Устойчивость круговой орбиты

Устойчивость круговой орбиты. Для круговой орбиты радиуса г = 1 /ц мы требуем выполнения условий [c.107]

Таким образом, имеет место следующий критерий устойчивости круговой орбиты радиуса г = —, описанной [c.107]

Точка движется по круговой орбите под действием силы, направленной к центру этого круга. Исследуйте движение этой точки после небольшого начального возмущения, введя для этого разностные координаты р = г — Го и ф = 0 — где Го — радиус круговой орбиты, а ш — угловая скорость установившегося движения. Выразите Г и V в этих координатах, пренебрегая членами выше второго порядка малости относительно р и ф. Получите таким способом уравнения движения и выведите условия устойчивости первоначального движения. Покажите, что если V пропорционально г- +, то оно будет устойчивым лишь при я < 3. Покажите также, что одна из частот полученного возмущенного движения равна нулю (что соответствует переходу на новую круговую орбиту). [c.375]

Следовательно, круговая орбита является устойчивою, и период малых колебаний выражается приближенною формулою [c.232]

Следовательно, U имеет минимум, т. е. круговая орбита постоянно устойчива, если только [c.255]

Следовательно, при законе действия силы, определяемом равенством типа (23), круговые орбиты будут устойчивыми, если v< 3, и неустойчивыми, если v 3. [c.91]

Радиальная составляющая центральной силы есть (г) = ч i.r и V — постоянные). Показать, что если <о есть постоянная угловая скорость, с которой будет описываться круговая орбита, то эта орбита будет устойчивой, если 3<в > В этом случае соседние орбиты имеют апсида.чь-ный угол [c.165]

В силу равенства (9.6.19) условие (9.6.20) эквивалентно неравенству и < 3, что и является условием устойчивости. Равенство (9.6.19) очевидно и из элементарных соображений, поскольку для круговой орбиты [c.163]

Другим примером может служить круговая орбита в поле ньютоновского притяжения. Легко видеть, что траектория (в фазовом пространстве) неустойчива в смысле Ляпунова, но обладает орбитальной устойчивостью. [c.479]

В своей теории атома Бор впервые высказал предположение, что из числа замкнутых траекторий, описываемых электроном вокруг положительного центра, только некоторые устойчивы, другие же либо не реализуются в природе, либо настолько неустойчивы, что их не стоит принимать в расчет. Ограничиваясь круговыми орбитами, имеющими только одну степень свободы, Бор выдвинул следующее условие Устойчивыми являются только такие круговые орбиты, для которых момент количества движения является [c.662]

Постулаты Бора электроны в атоме могут двигаться лишь по устойчивым орбитам. При этом они не излучают и не поглощают энергии. Момент импульса электрона на устойчивой круговой орбите [c.228]

Устойчивость спутника с двойным вращением на круговой орбита 97 [c.96]

Следует ожидать, что вдоль радиуса-вектора должна быть направлена наибольшая ось эллипсоида инерции, так как, по аналогии с гантелью, вытянутость вдоль радиуса-вектора наилучшим образом способствует восстанавливающему действию ньютоновского поля сил. В самом деле, в приложении 1 показано, что в неподвижном ньютоновском поле абсолютное равновесие устойчиво тогда и только тогда, когда большая ось эллипсоида инерции совпадает с направлением на центр притяжения. Но тогда следует ожидать, что второй осью в плоскости орбиты (в случае круговой орбиты, направленной по касательной к траектории) должна быть средняя ось эллипсоида инерции. Действительно, в этом случае наилучшим образом используется оставшаяся динамическая вытянутость тела для стабилизации его положения вдоль касательной к орбите под действием центробежных сил. Такое положение средней оси следует и из того, что она не может быть расположена по бинормали к орбите, так как относительное равновесие тела есть абсолютное вращение вокруг направления бинормали, а вращение свободного тела около средней оси инерции неустойчиво ньютоновские и центробежные силы не ликвидируют эту неустойчивость. [c.28]

Заметим, что здесь доказывается устойчивость только движения около центра масс, а круговая орбита остается невозмущенной. В главе 4 исследованием полной постановки задачи будет доказана достаточность условий [c.62]

Таким образом, взаимосвязь поступательного и вращательного движения очень слаба для реальных спутников. Допустимые отклонения от круговой орбиты имеют порядок отношения размеров спутника к расстоянию до центра притяжения. Поэтому, хотя полученные условия устойчивости обеспечивают устойчивость при возмущениях как вращательного, так и поступательного движения, следует все же иметь в виду указанную малость допустимых возмущений поступательного движения. [c.170]

Необходимым условием устойчивости орбиты является положительность произведения Нп. В частности, для круговой орбиты [c.731]

Положения устойчивого относительного равновесия спутников на круговых орбитах являются центрами либраций. Границы либраций спутников были оценены В. В. Белецким [10]. Области либрации определяются неравенствами [c.778]

Г. Н. Дубошиным не только найдены частные решения в этой задаче [139], но и изучена их устойчивость. Доказано [87], [139], что круговые орбиты центра масс стреловидного спутника устойчивы по отношению к цилиндрическим переменным и их производным р, 2, р , г, 1 1 при наличии постоянно действующих возмущений, обусловленных формой спутника, если предположить, что длина спутника достаточно мала. [c.848]

При Е ( /дфф)т1п кольцо (Лз, Г4) сжимается в окружность радиуса Гц, по которой и происходит движение частицы. Движение по указанной круговой орбите является устойчивым, так как точке Го соответствует минимум эффективного потенциала. Последнее означает, что малое возмущение движения частицы не может изменить ее круговую орбиту. [c.112]

В целом круговые орбиты, даже очень большие, устойчивы против возмущений, если они слабо наклонены к плоскости эклиптики (или к плоскости орбиты Луны). Это ясно видно на примере орбит Луны и планет. [c.100]

Если Солнечная система устойчива и только медленно эволюционирует, то является ли это следствием ее современного состояния с почти круговыми орбитами, малыми наклонениями почти-соизмеримыми средними движениями [c.261]

Круговая орбита будет устойчива, если эффективный потенциал радиального движения [c.59]

Реальные границы Солнечной системы определяют из условия устойчивого движения ее тел. Все 9 больших планет — Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун и Плутон — обращаются вокруг Солнца в одном направлении (в направлении осевого вращения Солнца) по почти круговым орбитам, мало наклоненным к плоскости эклиптики. [c.25]

Следовательно, круговая форма орбиты устойчива, если s<[3, и неустойчива, если s>3. В случае s = 3 орбиту следует считать также неустойчивой, так как мы имеем для нее [c.231]

На круговой орбите существует положение равновесия твердого тела в орбитальной системе координат, отвечающее решению ср = О уравнения (37) при е = 0. При условии А > В положение равновесия устойчиво. Предполагая это условие выполненным, рассмотрим малые плоские колебания твердого тела вблизи положения = О, вызываемые эллиптичностью орбиты. Эксцентриситет орбиты считаем малой величиной. [c.509]

Можно доказать, что Ш.п.-в.— единственное статическое вакуумное асимптотически-плоское решение ур-ний обшей теории относительности. Ш.п.-в., описывающее чёрную дыру, устойчиво малые возмущения метрики (1) общего вида затухают по степенному закону при f-юз (показатель степени определяется мультипольностью возмущения). Гравитационная энергия связи тел массой т М, двигающихся по устойчивым круговым орбитам в Ш.п.-в., может достигать а6% от энергии покоя (С. Л. Каплан, 1949), Частицы, падаюидие в чёрную дыру, достигают поверхности горизонта событий за конечное собственное время -rj , но за бесконечный интервал времени t с точки зрения любого внеш. наблюдателя, не падающего в чёрную дыру. Это утверждение остаётся верным и в случае нестационарной чёрной дыры, масса к-рой растёт из-за поглощения (аккреции) ею окружающего вещества [при этом, однако, следует помнить, что в случае аккреции на чёрную дыру радиус поверхности горизонта событий r (f) всегда несколько больше текущего гравитационного радиуса г, (01-После пересечения горизонта событий частицы достигают сингулярности г = 0 также за конечный интервал собственного времени. Внеш. наблюдатель этого не увидит никогда. [c.460]

Это прироггит нас к рассмотрению почти круговой орбиты. В частности, мы можем исследовать, будет ли круговое движение устойчивым, т. е. будет ли материальная точка, сошедшая под действием незначительной возмущающей силы со своей круговой орбиты, оставаться всегда вблизи этого круга или нет. [c.230]

Изменение скорости перехода Аг , требуемой для хомановской орбиты, касаюш ейся круговых орбит Щ и равно разности между скоростью на орбите перехода в точке запуска и скоростью на устойчивой круговой орбите перед запуском. [c.93]

Хорошо известна область реально возможных высот и скоростей ( коридор допустимых значений высот и скоростей) полета . Завоевание диапазона высот и скоростей (от 20—25 км до 170—190 км) осуществляется в современной технике и снизу созданием самолетов гиперзвуковой авиации и сверху созданием орбитальных самолетов, выводимых на стационарную круговую орбиту при помощи ракет-носителей или самолетов-носителей. Области высот от 95—ПО км до 170—190 км будут, по-видимому, освоены летательными аппаратами типа сателлои-дов Эрике (это корабли-спутники, снабженные реактивными двигателями, которые обеспечивают устойчивость корабля и развивают тягу, равную силе лобового сопротивления). [c.235]

Пр и меч анис. Существование [ ериоднческих и почти периодических решений, рассмотренных выше, обусловливается наличием точных круговых решений задачи Фату, орбитально устойчивых в смысле Ляпунова. Так как исходные круговые орбиты лежат в плоскости симметрии силового ноля, то близкие к ним траектории или также лежат в этой плоскости, или близки к ней. Так как для применения метода Ляпунова необходимо иметь исходное пернодическос решение задачи, а других частных решений мы указать не можем, то ие можем также [c.333]

Обобщенная задача двух неподвижных центров (см. ч. VI) также допускает круговые орбиты. Их устойчивость при постоянно действующих возмущениях исследована в работах [135], [136], [137], а для случая предельного варианта задачи двух неподвижных центров в [138]. Названная задача допускает в качестве частных рещений так называемые эллипсоидальные и ги-перболоидальные орбиты [47]. Эти орбиты лежат на эллипсоиде или на гиперболоиде вращения. Первые располагаются между двумя параллелями, и если являются периодическими, то после некоторого числа оборотов замыкаются, в противном случае имеем обмотку части эллипсопда. Гиперболоидальные траектории не являются спутниковыми орбитами, так как при оо материальная точка удаляется на бесконечность. С помошью связки интегралов В. Г. Демин [87] показал, что эллипсоидальные орбиты устойчивы по отношению к большой полуоси и эксцентриситету эллипсоида и гиперболоида, на которых происходит движение спутника. Устойчивость движения стационарных (или суточных) спутников рассмотрена в [89], [137]. [c.848]

Примеры исследоваиия устойчивости движения. Пример 1. Рассмотрим точку, описывающую круговую орбиту вокруг притягивающего центра, сила притяжения которого на расстоянии г равиа цг". Еслн через О обозначить у1ол, образуемый радиус-вектором г с осью х, то для стацнонарного движения имеем О и 0 onst. Кроме того, [c.85]

Теоретическое исследование закона Кассини. Движение твердого тела вокруг удаленного притягивающего центра исследовалось в предположении, что движение центра тяжести тела происходит в одной плоскости. Из уравнений (2) п. 552 следует, что движение в случае, когда центр тяжести тела описывает круговую орбиту, а само тело всегда вращается вокруг главной оси инерции, направленной к притягивающему центру, является стационарным. Предыдущие исследова1шя также показывают, что это движение устойчиво при всех возмущениях, которые не изменяют плоскости движения при условии, что момент ииерции относительно главной оси, которая направлена к притягивающему центру, меньше момента инерцин относительно другой главной оси, лежащей в плоскости орбиты. Теперь остается определить эффект от этих возмущений в наиболее общем случае, когда движение происходит в пространстве. [c.423]

Далее оказывается, что усредненная система имеет устойчивое положение равновесия, соответствующее движению всех планет в одной плоскости а одну сторону по круговым орбитам. Движение планет, соответствующее малым колебаниям в линеаризованной около этого равновесия усредненной системе, называется лагранжевым движением. Оно имеет простую геометрическую интерпретацию. Вектор, направленный из фокуса в перигелий планеты и имеющий длину, пропорциональную ее эксцентриситету (вектор Лапласа), в проекции на основную плоскость системы координат является суммой п—1 равномерно вращаюшлхся векторов. Набор угловых скоростей этих векторов одинаков для всех планет. Вектор, направленный по линии пересечения плоскости орбиты планеты с основной плоскостью (линии узлов) и пропорциональный по длине наклонению планеты, является суммой п—2 равномерно вращающихся векторов". Если в некоторый момент времени эксцентриситеты и наклонения достаточно малы, то в усредненной системе они останутся малыми и во все время движения. В частности, оказываются невозможными столкновения планет и уходы на бесконечность. Это утверждение называется теоремой Лагранжа — Лапласа об устойчивости Солнечной системы. С момента доказательства теоремы (1784 г.) центральная математическая задача небесной механики состояла в том, чтобы перенести этот вывод об устойчивости с усредненной системы на точную. На этом пути возникли многие разделы теории динамических систем, в том числе теория возмущений и эргодическая теория. Сейчас решение рассматриваемой задачи значительно продвинуто. Оказывается, при достаточно малых массах планет большая доля области фазового пространства, соответствующей не-зозмущенном движению в одну сторону по кеплеровским эллипсам малых эксцентриситетов и наклонений, заполнена условно-периодическими движениями, близкими к лагранжевым (см. 3). Таким образом, устойчивость имеет место для большинства начальных условий. При начальных условиях из исключительного множества эволюция больших полуосей если и происходит, то очень медленно — ее средняя скорость экспо- [c.186]

Частица массы т движется по круговой орбите радиуса Н в ноле центральных сил, потенциал которого равен 11 г) = —ст1г , с > 0. Нри каких п круговая орбита устойчива но отношению к малым возмущениям движения частицы [c.15]

Атом водорода имеет один электрон, который движется в поле ядра й зарядом +е. В первоначальных теориях предполагали, что электрон в атоме водорода вращается вокруг ядра по круговой орбите в условиях, согласно которым сила его притяжения к ядру, равная е 1г , уравновещивается центробежной силой тиУг где г — радиус круговой орбиты. Однако эта. модель не могла объяснить устойчивость атома, поскольку при этом возможно бесконечное число орбит,. и поэтому изменение энергии атома должно быть непрерывным. [c.13]

Предлагаемое устройство основано на фазовой устойчивости некоторых орбит в циклотроне. Рассмотрим, например, частицу, энергия которой такова, что ее угловая скорость как раз соответствует круговой частоте электрического поля. Назовем эту энергию равновесной. Пусть, далее, частица пересекает ускоряющий зазор как раз в тот момент, когда электрическое поле проходит через нуль, изменяясь в таком направлении, что более ранний подход частицы вызвал бы ее ускорение. Такая орбита является безусловно стационарной. Чтобы это показать предположим, что сдвиг по фазе таков, что частица подходит к зазору слишком рано. Тогда она получает ускорение рост энергии вызывает уменьшение угловой скорости, что задерживает подход к зазору Аналогичное рассуждение доказывает, что и отклонение энергии от равновесного значения вызывает самокоррекцию. [c.411]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...