Характеристические показатели периодического решения

Отсюда, в частности, следует, что характеристические показатели периодического решения автономной гамильтоновой системы попарно равны по абсолютной величине и противоположны по знаку. При этом два из них всегда равны нулю. [c.77]

Характеристические показатели периодического решения 220 [c.429]

Теорема 3 (Пуанкаре [34]). Предположим, что гамильтонова система с гамильтонианом Н имеет р интегралов Р Н, Рг,..., Рг, независимых в точках траектории периодического решения. Тогда р+ характеристических показателей этого решения обращаются в нуль. Если интегралы Р, коммутируют, то среди показателей по крайней мере 2р равны нулю. [c.229]

Б этом решении и С2 — произвольные постоянные интегрирования, pi (t) и фз t) — некоторые периодические функции, период которых равен периоду Т возбуждающей функции-ф (О, а ai и 2 — характеристические показатели, определяемые равенством (7.68) [c.242]

Обратимся к случаю, когда элементы матрицы А постоянны. Мы определили характеристические показатели только для периодической матрицы А. Однако из 23.3 следует, что если матрица А постоянна, tq ее, собственные значения играют в решении уравнений в вариациях такую же роль, что и характеристические показатели в случае, когда матрица А является периодической. Поэтому термином характеристический показатель можно пользоваться и в том случае, когда элементы матрицы А постоянны. В задачах, в которых А есть постоянная матрица, характеристические показатели являются ее собственными значениями. [c.467]

Уравнения в вариациях для системы Гамильтона. Если исходные уравнения движения имеют гамильтонову форму и допускают периодическое решение, то два характеристических показателя равны нулю. Кроме того, если ft есть собственное значение матрицы монодромии, то 1/pi и [х также являются собственными значениями. Таким образом, если характеристический показатель % не является ни вещественным, ни чисто мнимым, то другие характеристические показатели равны — к, к и —А,. Если же характеристический показатель % является вещественным или чисто мнимым, то другой характеристический показатель равен —X. [c.469]

Так как в этом решении функция Ф(л ) является периодической, а Л и 5 —постоянные величины, то, очевидно, его устойчивость полностью определяется величиной характеристического показателя [х, т. е. величинами корней ф1 и ф-2. [c.54]

Таким образом, резонанс наступает тогда, когда характеристический показатель является мнимым, целым и четным числом эти значения характеристического показателя соответствуют значениям параметров а и q, при которых имеют место периодические решения однородного уравнения Матье (функции Матье с периодом я). [c.153]

Периодическое решение должно соответствовать движению на границе устойчивости, что соответствует прохождению кривой Михайлова (годограф характеристического уравнения) через начало координат и означает обращение в нуль показателя экспоненты затухания линеаризованного дифференциального уравнения. Имеем [c.144]

Для консервативной системы все характеристические показатели — чисто мнимые (рис. 1, а) и равны с точностью до zti собственным частотам системы. Все частные решения являются периодическими функциями времени, а движение в общем случае — стационарным (почти периодическим). [c.92]

Лемма 11.6. Если уравнение (11.1) грубое, то любое его периодическое решение 9 = Г(ср, 01) имеет отличный от нуля характеристический показатель. [c.182]

Теорема 11.4. Для того чтобы уравнение ( . ) было грубым, необходимо и достаточно, чтобы оно имело рациональное число вращения и любое его периодическое решение имело ненулевой характеристический показатель. [c.184]

Доказательство. Необходимость утверждения теоремы следует из лемм 11.4 и 11.6. Докажем достаточность. Отметим сначала, что уравнение (11.1) имеет лишь конечное число периодических решений. Действительно, если бы их. было бесконечно много, то среди них имелось бы неизолированное, а его характеристический показатель был бы равен нулю. Зададимся произвольным положительным числом е. [c.184]

Сейчас мы будем предполагать, что на поверхности ц располагаются йш-периодические (к — целое) решения системы (14.1) с е = 0 и что оба характеристических показателя каждого из этих решений отличны от нуля. Кроме того, будем считать, что инвариантная поверхность Ед асимптотически устойчива. [c.219]

Ясно, что если через точку р проходит периодическое решение с отрицательными характеристическими показателями, то для всякой точки д, лежащей в достаточной близости к р, выполняется соотношение (14.2). Такие точки р в дальнейшем будем называть устойчивыми. [c.222]

Рассмотрим периодическое решение x = fJ t), у = фу(0. лежащее на Ец с одним положительным характеристическим показателем. Пусть др — точка с координатами д ==ср (0), у = фДО), тогда точки g =T g o (/ = 0, 1,. .., к ) будут различными неподвижными точками преобразования Го Сделаем в системе (14.1) при е = 0 замену х= х — срД/) у = у — получим [c.222]

Таким образом, доказано, что если через точку р, неподвижную относительно преобразования То, проходит периодическое решение, имеющее положительный характеристический показатель, то для всякой точки д, лежащей на в достаточной близости от р, выполняется соотношение (14.3). Такие точки р будем называть неустойчивыми. [c.224]

Предположим, что на Но располагается т различных периодических решений с отрицательными характеристическими показателями, тогда на о лежит кт устойчивых неподвижных точек Рц (/=1, 2.....т, 1 = 0, 1,..., к — 1) [c.224]

Характеристические показатели. Теорема Пуанкаре о периодических решениях [c.74]

В случае п = 2 оставшиеся характеристические показатели либо оба действительны, либо оба чисто мнимы. Если они отличны от нуля, то периодическое решение называется невырожденным. Невырожденное решение с действительными характеристическими показателями называется гиперболическим, а с чисто мнимыми — эллиптическим. Эллиптическое решение устойчиво в первом приближении, а гиперболическое неустойчиво. [c.77]

В качестве следствия получаем следующее утверждение если п — то характеристических показателей решения х 1, ) отличны от нуля, то на его траектории интегралы 1,. .., зависимы. В частности, на траекториях невырожденных периодических решений двумерной гамильтоновой системы интеграл энергии Ж и любой первый интеграл зависимы. [c.78]

Следовательно, характеристические показатели этого периодического решения равны [c.86]

Методом нормальных форм Биркгофа в окрестности возмущенных неустойчивых периодических решений + 0 е) можно найти периодическую по t формальную каноническую замену переменных Z и, приводящую функцию Гамильтона H z,t,e) к функции Н и,е), не зависящей от t. Из-за соизмеримости характеристических показателей это преобразование Биркгофа может расходиться. Однако в случае одной степени свободы (п= 1) формальные ряды замены переменных z — и всегда сходятся и аналитически зависят от параметра е (Ю. Мозер [217]). [c.265]

Когда характеристический показатель /х чисто действительный, функция х т) ограничена и, следовательно, движение устойчиво. Однако, если /X имеет мнимую часть, функция х т) содержит экспоненциально возрастаюш,ий вклад. Движение неустойчиво. Параметры а и д, то есть напряжения, приложенные к ловушке, и определяют, будет ли движение устойчивым, или нет. Если /х = О, решение х т) строго периодическое. [c.528]

Таким образом, в рассмотренных двух случаях задача об устойчивости периодического невозмущенного движения решается полностью рассмотрением только уравнений первого приближения, т. е. системы линейных уравнений с периодическими коэффициентами. А задача об устойчивости нулевого решения линейной системы с периодическими коэффициентами, как было указано выше, приводится к определению характеристических показателей, которые всегда могут быть вычислены, по крайней мере приближенно, с помощью рядов Ляпунова. [c.112]

Тогда, как показано в 3 главы I, характеристичное уравнение системы первого приближения есть всегда возвратное, так что каждому корню р этого уравнения соответствует корень р-. Отсюда сейчас же следует, что невозмущенное периодическое движение почти всегда неустойчиво и что устойчивость возможна только в том случае, когда все корни характеристичного уравнения равны единице по модулю, т. е. когда все характеристические показатели имеют равные нулю вещественные части. А все эти случаи и относятся к категории особенных, в которых решение задачи требует вообще рассмотрения членов высших порядков в уравнениях (2.51). [c.113]

Как мы видели в предыдущих разделах, задача об устойчивости периодического движения, приводящаяся к исследованию устойчивости нулевого решения системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, может быть разрешена при помощи построения соответствующей функции Ляпунова или вычислением характеристических показателей, являющихся корнями характеристичного уравнения. [c.116]

Из предположения о том, что любое периодическое ре-н1сние, лежащее на Но. имеет характеристические показатели, отличные от нуля, следует, что на Но имеется лишь конечное число периодических решений. Действительно, ссли бы на Е было бесконечно много периодических решеиий, то среди них имелось бы такое, в каждой окрестности которого сунюствомпло бы периодическое решение, отличное от него самого. Эго противоречит тому, что оба характеристических показателя этого решения отличны от нуля. Так как поверхность Ец асимптотически устойчива, то хотя бы один из характеристических показателей периодического решения, лежащего на Ео. отрицателен. Действительно, если бы это было не так, т. е. если бы существовало периодическое решение с положительными характеристическими показателями, то существовали бы решения, стремящиеся к Но при — оо и не лежащие на Иц. Это невозможно из-за устойчивости [c.221]

Так как detF ф О, то можно положить Р = ехр(рЛ). Собственные числа ai,..., ат матрицы А называются характеристическими показателями периодического решения (8.3). Они связаны с мультипликаторами соотношениями р, = ехр(ра,) и определены с точностью до аддитивных слагаемых вида гилг п е Z). [c.220]

Когда средя характеристических показателей соответствующей линейной однородной системы нет показателей с нулевой вещественной частью, система (171) имеет единственное периодическое решение х = Т). Это решение можно [c.114]

Исходя из выражения (7.2.25), легко установить структуру решений периодической системы уравнений (7.2.20). Если характеристические показатели Ау (/=1,...,л) разтшчные, то матрица Н подобна диагональной матрице с А на главной диагонали. В этом случае существует фундаментальная система, образованная решениями [c.470]

Из теории возмущения периодических решений (см., например, 1671) известно, что если е достаточно мало, то система (13.29) в окрестности начала координат имеет единственное периодическое решеЕте и характеристические показатели этого решеЕЕия положительны. Отсюда и из теоремы об интегральной Е1епрерывности следует, что все решеЕЕИя, начинающиеся внутри поверхности Е,, за исключением периодического, стремятся к Е при >--+оо. [c.218]

Пусть д = срДО У = 1 г(0 — /ею-периодическое решение с отрицательными характеристическими показателями. Обозначим через Р1д точку с координатами ср (О), (0) тогда [c.222]

Предположим, что инвариантный тор и = u ,v mod 2тг невозмущенной задачи заполнен периодическими траекториями. Пусть h — функция на (п - 1)-мерном торе, которая получается в результате усреднения функции Я. (и , v) по траекториям невозмущенной задачи. Можно показать, что, если при и = и выполнены условия (8.15), и критические точки функции h невырождены, то возмущенная система при малых е О имеет по меньшей мере различных невырожденных периодических решений того же периода, аналитических по е. Их характеристические показатели имеют асимптотику а = + о /7) ) (ао Ф 0). [c.231]

Отметим, что сумма рх р2= Н--1 не зависит от степени квазиоднородности интеграла. Это не случайно показатели Ковалевской для квазиоднородных гамильтоновых систем разбиваются на пары, сумма которых равна /1—1. Это утверждение является аналогом известной теоремы Пуанкаре — Ляпунова о возвратности характеристического уравнения для мультипликаторов периодического решения уравнений Г амильтона. Доказательство основано на простом замечании о том, что уравнения в вариациях (3.5) в рассматриваемом случае будут гамильтоновыми [c.343]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...