Стержни Уравнения дифференциальные основные

Кручение. Задача о чисто пластическом кручении призматического стержня, изученная в основном А. Надаи (1923), отличается относительной простотой. Функция напряжений Р (ж, у) удовлетворяет дифференциальному уравнению [c.107]

Основная сложность при решении уравнений заключается в том, что задачи статики стержней относятся к двухточечным краевым задачам, когда решение должно удовлетворять определенным условиям в начале и в конце интервала интегрирования, в отличие от одноточечных краевых задач — задач Коши, когда все условия, которым должно удовлетворять решение, известны в начале интервала интегрирования. Поэтому хорошо разработанные методы решения систем дифференциальных линейных (и нелинейных) уравнений для одноточечных задач использовать для решения двухточечных задач в общем случае нельзя. В настоящее время имеется ряд методов численного решения линейных двухточечных задач (имея в виду стержни), которые получили распространение в расчетной практике метод начальных параметров, метод прогонки [2], метод конечных элементов [15]. Точное аналитическое решение линейных уравнений равновесия стержня, например (1.112) — (1.115), возможно только для случая, когда элементы матрицы Ах— постоянные числа [этот случай будет рассмотрен в 5.2, где изложены теория и методы расчета винтовых стержней (цилиндрических пружин)]. Для уравнений с переменными коэффициентами возможны только численные или приближенные методы решения. [c.61]

Основное дифференциальное уравнение в частных производных, к которому сводится задача кручения призматических стержней, может быть записано в форме [c.37]

Вариационное исчисление и граничные условия. Задача об упругом стержне Во всех наших предыдущих рассуждениях мы интересовались в основном дифференциальными уравнениями, которые получались как решение задачи о стационарном значении заданного определенного интеграла. Вывод этих уравнений при помощи интегрирования по частям показывает, что вариация определенного интеграла состоит из двух частей из интеграла,распространенного на данный интервал, и граничного члена. Мы не рассматривали до сих пор этот член, так как задача решалась при граничных условиях, обращавших его в нуль. Однако имеются случаи, когда граничный член играет более активную роль. Ниже, при изучении работ Гамильтона по решению дифференциальных уравнений динамики при помощи уравнения в частных производных, мы увидим, что в математически более сложных вопросах механики этот ранее отброшенный член окажется существенным. Здесь, однако, мы хотим обсудить другой аспект вопроса о граничном члене, имеющий более непосредственный физический смысл. [c.92]

Такое дифференциальное уравнение мы рассматривали неоднократно, последний раз — при исследовании продольных и крутильных колебании упругого стержня. Среди рассмотренных там случаев находится также случай, в котором должны быть выполнены такие же граничные условия, как и здесь определенное уже частное решение, а также все, что было сказано о возможных простых тонах и соответственных узлах, годится и здесь. Из указанных там частных решений мы составим теперь более общее для поперечных колебаний струны. Чтобы несколько сократить формулы, введем такие единицы длины и времени, чтобы / = л и продолжительность простого колебания при основном тоне была равна я. Тогда одним частным решением будет [c.368]

Если бы стержень имел ось не прямолинейную и (или) имел бы переменное по форме и размерам вдоль оси поперечное сечение, то и в этом случае можно было бы составить дифференциальные уравнения, наподобие приведенных выше для стержня призматического. Основной же вывод о возможности по известным усилиям и моментам в концевых сечениях стержня либо по перемещениям и поворотам тех же сечений найти (точно или приближенно) все функции, описывающие напряженно-деформированное состояние стержня, остается в силе. [c.554]

В заключение заметим, что решение задач устойчивости осесимметричной ортотропной пластины переменной толщины при осесимметричном начальном напряженном состоянии тоже можно искать в виде (4.49). В этом случае интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений, к которым сводится решение основного линеаризованного уравнения, может быть выполнено методом начальных параметров [12, 181. Схема интегрирования аналогична схеме интегрирования основного линеаризованного уравнения для прямого стержня, описанной в 13. [c.168]

Исключив из обоих уравнений угол ф, получим основные дифференциальные уравнения поперечных колебаний прямого стержня, в которых учитывается как поворот сечения, так и влияние сдвига. Для упрощения вывода рассмотрим стержень, когда F и / не зависят от л , т. е. сечение стержня по длине постоянно. В этом случае получаем [c.79]

Все приближенные методы решения, основанные на вычислении кинетической и потенциальной энергии колеблющегося стержня, имеют один общий недостаток. Он заключается в том, что при вычислении потенциальной энергии оперируют со второй производной предполагаемой кривой прогибов. Последнее часто приводит к грубым отклонениям от точных значений собственной частоты. Это неудобство можно устранить тем, что, кроме граничных условий, используют также и основные дифференциальные уравнения задачи. [c.85]

При анализе процесса демпфирования колебаний конструкций авторы в основном основываются на стержневой модели Бернулли — Эйлера, в дифференциальное уравнение которой вводят приведенную изгибную жесткость. Для слоистых конструкций, составленных из металлов, это приемлемо в тех же случаях, когда сопротивление материалов слоев различается очень существенно, когда используется комбинация мягкого и жесткого материалов, гипотезы Бернулли и Тимошенко для всего поперечного сечения могут оказаться неприемлемыми и здесь неизбежно построение более сложных механических моделей стержней, учитывающих поперечный сдвиг и поперечное обжатие каждого слоя. Авторы исследуют процессы колебаний весьма сложных конструкций и, естественно, пытаются использовать простейшую модель для ее анализа. Однако прежде чем использовать простейшую модель, соответствующую линейному дифференциальному уравнению четвертого порядка, уместно было бы сопоставить эту модель с модифицированной, отвечающей существу проблемы, для оценки сделанных допущений. [c.7]

Из уравнения движения элемента стержня выше было получено соотношение (11.179). Подставляя в него выражение (11.237), приходим к основному дифференциальному уравнению [c.131]

Основным численным методом решения дифференциальных уравнений теплопроводности является метод конечных разностей [23]. Формально он базируется на приближенной замене в дифференциальном уравнении и граничных условиях производных разностными соотношениями между значениями температур в узлах конечно-разностной сетки. В итоге для каждого узла с неизвестным значением температуры получается алгебраическое уравнение, которое для задачи стационарной теплопроводности может быть также получено из условия баланса тепловых потоков в дискретной модели тела, состоящей из теплопроводящих стержней [12, 18]. Методы решения таких уравнений хорошо разработаны [24], а для реализации этих методов в математическом обеспечении современных ЭВМ предусмотрены стандартные программы. Алгебраическому уравнению для каждой узловой точки можно дать вероятностную интерпретацию и использовать для решения задач метод статистического моделирования (метод Монте-Карло) [12]. [c.44]

Формула Эйлера была получена путем интегрирования приближенного дифференциального уравнения изогнутой оси стержня при определенном закреплении его концов (шарнирно-опертых). Значит, найденное выражение критической силы справедливо лишь для стержня с шарнирно-опертыми концами и изменится при изменении условий закрепления концов стержня. Закрепление сжатого стержня с шарнирно-опертыми концами мы будем называть основным случаем закрепления. Другие виды закрепления будем приводить к основному случаю. [c.454]

Функция напряжений (77), взятая нами для сплошного стержня эллиптического сечения, будет годиться также для трубки, поперечное сечение которой образовано двумя подобными эллипсами (рис. 63). В самом деле, наше решение удовлетворяет основному дифференциальному уравнению (76) и условию на наружном контуре. [c.125]

Рассмотрение задачи начнем с простейшего случая, представленного на рис. И. Исходя из основного дифференциального уравнения (2) для изогнутой оси стержня, напишем уравнения для левой и правой частей балки в таком виде [c.207]

Рассмотренный пример шарнирного закрепления обоих концов стержня, когда его изогнутая ось при потере устойчивости представляет собой одну полуволну синусоиды, принято называть основным случаем продольного изгиба. При других способах закрепления концов стержня формулу для определения критической силы можно так же, как и для основного случая, получить путем составления и решения соответствующего дифференциального уравнения. Для некоторых простейших случаев можно прийти к формуле для критической силы путем сопоставления формы изогнутой оси с той, которая получается у стержня с шарнирно закрепленными концами. Например, стержень с жестко защемленным нижним и свободным верхним концом при потере устойчивости изогнется, как показано на рис. 12.7. Он будет находиться в таких же условиях, как половина стержня по рис. [c.452]

ВИЯМИ. К двухпролетным балкам при расчете обычно сводятся и симметричные трехпролетные балки. Но применение этого метода для расчета частот собственных колебаний балок с числом пролетов более двух практически сложно, так как трансцендентное уравнение частоты получается из определителя высокого порядка. В этом случае можно пользоваться методом деформаций, аналогичным широко используемому методу деформаций в статике сооружений. Метод деформаций впервые был применен к исследованию динамики рамных конструкций А. А. Белоусом Основные положения этого метода заключаются в следующем. Из балки или рамы вырезают стержень -к, соединяющий узлы / и й (фиг. 2. 20 слева). К концам этого стержня (фиг. 2. 20 справа) прикладывают внутренние усилия — изгибающие моменты перерезывающие силы Q и осевые силы Р. Затем составляют дифференциальное уравнение [c.50]

Важно отметить следующее. Имея приведенные выше универсальные уравнения, которые полностью и точно решают в конечной форме любую задачу основного класса, можно во всех конкретных случаях определять большие упругие перемещения при изгибе тонких стержней (полосок) по готовым формулам без составления и интегрирования дифференциальных уравнений. [c.41]

Основное дифференциальное уравнение упругой линии стержня. Рассмотрим плоский изгиб равномерно нагретого стержня (изгиб в главной плоскости уог, рис. 21). [c.212]

Подставив соотношения (45) в уравнения равновесия (12), получим основную систему дифференциальных уравнений закрученного стержня [c.456]

В случаях непрерывного изменения жесткости поперечных сечений стержня основное дифференциальное уравнение (1) становится уравнением с переменными коэффициен-та п1. Прн этом интегрируемые в замкнутой форме случаи составляют редкое исключение (см. ниже табл. 12 и далее) как правило, для определения критических нагрузок приходится пользоваться приближенными способами. Из таких способов особенно часто применяют энергетический метод. [c.23]

Рассмотренный пример шарнирного закрепления обоих концов стержня, когда его изогнутая ось при потере устойчивости представляет собой одну полуволну синусоиды, принято называть основным случаем продольного изгиба. При других способах закрепления концов стержня формулы для определения критической силы можно получить составлением- и решением соответствующего дифференциального уравнения так же, как и для основного случая. [c.276]

Обратимся к применению основных дифференциальных уравнений упругой линии для рассматриваемого прямолинейного естественно закрученного стержня. Первые два из уравнений (40) принимают следующий вид [c.857]

В работе Н. Л. Воробьева [1.8] (1968) излагается метод определения собственных частот стержней. Метод прилагается к исследованию колебаний балки Тимошенко, но в дифференциальном уравнении отброшена четвертая производная по времени. Идея метода основана на том, что одному и тому же дифференциальному уравнению можно поставить в соответствие различные функционалы вариационной задачи. Поэтому можно ввести вспомогательную систему, которая отличается от основной каким-либо параметром, например, изгибной жесткостью, и затем рассмотреть изопараметрическую [c.90]

Стержень, как основной элемент стержневой системы, является одномерным континуумом. В этой связи процессы воздействия на него (механические, тепловые, электрические) в большинстве случаев описываются сравнительно простыми дифференциальными уравнениями, для которых можно получить аналитическое решение. Теория решений дифференциальных уравнений позволяет учесть особенности геометрии и нагрузки стержня. Особенности в виде сосредоточенных сил, разрывов нагрузки и геометрии 1-го рода можно описать с помощью обобщенных функций. Представим основные свойства обобщенных функций. [c.5]

Для демонстрации достижимой на практике точности приводятся два более сложных примера. Первый из них — это задача о чистом кручении неоднородного стержня (фиг. 15.5). Основное дифференциальное уравнение имеет вид [c.326]

В технике часто возникает необходимость исследования теплообмена и распределения температур в телах цилиндрической формы, плоских дисках, цилиндрических оболочках, круглых стержнях и др. В этих случаях удобнее записать основное дифференциальное уравнение теплопроводности не в декартовой, а в цилиндрической системе координат. [c.24]

Здесь представим только общие соображения по расчету нелинейных систем, поскольку эта тема выходит за рамки данной работы. Нелинейные задачи деформирования стержней, пластин и оболочек весьма разнообразны и каждая задача требует индивидуального подхода. Однако, если нелинейные модули образуют целостную систему, то для узловых точек (линий) всегда будут справедливы уравнения равновесия между статическими параметрами и уравнения совместности перемещений между кинематическими параметрами. Это значит, что топологическая матрица С в алгоритме МГЭ для нелинейных систем будет формироваться из анализа матриц X ж Y точно так же, как для упругих систем. Основные же трудности решения нелинейных задач заключаются в определении внутреннего содержания матриц А В, т.к. построить фундаментальные функции нелинейных дифференциальных уравнений за небольшим исключением не удается. В этой связи получили развитие различные подходы к решению нелинейных краевых задач [83]. К первому направлению относятся проекционные и вариационные методы типа методов Бубнова и Ритца, методы конечных разностей и конечных элементов. Этими методами нелинейные краевые задачи сводятся к системам нелинейных [c.512]

Дифференциальные уравнения и краевые условия. Исходными служат уравнения технической теории стержней (см. гл. VIII) при g s 0. На каждом краю должно быть поставлено по два условия. Основные виды краевых условий представлены в табл. 6 гл. VIИ. Решение может быть получено методом разделения переменных. Выделение временного множителя путем подстановки [c.193]

Таким образом, для расчета составного стержня из трех брусьев с помощью линейных преобразований (4) и (5) вводятся такие обобщашые неизвестные силы и нагрузки, при которых основная система дифференциальных уравнений распадается на два независимых уравнения, и задача (в случае однотипных граничных условий) сводится к расчету двух составных стержней, каждый с одним обобщенным швом , по которому действуют усилия или Tz в частном случае симметрично составленного стержня эти два расчета соответствуют случаям симметришюй и антисимметричной работы стержня. [c.54]

Точное решение задачи о колебаниях балки в том случае, когда массой передвигающегося груза можно пренебречь, дал А. Н. Крылов Решение его, основанное на интегрировании дифференциального уравнения для поперечных колебаний призматического стержня, совпадает с приведенным выше решением (см. (15) 12), построенным на пользовании нормальными координатами. Дополнительный прогиб, обусловленный колебаниями балки, определеляется, как мы видели, величиной a=al/bn. Значения а и соответствующие им периоды Т основных колебаний для мостов различных пролетов приведены в следующей таблице [c.174]

Вопрос о распределении касательных напряжений при кручении может быть представлен особенно наглядно, если воспользоваться полной аналогией между основным уравнением (76) для кручения и дифференциальным уравнением для поверхности провисания нерастяжимой мембраны, равномерно натянутой на контур, соответствуюпщй контуру поперечного сечения стержня, и нагруженной равномерно распределенной нагрузкой Обозначим через р растягивающее усилие, приходящееся на единицу длины контура мембраны, и через q — нагрузку на единицу поверхности. Пусть А (рис. 67) представляет элемент мембраны, вырезанный плоскостями, параллельными плоскостям zx и zy. [c.128]

Изменению подвергся в основном первый раздел— Статика . Значительно расширены 2 Аксиомы статики и 3 Связи и реакции связей , заново написан 4 Определение равнодействующей двух сил, приложенных к точке . Переработаны 22 Приведение плоской системы сил к данному центру , а также глава VIII Центр тяжести . Глава Графостатика и параграф Определение усилий в стержнях ферм методом моментных точек из учебника исключены. Из раздела Динамика исключены два параграфа Дифференциальные уравнения точки и Движение материальной точки, брошенной под углом к горизонту , а также доказательство теоремы о движении центра инерции. [c.3]

В 1.2 было получено общее точное дифференциальное уравнение упругой, линии в виде (1.15) для любой задачи, не сводящейся к основному классу (рис. 1.13), при больших обусловленных изгибом перемещениях с единственным ограничением — жесткость при изгибе Я (а значит, и поперечное сечение стержня) полага- [c.185]

Одни подпрограммы выполняют основные вычисления и реализуют посг-роенные в 9.1 численные прикладные алгоритмы или их отдельные этапы.. Эти подпрограммы осуществляют численное решение нелинейных систем уравнений, к которым в результате дискретизации сводится дифференциальное уравнение упругой линии стержня. Процедура дискретизации дифференциальной за-дачи, которая соответствует разностной задаче, автоматизирована. Это позволяет задачи расчета изгиба стержней формулировать в терминах дифференциальной задачи, имеющей понятный физический смысл. [c.215]

Первоначально система основных уравнений задачи решалась приближенно, методами осреднения, применяемыми в теории пограничного слоя. В дальнейшем та же задача была решена с использованием приема дискретизации (А. Ю. Ишлинский и Г. П. Слепцова, 1969) стержень заменялся системой сосредоточенных масс, соединенных вязко-пластическими стержнями. При этом решение уравнения теплопроводности с подвижной границей сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.313]

Композитные балки, стержни и кольца — элементы, имеющие одну общую особенность размеры их поперечного сечения, как правило, значительно меньше длины осевой линии. Эта особенность позволяет ввести при расчете этих элементов некоторые дополнительные (см, гипотезы в гл. 1) предположения, позволяющие свести задачу к одномерной, т. е. описать напряженно-деформированное состояние рассматриваемых элементов системой обыкновенных дифференциальных уравнений, включающих только одну независимую переменную — осевую координату. В результате решения при этом часто удается получить аналитические выражения для напряжений и деформаций. Расчету металлических балок, стержней и колец посвящена обширвая справочная литература 2], поэтому в настоящей главе в основном обсуждаются особенности расчета соответствующих композитных элементов. Вывод приведенных ниже результатов представлен в работе [1]. [c.330]

Французский инженер и ученый Луи Мари Анри Навье (1785—1836) привел в систему все разрозненные сведения, многое исправил и дополнил своими исследованиями. В то время как исследователи XVIII века ставили своей целью составить формулы для вычисления разрушающих нагрузок, Навье признал наиболее правильным находить то значение нагрузки, до которого сооружения ведут себя упруго — не получают остаточных деформаций. Он установил, что нейтральный слой изгибаемой балки проходит через ее ось, и дал правильное толкование постоянной С, входящей в формулу Бернулли =EJ применил дифференциальное уравнение изогнутой оси к различным случаям загружения балок и разработал метод решения статически неопределимых задач при растяжении, сжатии и изгибе исследовал продольный изгиб при эксцентричном приложении сжимающей нагрузки, а также сложные случаи совместного действия изгиба с растяжением или сжатием, изучил изгиб кривых стержней (арок), пластинок и др. В 1826 году Навье издал курс сопротивления материалов. Эта книга нашла широкое признание, ею пользовались как основным руководством инженеры во многих странах в течение нескольких десятков лет. [c.560]

Данное трансцендентное уравнение является уравнением устойчивости упругой системы по МГЭ. Корни уравнения устойчивости определяют спектр критических сил, число которых (теоретически) бесконечно. Чтобы не пропустить первой критической силы, нужно начинать анализ поведения определителя (4.6) с достаточно малых значений сжимающих сил Г. Рекомендуется начальное значение Г выбирать из интервала (1/100 - 1/1000)Гть, где Гщь - минимальная критическая сила стержней основной системы метода перемещений. Шаг изменения сжимающей силы рекомендуется выбирать равным (1/100 - 1/1000) интервала, на котором выполняется поиск критических сил. Изменение знака определителя (4.6) или равенство его нулю свидетельствует о прохождении критической силы. Таким образом, методика определения критических сил не отличается от методики определения частот собственных колебаний упругих систем. Здесь можно использовать программы на языках ГоЛгап и Разса1 примеров №13, №14 с соответствующим изменением обозначений переменных. В рамках принятых допущений МГЭ позволяет определять точный спектр собственных значений (частот или критических сил). Однако, линеаризация дифференциальных уравнений и краевых условий, неучет деформаций [c.122]

Пользуясь в основном предпосылками Вагнера и Блейхов, полную теорию потери устойчивости тонкостенного профиля при центральном сжатии в пределах пропорциональности дал в 1937 г. Каппус. Он рассматривает напряженное и деформированное со- стояние тонкостенного стержня при чистом и стесненном кручении. Между прочим, законом сеиториальиых площадей он пользуется еще в теории чистого кручения при определении искажений закручиваемого открытого профиля. Дифференциальные уравнения дет формаций он выводит, пользуясь энергетическим методом. [c.7]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...