулевого Jo(x) и положительного /+(л )) jS(x)-инвариантных подпространств. [c.188]

Теорема 3.2. Существует окрестность [/ф точки Ф в такая, что оператор / отображает У в и является в Оф бесконечно дифференцируемым. Оператор Л/ф гиперболический, он имеет растягивающееся одномерное подпространство и сжимающееся подпространство коразмерности 1. Собственное значение в растягивающемся подпространстве совпадает с б = = 4.6692.... [c.218]

Зафиксируем сигнатуру (тп, й, п) т — число неизвестных, й — порядок дифференциального оператора, п — число независимых переменных (если рассмотрения глобальны, то вдобавок фиксируем векторное расслоение). Квадратичные вариационные принципы с фиксированной сигнатурой образуют линейное функциональное пространство. Гиперболические вариационные принципы образуют замкнутое множа- [c.282]

Пусть имеется двумерное плоское движение жидкостей Максвелла (У2 = 0) и Олдройда (7,)<2 0) с реологическим уравнением состояния (1.6), в котором применяется оператор субстанциональной производной по времени (1.7), /и = О, / = О. Несовершенство этой модели в том, что для нее не выпо н1яется принцип материальной объективности (подробное обсуждение этого вопроса имеется в обзоре [88]). Вместе с тем вариант т О является предельным для моделей Максвелла и Олдройда и содержит все основные гиперболические черты общей модели, когда т О. Подробный сравнительный анализ этих операторов дифференцирования показал [89]. что существует диапазон гидродинамических параметров, где простая конвективная производная дает результаты, которые качественно и количественно близки к производной Олдройда. Этот вывод подтверждается и нашими расчетами, см. п. 1.5.2, рис. 1.21. Отметим также, что оператор конвективной производной успешно применяется при описании релаксационных свойств ту рбулентных сдвиговых течений в пограничном слое [15], [c.40]

L — оператор, характеристики которого совпадают с асимптотическими линиями срединной поверхности, а тип определяется знаком гауссовой кривизны К если /С > 0. то L — эллиптический оператор с двумя двухкратными комплексно-сопряженными семействами мнимых характеристик, если К< 0,то L — гиперболический оператор с двумя двухкратными семействами действительных характеристик, если К — О, то L — параболический оператор с одним четырехкратным семейством действительных характеристик (в рассуждениях, етно-сящихся к L, надо полагать г = 2 при ф О и г — 4 при К = 0). [c.498]

На примере уравнений одномерной нестационарной газовой динамики для гиперболических систем с двумя независимыми переменными предложена модификация схемы Г одунова, повышающая при сохранении монотонности порядок аппроксимации дифференциального оператора до второго и уменьшающая размазывание контактных разрывов и скачков малой интенсивности. [c.186]

При (р)фО точка р называется гиперболической периодической тс кой периода t для потока (p , если линейный оператор (D p Т М Tj M имеет единицу в качестве простого собственного значеи и при этом не имеет никаких других собственных значений, по моду, равных единице. [c.246]

Теорема. Пусть о—С -гладкое векторное поле с гиперболической особой точкой О и линейной частью Ах в нуле,. Г и Г — плоскости, соответствующие оператор А. Тогда дйф-ференщ1альное уравнение х = у(х) имеет два С -гладких инвариантных многообразия W и проходящих через О и касающихся в нуле плоскостей Г и Г соответственно. Решения с начальными условиями на экспоненциально стремятсл [c.62]

Замечание. Вещественно линейный невырожденный оператор, спектр которого мультипликативно нерезонансен, не имеет собственных значений, по модулю равных 1. Тем самым, неподвижная точка в теореме Стернберга гиперболическая в смысле следующего определения.. [c.105]

Исторически первым результатом, основанным на теории монодромии, является теорема Ньютона о неинтегрируемости плоских овалов в 4.1 мы доказываем многомерные обобщения этой теоремы и приводим несколько новых формул Пикара—Лефшеца, естественно возникающих в этой задаче. 4.2 посвящен теории лакун Петровского, изучающей регулярнбсть фундаментальных решений гиперболических уравнений в частных производных вблизи волновых фронтов. Помимо прочего, здесь мы доказываем обращение локального критерия Петровского для гиперболических операторов общего положения. [c.9]

Одно из основных таких приложений — теория осциллирующих интегралов, рассмотренная в [22, 2.3] она связана с сходным вариантом теории монодромии, развитым собствен-[о Пикаром и Лефшецем. В 1,2 настоящей главы мы рас- мотрнм еще два приложения задачу Ньютона о неинтегрируе-юсти областей и теорию гиперболических операторов. [c.163]

Теорема (см. [109], [110]). Если оператор Р гиперболичен в полупространстве то главная (старшей степени) однородная составляющая полинома Р является гиперболическим полиномом относительно вектора д1д%х, в частности пропорщюнальна полиному с вещественными коэффщиентами. Обратно, если эта главная часть строго гиперболична, то оператор Р —гиперболический если же гиперболический полином Р имеет особенности в —О, то для гиперболичности оператора Р необходимо выполнение некоторых дополнительных условий на младшие члены Рг (и достаточно отсутствия этих младших членов). [c.191]

Волновой фронт гиперболического оператора. Особенности фзшдаментального решения гиперболического оператора Р сосредоточены на некоторой конической поверхности в К+ — его волновом фронте W (Р). Опишем эту поверхность в случае строго гиперболических операторов. [c.191]

Теорема (см. [201], [109]). Для любого гиперболического, оператора Р существует только одно фундаментальное решение, удовлетворяющее условию п. 2.1.а), это решение Ер ана-литично в дополнении к поверхности VI 1Р), является там однородной функцией степени deg Р—N и равно О вне выпуклой оболочки (Р). [c.191]

Аналогичные результаты для всех простых (и многих других) особенностей производящих функций см. в 5.2 ниже. Все эти результаты основаны на том, что фундаментальное решение Ер гиперболического оператора (и все его частные производные) в точках дополнения к волновому фронту задаются явной интегральной формулой в частности диффузия определяется монодромией контеров интегрирования. [c.195]

Однако для отдельных гиперболических (и даже строго гипер болических) операторов локальное условие Петровского сильна рюкости. Пусть, например, N = 3, Р5= , ( 2 ——1 ). Фрон [c.198]

Пусть а — класс особенностей с числом Милнора ц (S) = = i N—1. Тогда при достаточно больших d (например, при d i- -l) для почти всех гиперболических операторов степени d от N переменных соответствующая поверхность А Р) версально невырождена вблизи любой особенности класса S. [c.201]

Задачи. А. Обращение гл обального критерия Петровского (см. п. 2.7). Существуют ли -гиперболические полные операторы, имеющие голоморфные лакуны, для которых не равен нулю класс Петровского Согласно п. 2.7, такой оператор должен иметь достаточно сложные особенности. Возможно, здесь полезно воспользоваться соображениями глобальной монодромии. [c.204]

Б. (см. [МО]). Для каких однородных гиперболических операторов носитель фундаментального решения Ер может не совпадать с выпуклой белочкой- волнового фронта Н апри- -мер, таков волновой оператор в Я-мбрном пространстве при четных Л 4. Насколько этот Пример исключителен [c.204]

В динамике пластин метод степенных рядов применял И. Т. Селезов [2.50] (1960). Он исходил из краевой задачи динамической теории упругости в перемешениях и рассматривал систему рекуррентных соотношений типа (20.9) и (20.10) и уравнения типа (20.11), вытекающие из граничных условий, как общую бесконечную систему дифференциальных уравнений, эквивалентную исходной краевой задаче (это справедливо при условии равномерной сходимости рядов). В дальнейшем требуется введение каких-либо ограничений, что можно сделать различным путем. Поэтому методом степенных рядов можно получить бесконечное множество аппроксимаций. Цель состояла в построении гиперболических аппроксимаций. Было показано, что при усечении системы до какого-либо порядка получается замкнутая система уравнений, которая может быть приведена к нескольким или одному дифференциальным уравнениям более высокого порядка. Если при этом сохранить все пространственно-временные дифференциальные операторы до определенного порядка включительно [2.52] (1961), то полученная система уравнений будет гиперболической. Это условие является достаточным для построения гиперболических аппроксимаций. Приведем краткое изложение этих результатов. Рассмотрим упругое поле, характеризуемое пространственными ортогональными координатами Хи Х2, Хз и временной координатой t. Причем ось Охз является прямой, а криволинейные ортогональные координаты Х и Х2 отсчитываются в плоскости Хз = 0. Выделим слой —оо<х1<°о, —оэ<х2<оэ, —к<Хз<к и положим, что изменение поля в зависимости от координат и Х2 характеризуется некоторым параметром I, который значительно больше толщины слоя 2к [c.137]

Так как Lq — положительно определенный оператор и операторы Lo, Lu. .., 3 симметричны относительно введенного таким образом скалярного произведения, а — линейный симметричный положительно определенный оператор из пространства симметричных тензоров второго порядка, то с учетом (5.8.11) заключаем, что рассматриваемая система является симметрично гиперболической по Куранту и Гильберту [ outant, Hilbert, 1962]. Это свойство системы уравнений (5.8.2) — (5.8.4) или [c.288]

Пусть p — периодическая гиперболическая точка диффеоморфизма 5 класса гладкой поверхности М., х — трансверсальная гомоклиническая точка (см. 2). Фиксируем малое е>0 й рассмотрим ЛМГМ Л, лежащее в е-окрестности траектории S (x) (см. теорему 2.4). Обозначим X, у — собственные значения оператора DS(p), O Xd y. [c.173]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...