Уравнение Прандтля ламинарного пограничною слоя

Вывод уравнений Прандтля ламинарного пограничного слоя [c.558]

УРАВНЕНИЯ ПРАНДТЛЯ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ [c.559]

Краткое содержание. Общая теория решений уравнения энергии ламинарного пограничного слоя при различных числах Прандтля применяется к турбулентному пограничному слою. Это позволило распространить гидродинамическую аналогию теплообмена Кармана на отличные от единицы турбулентные числа Прандтля и учесть действительное распределение касательного напряжения в турбулентной части пограничного слоя, которое до настоящего времени принималось постоянным. [c.216]

Закончив на этом описание основных физических явлений, возникающих при течениях с очень малой вязкостью, и изложив тем самым в самых кратких чертах теорию пограничного слоя, мы перейдем в следующих главах к построению рациональной теории этих явлений на основе уравнений движения вязкой жидкости. В настоящей части книги (в главе III) мы составим общие уравнения движения Навье — Стокса, а во второй части сначала выведем из уравнений Навье — Стокса путем упрощений, вытекающих из предположения о малой величине вязкости, уравнения Прандтля для пограничного слоя, а затем перейдем к интегрированию этих уравнений для ламинарного пограничного слоя. Далее, в третьей части книги, мы рассмотрим проблему возникновения турбулентности (переход от ламинарного течения к турбулентному) с точки зрений теории устойчивости ламинарного течения. Наконец, в четвертой части книги мы изложим теорию пограничного слоя для вполне развившегося турбулентного течения. Теорию ламинарного пограничного слоя можно построить чисто дедуктивным путем, исходя из дифференциальных уравнений Навье — Стокса для движения вязкой жидкости. Для теории турбулентного пограничного слоя такое дедуктивное построение до сегодняшнего дня невозможно, так как механизм турбулентного течения вследствие его большой сложности недоступен чисто теоретическому исследованию. В связи с этим при изучении турбулентных течений приходится в широкой мере опираться на экспериментальные результаты, и поэтому теория турбулентного пограничного слоя является, вообще говоря, полуэмпирической. [c.53]

Таким образом, получаем систему уравнений движения в ламинарном пограничном слое — уравнения Прандтля — в виде [c.224]

Выше рассмотрено решение уравнений ламинарного пограничного слоя для простейшего случая, когда dU/dx = О, т. е. dp/dx = 0. В общем случае обтекания тел с продольным перепадом давления (dp/dx Ф 0) задача существенно усложняется. В инженерных расчетах преимущественное применение получили методы, основанные не на уравнениях Л. Прандтля, а на интегральных соотношениях, которые можно получить или специальными преобразованиями этих уравнений, или путем непосредственного применения к пограничному слою законов количества движения и сохранения энергии. [c.338]

Функции / в (3.32) и (7.136) аналогичны, поэтому для решения задач массоотдачи в ламинарном пограничном слое можно использовать соответствующие известные уравнения теплоотдачи (гл. 7), если в последних заменить число Нуссельта Nu=a/A на диффузионное число Нуссельта ЫЫд = а число Прандтля Рг= vja на число Шмидта S = v/D. [c.153]

Коэффициент восстановления г (11.5) является функцией числа Прандтля и для ламинарных пограничных слоев хорошо аппроксимируется уравнением [c.201]

Решение практических задач ламинарного пограничного слоя путем непосредственного интегрирования уравнений Прандтля при произвольном распределении скорости в невозмущенном потоке представляет знач[[-тельные трудности. На помощь приходят приближенные методы, основанные на интегральных соотношениях между параметрами течения в пограничном слое. В качестве примера рассмотрим соотношения, полученные Карманом на основе теоремы об изменении количества движения. [c.238]

В основе этой теории лежит гипотеза Прандтля, согласно которой силы вязкости играют существенную роль только в пределах пограничного слоя, а в остальной части потока ими можно пренебречь. Исходя из уравнений движения и энергии получены дифференциальные уравнения для ламинарного и турбулентного пограничных слоев. Кроме дифференциальных уравнений, в теории пограничного слоя часто применяются интегральные уравнения. Уравнения теплового пограничного слоя позволяют в конечном итоге определить коэффициент теплоотдачи, а уравнения динамического пограничного слоя — напряжения трения на поверхности теплообмена. [c.198]

Постоянные в уравнении (10-52) при различных числах Прандтля. Теплообмен в ламинарном пограничном слое с постоянными физическими свойствами w, to — постоянны) [c.273]

Теплоотдача при постоянной плотности теплового потока на стенке, рассчитанная по этому уравнению, приблизительно на 4% выше, чем теплоотдача при постоянной температуре пластины. Напомним, что при ламинарном пограничном слое эта разница составляла 36%. Теплообмен при внешнем турбулентном пограничном слое, как и при течении в трубах, значительно менее чувствителен, к изменению температуры стенки, чем при ламинарном, особенно при высоких числах Прандтля. Напротив, при низких числах Прандтля влияние изменения температуры стенки на турбулентный пограничный слой достаточно велико. [c.294]

Метод последовательных моментов Л. Г. Лойцянского получил дальнейшее развитие в работах [Л. 2 и 3] применительно к тепловым задачам ламинарного пограничного слоя без массообмена. Хорошие результаты, а также простые и наглядные расчетные соотношения, полученные при этом авторами, свидетельствуют об устойчивости и удобстве метода. В настоящее время в инженерной практике ряда отраслей (сушильная техника, химическая технология, энергетика) отсутствуют расчетные соотношения, пригодные для определения конвективного теплообмена тел произвольной формы при наличии поперечного потока вещества. В большинстве работ Л. 5 и 4] формулы получены для случая продольно обтекаемой пластинки путем численного решения уравнений пограничного слоя при числах Прандтля, близких к единице. [c.130]

Расчет характеристик ламинарного пограничного слоя базируется на приближенном выражении (6.72), описывающем распределение скоростей в поперечном сечении этого слоя. Точное решение рассматриваемой задачи с использованием дифференциальных уравнений Прандтля (6.36) приводит к следующим выражениям [c.178]

Мы удовольствовались пока рассмотрением лишь одного простейшего случая интегрирования системы уравнений (61), а именно случая н = 1, когда первое уравнение этой системы становится автономным и интегрируется отдельно от второго. Представляет интерес и другой также простой случай, когда число Прандтля а принимается равным единице (для воздуха (т = 0,72). К этому случаю нам еще придется вернуться при рассмотрении более сложной задачи о ламинарном пограничном слое при наличии продольного перепада давления, а сейчас ограничимся лишь следующим общим анализом этого случая. Обратимся к первой форме уравнений пограничного слоя, представленной системой (46). Полагая в третьем уравнении системы 0 = 1, получим линейное относительно hf, уравнение в безразмерных величинах [c.666]

Сделаем еще одно допущение. Будем считать, что число Прандтля ламинарного подслоя постоянно и равно единице. Ранее для ламинарного пограничного слоя было получено уравнение (XI-28), идентичное уравнению (XI-89). Значит уравнение (XI-89) можно применять по всей толщине турбулентного пограничного слоя, включая ламинарный подслой вплоть до поверхности стенки. Используя граничные условия [c.244]

Последнее уравнение называют дифференциальными уравнениями Прандтля для асимптотического плоского ламинарного пограничного слоя для несжимаемой жидкости на теле, кривизна которого велика по сравнению с толщиной слоя. [c.259]

Используем для оценки членов уравнения (4) все полученные выше результаты, перейдем в упрощенных уравнениях (1). .. (4) к размерным координатам и получим дифференциальные уравнения ламинарного пограничного слоя, которые называются уравнениями Прандтля (1904 г.) и замыкаются уравнением состояния [c.279]

Идея и основные уравнения теории ламинарного пограничного слоя были сформулированы Прандтлем (L Prandtl, 1904), [c.223]

Свободные турбулентные течения, показанные на рис. 16-1, имеют одно важное свойство — то же, что и течения в пограничном слое, рассматривавшиеся ранее во всех случаях ширина Ь золы смешения мала по сравнению с ее протяженностью по направлению оси х, и градиент скорости в направлении оси у велик по сравнению с градиентом в направлении оси д . Это в точности те же предположения, которые были сделаны Пранд-тлем для упрощения уравнений движения как в случае ламинарного, так и в случае турбулентного пограничного слоя (см. 8-2 и 12-3). Следовательно, для установившегося двумерного течения однородной несжимаемой жидкости в случае свободной турбулентности уравнения движения и неразрывности будут такими же, как уравнения Прандтля для пограничного слоя с нулевым градиентом давления, а именно [c.431]

Существует два способа расчета параметров жидкости в пограничном слое. Первый способ заключается в численном решении системы дифференциальных уравнений пограничного слоя, впервые полученных Прандтлем, и основывается на использева-нии вычислительных машин. В настоящее время разработаны различные математические методы, позволяющие создавать рациональные алгоритмы для решения уравнений параболического типа, к которому относится уравнение пограничного слоя. Такой подход широко используется для определения характеристик ламинарного пограничного слоя. Развиваются приближенные модели турбулентности, применение которых делает возможным проведение расчета конечно-разностными численными методами и для турбулентного потока. Второй способ состоит в нахождении методов приближенного расчета, которые позволяли бы получить необходимую информацию более простым путем. Такие методы можно получпть, если отказаться от нахождения решений, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям для каждой частицы, и вместо этого ограничиться отысканием решений, удовлетворяющих некоторым основным уравнениям для всего пограничного слоя и некоторым наиболее важным граничным условиям на стенке и на внешней границе пограничного слоя. Основными уравнениями, которые обычно используются в этих методах, являются уравнения количества движения и энергии для всего пограничного слоя. При этом, однако, необходимо задавать профили скорости и температуры. От того, насколько удачно выбрана форма этих профилей, в значительной степени зависит точность получаемых результатов. Поэтому получили распространение методы расчета параметров пограничного слоя, в которых для нахождения формы профилей скорости и температуры используются дифференциальные уравнения Прандтля или их частные решения. Далее расчет производится с помощью интегрального уравнения количества движения. [c.283]

Часто используются и другие степени числа Прандт-ля в зависимости от области применения обобщенного уравнения или нз теоретических соображений. Например, стенки рабочих каналов некоторых эффективных теплообменников выполняются прерывистыми с малыми интервалами между отдельными участками, так что пограничный слой на каждом из участков остается ламинарным. В гл. 10 мы увидим, что для ламинарного пограничного слоя в диапазоне чисел Прандтля от 0,5 до 15 теплоотдача достаточно точно описывается комплексом St Pr2/3. Таким образом, существуют теоретические предпосылки иапользования именно этого комплекса для обобщения экспериментальных данных при указанных условиях. [c.225]

Мы уже отмечали, что при ламинарном пограничном слое число Нуссельта (при фиксированном Re) изменяется приблизительно пропорциснально Рг , за исключением течений с очень низкими числами Прандтля. Используя эту зависимость, можно применять уравнение (10-53) и для расчета теплообмена при высоких числах Прандтля, когда пограничный слой на цилиндре и сфере— ламинарный. [c.275]

При ламинарном -пограничном слое на пластине с нео богреваемым начальным участком задача решена с помощью интегрального уравнения энергии. Это же уравнение можно использовать и для решения рассматриваемой задачи. Однако применять его следует весьма осмотрительно, поскольку принимаемое простое уравнение для профиля температуры может быть совершенно правильным в большей части турбулентного пограничного слоя, но дает абсолютно неверные результаты в подслое и, в частности, на стенке. С этой же трудностью мы уже сталкивались в гл. 7 при решении интегрального уравнения импульсов турбулентного пограничного слоя. Там при вычислении интеграла мы использовали для профиля скорости закон одной седьмой степени. Однако при этом профиле скорости градиент скорости на стенке равен бесконечности следовательно, этот профиль не может быть использован в подслое, и для вычисления касательного напряжения необходим другой метод. Рассмотрим теперь один из нескольких методов расчета, предложенный в [Л. 2]. Он справедлив для жидкостей с Рг=1. Однако влияние необогреваемого начального участка на теплообмен, по-видимому, не сильно зависит от числа Прандтля, и результаты расчета хорошо согласуются с опытными данными для воздуха. [c.288]

Неудовлетворительное положение с уравнениями Озеена, связанное с описанием инерционных эффектов, суш ествовало до появления работы Лагерстрома, Коула и особенно Каплуна из Калифорнийского технологического института в середине 50-х годов. Их идеи оказались весьма плодотворными и были далее развиты в работе Праудмена и Пирсона [49]. Весьма интересно, что стимулом к такой деятельности послужили проблемы теории ламинарного пограничного слоя при высоких числах Рейнольдса, когда попытки получить поправки высшего порядка к теории Прандтля и тем самым распространить ее на область более низких чисел Рейнольдса оказались безуспешными в связи с отсутствием ясного понимания соотношения между уравнениями Прандтля и полными уравнениями Навье — Стокса. [c.63]

Изложенный в настоящем параграфе приближенный метод расчета ламинарного пограничного слоя основывался на использовании однопараметрического семейства профилей скорости, представлявших точные подобные решения уравнений Прандтля (11). Такой подход или несколько более общий, заключавшийся в выборе конкурирующих однопараметрических семейств профилей скорости среди других, известных к тому времени точных решений, возник только в самом конце тридцатых годов. Ранее использовались искусственно образованные аналитические семейства профилей, просто схожие по форме с действительными профилями, совпадающие с ними на внешней (г/ = б) и внутренней (у = 0) границе пограничного слоя. Произвол в выборе такого рода конкурирующих наборов профилей скорости породил большое число различных приближенных методов и, по-видимому, отражал широко в то время принятый в теории упругости метод Ритца. [c.466]

С. М. Капустянский, Однопараметрическое решение уравнений ламинарного пограничного слоя в газовом потоке больших скоростей при числе Прандтля, не равном единице, Труды ЛПИ, № 265, 1966, 24—34. [c.691]

Все изложенное относится к теории ламинарного пограничного слоя, которая находится во вполне удовлетворительном согласии с экспериментом и качественно подтверждается также имеющимися немногочисленными точными решениями уравнений Навье — Стокса. Однако на самом деле при повышении скоростей пограничный слой переходит в турбулентное состояние, что меняет весь режим течения (реальные струи, как правило, всегда турбулентны). Первоначально с этим явлением столкнулись в связи с экспериментальным исследованием коэффициента лобового сопротивления шара (Дж. Костанци, Л. Прандтль, Г. Эйфель). Оказалось, что при достижении чисел Рейнольдса порядка 10 дальнейшее увеличение числа Рейнольдса приводит к резкому падению коэффициента сопротивления шара примерно в два раза. Этому удивительному явлению дал объяснение Л. Прандтль Он показал, что при достижении указанных чисел Рейнольдса отрыв пограничного слоя вызывает его турбулизацию и последующее присоединение, что задерживает в целом отрыв потока от обтекаемого тела и тем самым резко снижает сопротивление ( кризис обтекания и сопротивления.) [c.298]

При помощи ударной трубы возможно создание высокотемпературных потоков газа в широком диапазоне плотностей. Несмотря на кратковременность процесса, быстродействующая аппаратура дает возможность проводить тепловые замеры. Более того, кратковременность действия потока имеет даже определенные преимущества, так как с высокой точностью позволяет считать процесс передачи тепла стенкам одномерным. Результаты многих работ [1—4], в которых изучалось развитие пограничного слоя и теплообмен на стенке ударной трубы с помощью тонкопленочных термометров сопротивления, показали, что температура поверхности стенки трубы может быть измерена очень точно. Поэтому в настоящее время появилось два метода измерения коэффициентов переноса, в основе которых лежат результаты измерений теплопередачи к стенкам ударной трубы. Впервые численное решение задачи теплообмена было получено в работе [5] и экспериментально проверено в работе 61, в которой авторы измерили теплообмен в критической точке тупоносого тела, помещенного в ударную трубу. Результаты работы 6] в основном подтвердили теорию, изложенную в работе [5], но при этом обнаружилось, что теплообмен в сильной степени зависит от числа Ье (числа Люиса) и вязкости газа поэтому получить данные о коэффициенте вязкости высокотемпературного газа в невоз-ыущенном потоке было практически невозможно. Авторы работы [7] используя теорию, предложенную в работе [5], а также результаты работы [8], дающей теоретический анализ ламинарного пограничного слоя на стенке ударной трубы, показали, что тепловой поток на боковой стенке очень слабо зависит от числа Люиса. Поэтому в соотнощении для теплообмена единственной неизвестной можно считать коэффициент вязкости в невозмущенном потоке. Это позволило им, используя данные по определению теплового потока к стенкам ударной трубы, при сравнении с численными решениями уравнений пограничного слоя на стенках получить экспериментальные результаты по определению коэффициента вязкости диссоциированного кислорода. Оценивая результаты эксперимента, они пришли к выводу, что на теплообмен к боковой стенке очень слабо влияет фитерий Прандтля, число Люиса, а лучистый тепловой поток в диапазоне температур 2000—4000° К еще пренебрежимо мал. Погрешность экспериментальных данных о вязкости, полученных по этой методике, оценивается авторами в пределах 16%- Сравнение полученных опытных данных с данными, рассчитанными по формуле [c.217]

При переходе от уравнений для потока вязкой жидкости к уравнениям ламинарного пограничного слоя Л. Прандтлем показано, что для тонкого пограничного слоя др1ду = 0. Поэтому уравнение (2-29) превращается в уравнение без членов, отвечающих осредненному движению, что приводит к обычному результату, т. е. если справедливы предположения, принятые для пограничного слоя, то давление поперек этого слоя можно считать постоянным. [c.50]

Существенные упрощения и улучшения метода Коэна и Решотко предложены в [Л. 167], где рассмотрен сжимаемый ламинарный пограничный слой с теплообменом при числе Прандтля, равном единице, и линейном законе изменения вязкости с температурой. С помощью введенных координат преобразования показано, что толщину потери импульса, коэффициент сопротивления трения и коэффициент теплообмена в сжимаемом ламинарном пограничном слое с градиентом давления и теплообменом можно выразить уравнениями, формально такими же, как и в несжимаемом пограничном слое при отсутствии градиента давления. [c.236]

Первым по времени и наиболее фундаментальным по значению явилось известное преобразование А. А. Дородницына (1942). При некоторых ограничениях (число Прандтля равно еданице, поверхность тела теплоизолирована) уравнения ламинарного пограничного слоя в газе могут быть полностью сведены к уравнениям в несжимаемой жидкости. Важную роль в теоретических исследованиях ламинарного пограничного слоя в газовых потоках (больших скоростей сыграло также преобразование переменных, предложенное Л. Хоуартом (Ргос. Roy. So . London, 1948, А194 1036, 16-42). [c.524]

Несколько особое место в этой области теории ламинарного пограничного слоя в газовом потоке занимают новые исследования, использующие разложения в степенные ряды по специально выбранным параметрам (В. Я. Шкадов, 1963) и параметрические решения универсальных уравнений пограничного слоя, о которых уже была речь в 3 (Л, Г. Лойцянский, 1965). Универсальные уравнения ламинарного пограничного слоя в однородном газе для общего случая теплопередающей поверхности тела с произвольным распределением скорости внешнего потока и при любом числе Прандтля были составлены С. М. Капустянским (1965). Тем же автором (1966) получены однопараметрическое и локально-двухпараметрическое приближения решений системы универсальных уравнений и на частном примере показано отличие этих решений от менее точного ( локально-однопараметрического ) решения К. Б. Коэна и Э. Решот- [c.524]

Книга разделена на четыре части. В первой части в двух вводных главах излагаются без применения какого бы то ни было математического аппарата первоначальные сведения из теории пограничного слоя остальные главы этой части посвящены математической и физической разработке теории пограничного слоя на основе уравнений Навье — Стокса. Во второй части излагается теория ламинарного пограничного слоя, в том числе и температурного пограничного слоя. В третьей части рассматривается переход течения из ламинарной формы в турбулентную, т. е. возникновение турбулентности. Наконец, четвертая часть посвящена турбулентным пограничным слоям. Теорию ламинарного пограничного слоя в настоящее время можно считать в основном ее содержании законченной ее физические особенности полностью разъяснены, а расчетные методы разработаны до большого совершенства и во многих случаях доведены до столь простой формы, что полностью доступны инженеру. Оставшиеся неразрешенными специальные проблемы (например, пограничный слой при течении сжимаемой жидкости и пограничный слой при наличии отсасывания) носят в основном математический характер. Вопрос о переходе ламинарной формы течения в турбулентную, которым впервые начал заниматься О. Рейнольдс в 1880 г., теперь, после нескольких десятилетий безуспешной работы, нашел удачное объяснение. Теория устойчивости В. Толмина, подвергавшаяся долгое время возражениям с различных точек зрения, подтверждена теперь в полном своем объеме весьма тщательными опытами Г. Л. Драйдена и его сотрудников. При изложении проблемы турбулентного пограничного слоя я придерживался в основном полуэмпирических теорий, связанных с представлением о пути перемешивания, введенным Л. Прандтлем. Хотя, согласно последним исследованиям, эти теории несколько недостаточны, тем не менее пока не предложено взамен их ничего лучшего, что могло бы быть непосредственно использовано инженером. Напротив, полуэмпирические теории дают на многие практические вопросы вполне удовлетворительный ответ. [c.12]

Более трудную задачу представляет собой расчет неавтомодельных пограничных слоев, когда уравнения в частных производных можно проинтегрировать только численно. (Автомодельные решения могут служить хорошей проверкой для численных решений уравнений в частных производных.) Существует обширная литература по этому вопросу, на которой мы не будем останавливаться. Небольшой раздел отведен этому вопросу в книге Шлихтинга [1968]. Блоттнер [1970] дал обзор ссылок по расчету ламинарного пограничного слоя в несжимаемой и сжимаемой жидкости. Ламинарные сжимаемые пограничные слои обсуждаются также в работе Смита и Клаттера [1965]. Патан-кар и Сполдинг [19676] рассмотрели тепло- и массонередачу в турбулентных пограничных слоях несжимаемой жидкости. Для получения решений турбулентного пограничного слоя необходимо (1) выбрать модель турбулентности (или выбрать выражения либо для рейнольдсовых напряжений, либо для длины пути перемешивания Прандтля, либо для вихревой вязкости, или, в наиболее общем случае, записать уравнение для энергии турбулентного движения) (2) вблизи стенки применить локальное решение для течения Куэтта, что обусловлено большими изменениями величин касательных напряжений в турбулентном пограничном слое. В трудах Станфордской конференции (Клини и др. [1968]) приведен обзор работ в этой области по состоянию на 1968 г. [c.451]

Для стабилизированного однофазного потока заменяют локальную скорость и температуру в ядре потока средней скоростью и средней (объемной) температурой. Так как для газов характерно число Прандтля, близкое единице, то коэффициенты мошекулярного переноса тепла и количества движения равны. Если также равны коэффициенты турбулентного переноса тепла и количества движения, то соотношение qls для турбулентного ядра и ламинарного слоя выражается одним уравнением. Так как толщина пограничного слоя мала, то отношение qjs принимается равным отношению этих величин у самой поверхности нагрева. При этом = [c.184]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...