33 — Уравнения основные стержней

Если основной стержень и накладка изготовлены из одного и того же слоистого композита, так что Е = Е( > = Е , то уравнения (122) и (123) преобразуются к виду [c.270]

Основные уравнения. Рассмотрим стержень, лежащий на упругом основании, которое представим в виде среды, препятствующей прогибам и углам поворота стержня (рис. 37). В общем случае (сложное упругое основание) распределенные реактивные усилия и моменты [c.223]

Заслуживает обсуждения сравнение относительных преимуществ двух методов определения т], основанных на использовании уравнений (5-4.9) и (5-4.41). В обоих случаях измеряется кинематика движущейся пластины, но в то время как при использовании уравнения (5-4.9) предполагается, что измерение напряжения производится на неподвижной пластине, использование уравнения (5-4.41) включает измерение движения заторможенной пластины. Поскольку на практике измерение напряжения всегда связано с измерением изгиба некоторого упругого ограничивающего элемента, два метода различаются в основном в следующем уравнение (5-4.9) требует использования весьма жестких ограничений, так что заторможенная пластина почти неподвижна, в то время как уравнение (5-4.41) позволяет использовать более свободный ограничивающий механизм (в установках с вращением это обычно работающий на скручивание стержень). При использовании уравнения (5-4.41) следует позаботиться о том, чтобы частота вибрации не совпадала с собственной частотой заторможенной пластины oq. Действительно, при оз = соц имеем 3=0, и уравнение (5-4.40) или (5-4.41) не позволяет определить т]. В дальнейшем будут приведены лишь основные результаты, относящиеся к течениям более сложной геометрии за всеми подробностями читатель отсылается к соответствующей технической литературе. [c.200]

Ферма два раза статически неопределима один раз внешним и один раз внутренним образом. Выбираем основную систему, заменяя правую шарнирную опору катком и разрезая стержень 5 (рис. 230, б). Канонические уравнения имеют вид [c.207]

Основная особенность данной системы уравнений заключается в том, что в уравнения (3.74) входят слагаемые, зависящие от неизвестных перемещений точки приложения реакции R. Аналогичные задачи статики при наличии упругих и жестких промежуточных связей, наложенных на стержень, были рассмотрены в 2.2, где были приведены уравнения равновесия с учетом реакции связей и методы их решения. [c.112]

Система один раз статически неопределима. Разрезая стержень АВ в верхней точке, получаем основную систему (рнс. 6.19, б). Строям, далее, эпюры моментов от заданной силы и от единичной силы (рнс. 6.19,в и г). Кроме того, на участке АВ, где необходимо учесть растяжение, строим эпюру нормальной силы N. Вычисляем коэффициенты канонического уравнения [c.277]

Если бы стержень имел ось не прямолинейную и (или) имел бы переменное по форме и размерам вдоль оси поперечное сечение, то и в этом случае можно было бы составить дифференциальные уравнения, наподобие приведенных выше для стержня призматического. Основной же вывод о возможности по известным усилиям и моментам в концевых сечениях стержня либо по перемещениям и поворотам тех же сечений найти (точно или приближенно) все функции, описывающие напряженно-деформированное состояние стержня, остается в силе. [c.554]

Исключив из обоих уравнений угол ф, получим основные дифференциальные уравнения поперечных колебаний прямого стержня, в которых учитывается как поворот сечения, так и влияние сдвига. Для упрощения вывода рассмотрим стержень, когда F и / не зависят от л , т. е. сечение стержня по длине постоянно. В этом случае получаем [c.79]

Вывод уравнения упругой линии гибкого стержня. Рассмотрим стержень, находящийся в условиях так называемого основного класса, к которому относят системы, имеющие следующие ограничения. [c.28]

Определение усилий. A. Ha два узла A w В наложено пять связей (стержней), т. е. имеется пять неизвестных нормальных сил. Следовательно, г = 5. Для вырезанных узлов Aw В можно составить четыре уравнения равновесия п = 4. Таким образом система один раз статически неопределима (5 — 4=1). Эквивалентную и основную системы получаем, разрезая стержень 3 (рис. 7.23 5, в). [c.267]

Б. Вырезая узлы А, В w составляя уравнения равновесия, находим усилия Nf г — номер стержня) в основной системе под действием внешней нагрузки (см. рис. 7.23 г). При этом учитываем, что = О, так как стержень разрезан. Для примера, рассмотрим узел А [c.267]

Уравнения малых колебаний струны, продольных колебаний стержня и крутильных колебаний вала относятся к одному классу уравнений в частных производных - к уравнениям гиперболического типа. В монографиях и учебниках, посвященных уравнениям математической физики, приводятся уравнения, не учитывающие сосредоточенные массы и сосредоточенные силы. В основном рассматриваются волновые уравнения или уравнения, когда действующие на струну, стержень или вал силы распределены по всей длине. В примерах на рис. 7.1—7.7 показано, что реальные задачи могут быть существенно сложнее не только классических задач, которые приводятся в математической литературе, но и тех, которые обычно рассматриваются в монографиях, посвященных теории колебаний. Эти уравнения, которые приводятся без вывода для наиболее общих случаев, имеют следующий вид (с учетом сил вязкого трения). [c.311]

К тому же результату можно прийти и элементарным путем, считая стержень невесомым. Чтобы оценить влияние массы стержня на период основного тона, найдем второе приближение для корня уравнения (16). Подставляя в правую часть уравнения [c.150]

Рассмотренный пример шарнирного закрепления обоих концов стержня, когда его изогнутая ось при потере устойчивости представляет собой одну полуволну синусоиды, принято называть основным случаем продольного изгиба. При других способах закрепления концов стержня формулу для определения критической силы можно так же, как и для основного случая, получить путем составления и решения соответствующего дифференциального уравнения. Для некоторых простейших случаев можно прийти к формуле для критической силы путем сопоставления формы изогнутой оси с той, которая получается у стержня с шарнирно закрепленными концами. Например, стержень с жестко защемленным нижним и свободным верхним концом при потере устойчивости изогнется, как показано на рис. 12.7. Он будет находиться в таких же условиях, как половина стержня по рис. [c.452]

ВИЯМИ. К двухпролетным балкам при расчете обычно сводятся и симметричные трехпролетные балки. Но применение этого метода для расчета частот собственных колебаний балок с числом пролетов более двух практически сложно, так как трансцендентное уравнение частоты получается из определителя высокого порядка. В этом случае можно пользоваться методом деформаций, аналогичным широко используемому методу деформаций в статике сооружений. Метод деформаций впервые был применен к исследованию динамики рамных конструкций А. А. Белоусом Основные положения этого метода заключаются в следующем. Из балки или рамы вырезают стержень -к, соединяющий узлы / и й (фиг. 2. 20 слева). К концам этого стержня (фиг. 2. 20 справа) прикладывают внутренние усилия — изгибающие моменты перерезывающие силы Q и осевые силы Р. Затем составляют дифференциальное уравнение [c.50]

Подстановка в уравнения равновесия (I) показывает, что они также тождественно удовлетворяются. (Такое напряженное состояние может существовать, если призму заменим блоком той же формы, составленным из отдельных стержней, параллельных оси Ог, в предположении, что между ними нет трения и взаимного нажатия тогда каждый стержень воспримет ту часть нагрузки, которая приходится на его концы, и напряжение Z в нем будет постоянным по длине и не будет зависеть от г при этом условия совместности деформаций конечно, не будут удовлетворены.) Остается построить общий тензор напряжений, как сумму основного (11.73) и корректирующего (11.76) от тензора (11.76) он отличается только тем, что в формуле компонента Zg добавится слагаемое F (х, у). [c.356]

Для того чтобы лучше разобраться в имеющих место деформациях, предположим, что нижний конец стержня свободен, опора отсутствует (фиг. 52, б). Это предположение не изменит работы конструкции при условии, что перемещение этого конца равно нулю и что действие опоры учтено наличием приложенной к нижнему концу реакции данной опоры — силы Р(,. Полученный путём отбрасывания <лишнего> (против количества уравнений равновесия) закрепления статически определимый стержень называется основной системой нашей статически неопределимой конструкции. Заметим попутно, что мы могли бы выбрать и другую основную систему, хотя бы путём отбрасывания верхней опоры (фиг. 52, в). Основную систему при этом пришлось бы загрузить, конечно, помимо силы Р ещё и реакцией этой верхней отброшенной опоры. [c.91]

Основную систему выбирают такую, в которой после введения дополнительных связей ликвидируется подвижность узлов рамы. Дополнительные связи вводят с таким расчетом, чтобы в основной системе каждый стержень рамы являлся балкой, у которой оба конца заделаны или один конец заделан, а другой шарнирно оперт. Для этих случаев имеется набор формул и таблиц, которые устанавливают зависимость усилий на концах балки от перемещений и которые используют как рабочий аппарат при определении коэффициентов в уравнениях метода. Деформациями растяжения — сжатия и сдвига стержней рамы обычно пренебрегают. Наиболее эффективен метод расчета (применительно к раме с неподвижными узлами), когда нет линейных упругих перемещений и узлы могут только поворачиваться. [c.494]

Примем теперь за лишнюю неизвестную правую вертикальную опорную реакцию В. Чтобы образовать основную систему, необходимо выбросить из заданной балки правый опорный стержень, в котором возникает эта лишняя неизвестная. Основная система представляет собой консольную балку (рис. 11.12, в), заделанную на левом конце. В отличие от заданной эта балка разрешает точке В (конец консоли) перемещаться в вертикальном направлении. Чтобы поставить основную систему в соответствие с заданной, нужно чтобы прогиб точки В в основной системе от действия внешней нагрузки и лишней неизвестной был равен нулю Ув=0. Дальнейший расчет состоит в определении прогиба удр от внешней нагрузки и прогиба Удд от неизвестной опорной реакции, т. е. в решении двух вспомогательных задач. Величину неизвестной опорной реакции В найдем из дополнительного уравнения [c.340]

Первое, что обращает на себя внимание, — это несоответствие между скоростями распространения возмущений, определяемыми уравнениями теории упругости и уравнением (35.1). Как следует из теории упругости, продольные волны распространяются со скоростью + 2 1)/р > с о = К /р. Таким образом, максимальную скорость распространения возмущений уравнение (35.1) определяет неверно. С другой стороны, ясно, что если стержень находится в условиях одноосного напряженного состояния, то скорость распространения возмущений в нем должна быть равна Действительно, скорость плоской волны в упругой системе равна корню квадратному из отношения жесткости к плотности. Это следует из основного закона механики. Пусть, например, [c.216]

Стержень, как основной элемент стержневой системы, является одномерным континуумом. В этой связи процессы воздействия на него (механические, тепловые, электрические) в большинстве случаев описываются сравнительно простыми дифференциальными уравнениями, для которых можно получить аналитическое решение. Теория решений дифференциальных уравнений позволяет учесть особенности геометрии и нагрузки стержня. Особенности в виде сосредоточенных сил, разрывов нагрузки и геометрии 1-го рода можно описать с помощью обобщенных функций. Представим основные свойства обобщенных функций. [c.5]

Первое граничное условие для решения уравнения колебаний стержня определяется упругостью зоны контакта стержня с поверхностью объекта. Второе граничное условие обусловлено конструкцией измерительного устройства, а именно тем, насколько жестко стержень сочленен с другими элементами конструкции и каково соотношение масс этих элементов и массы стерж ня. Изменение резонансной частоты происходит из-за изменения характеристик упругого контакта, поэтому влияние второго граничного условия на характер основных закономерностей незначительно, хотя абсолютные значения частот зависят от него, во всяком случае для низших мод. Поэтому ограничимся анализом случая жесткого закрепления верхнего конца стержня в теле с большой массой. Применение подобной конструкции позволяет уменьшить влияние преобразователей на колебания стержня, так как они могут быть [c.208]

Стержень, непрерывно движущийся со скоростью w (точнее, отрезок бесконечного стержня постоянной длины), показан на рис. 5.8. В установившемся режиме движения пространственная форма стержня остается неизменной. Такой режим движения принято называть стационарным двиокением. Основная особенность стационарного режима движения заключается в том, что для внешнего наблюдателя стержень в целом (по отношению к покоящейся сийтеме координат) сохраняет свое положение в пространстве, несмотря на имеющуюся скорость продольного движения — движения, когда вектор абсолютной скорости всегда направлен по касательной к осевой линии стержня. Иногда такое состояние равновесия называют кажущимся покоем стержня. Понятие стационарного движения справедливо и в относительной системе координат, например во вращающейся (см. рис. 5.4). В дальнейшем будем представлять стержень, находящийся в абсолютно гибкой безынерционной трубке, имеющей ту же длину (рис. 5.9, а). Рассмотрим элемент стержня (рис. 5.9, б), совпадающий в данный момент с элементом трубки. В отличие от уравнения равновесия, полученного в гл. 3, в данном случае на стержень действует распределенная нагрузка [c.105]

В уравнениях (5.7) стержень участвует лишь жесткостями и действующими на него нагрузками. Поэтому (5.7) естественно называть граничными условиями подкрепленного края уточненной по Тимошенко нелинейной теории жесткогибких оболочек. Четьфе первых равенства (5.7) после линеаризации при = ujt =0 совпвг-дают с граничными условиями подкрепленного края линейной теории оболочек [50]. Уравнение (5.7)s, связываюш,ее перерезьтаюшую силу с деформацией поперечного сдвига, во внимание не принимается (в чем и заключается основное противоречие кирхгофовской теории стержней). [c.292]

Для сравнения результатов Р. А. Межлумяна с результатами настоящей работы рассмотрим следующий частный случай примем, что I) материал несжимаем, 2) боковые кромки стержня свободны, 3) стержень достаточно тонкий — пренебрежем всеми членами порядка № В уравнениях Р. А. Межлумяна и настоящей статьи. В этом случае основная система уравнений Р. А. Межлумяна имеет вид [c.44]

В заключение необходимо упомянуть и о статье Кирхгоффа, в которой дается исследование колебаний стержней переменного поперечцого сечения ). Общее уравнение поперечных колебаний таких стержней было уже известно, и Кирхгофф показывает, что в определенных случаях оно поддается точному интегрированию. В частности, он рассматривает стержень, имеющий форму тонкого клина или весьма острого конуса, и вычисляет для обоих этих случаев частоты основной формы колебаний. [c.308]

Далее рассмотрим несколько примеров локального резонансного воздействия на трехслойный стержень. Для удобства аналитической записи нагрузки по-прежнему воспользуемся функцией Хевисайда Hq x). Основная наша задача —определить коэффициенты Ет, так как уравнение (5.44), его решение (5.45) и константы интегрирования Amij Bmi (5.46) сохраняют свой вид. [c.256]

Рассмотрим основные соотношения, с помощью которых определяются характеристики одностороннего стержневого магнито-стрикциопного излучателя с одним свободным торцом. Будем исходить -из уравнений магнитострикционного преобразователя, полученных в параграфе 3.11 (3.88). Напомним, что в этих уравнениях коэффициент электромеханической связи в расчете на один стержень составляет [c.174]

Малые отклонения от основного состояния. При рассмотрении геометрически линейных задач о стержнях, пластинах и оболочках естественно рассматривать безмоментное напряженное состояние как основное и линеаризировать уравнения ползучести около основного состояния. Рассматривая задачу о сжатом стержне из материала, следующего закону ползучести с упрочнением, Ю. Н. Работнов и С. А. Шестериков (1956) установили, что вариации напряжений и деформаций связаны уравнением типа (5.2), в котором константы заменяются известными функциями времени. Прогиб представляет Ьобою функцию координаты, умноженную на функцию времени т ( ). Если стержень был первоначально прямой и в некоторый момент времени i ему сообщено возмущение, например приложена поперечная нагрузка, то можно указать такое критическое [c.146]

Первоначально система основных уравнений задачи решалась приближенно, методами осреднения, применяемыми в теории пограничного слоя. В дальнейшем та же задача была решена с использованием приема дискретизации (А. Ю. Ишлинский и Г. П. Слепцова, 1969) стержень заменялся системой сосредоточенных масс, соединенных вязко-пластическими стержнями. При этом решение уравнения теплопроводности с подвижной границей сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.313]

Итак, определение критического значения нагрузки на сжатый естественно закрученный стержень ведется следующим образом. Задаваясь некоторым -Значением коэффициента -ц и используя известные величины ки , относим д)ассматриваемый стержень к одной из категорий закрученности. Для стерж-шей малой или большой закрученности в качестве основных уравнений шспользуем зависимости (93), а для стержней средней закрученности — зависимости (96). [c.868]

Уравнение (15.7) показывает, как далеки от гармоник обертоны колеблющегося стержня. Второй обертон имеет частоту выше, чем шестая гармоника стр ны при равном основном тоне. Если стержень ударить так, что в его колебании будут содержаться оберюны значительном амплитуды, то он будет издавать резкий, нем зыкальный звук. Но так как эти высокочастотные обертоны быстро затухают, то этот непррштный вначале звук быстро перейдет в мягкий звук, почти целиком состоящий из основного тона. Камертон можно рассматривать, как два колеблющихся стержня, скреплённых у нижних концов. Звук камертона как раз обладает вышеуказанным свойством слышимый в начальный момент металлический лязг быстро замирает, и далее остаётся почти чистый тон. [c.181]

Преобразователь как электромеханический четырёхполюсник. Уже. самая форма написания основных уравнений электромеханического преобразователя [уравнения (5.3) и (5.6Ь)], в которой электроакустичес.сая система описывается двумя электрическими и, I) и двумя механическими Г, V) переменными, наводпт на мысль о возможности рассматривать преобразователь как некоторый обобщённый четырёхполюсник с разнородными сторонами — электрической и механической. Действительно, можно представить себе некоторое закрытое устройство, имеющее с одной стороны два зажима для подведения или снятия напряжения, а с другой — стержень, к которому можно прилагать внешнюю силу или механическую нагрузку (рис. 78). Если преобразователь линеен, то, каково бы ни было его устройство, четыре переменные и, I, [c.164]

Рассмотрим стальной стержень квадратного поперечного сечения 1 Х1 сл и длиной 15,35 см. Стальной шар радиуса 1 см ударяет по стержню со скоростью v= см/сек. Приняв = 2,2-10в кг/см и 7 = 7,95 г/см , получим период основной формы колебаний равным т = 0,001 сек. При чкслеином решении уравнения (к) этот период был разделен на 180 равных частей, [c.400]

В 1932 г. вышла в свет работа В. Н. Беляева — первая в мировой литературе работа, посвященная стесненному кручению тонкостенных стержней с замкнутым профилем. В этой работе рассматривается стержень замкнутого прямоугольного сечения,, со-. стоящий из мощных поясов, тонких стенок и нйсоторого числа диафрагм. Для упрощения решения задачи В. Н. Беляев предложил считать стенку воспринимающей только касательные напряжения И не работающей, йа нормальные напряжения. В этой же работе дан анализ статической неопределимости системы, указана наиболее целесообразная основная система и получена удобная система уравнений трех осевых сил для определения лишних неизвестных. [c.6]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...