Метод вывода уравнения Навье—Стокса

Ниже будут рассмотрены методы построения моделей сплошных сред, т. е. методы отыскания необходимого числа определяющих течение параметров и построения управляющих ими уравнений, с помощью кинетического уравнения Больцмана. В принципе соответствующие уравнения для макроскопических величин можно построить и из феноменологических (макроскопических) рассмотрений, минуя кинетическую стадию ). Однако входящие в эти уравнения кинетические коэффициенты (коэффициенты вязкости, теплопроводности, диффузии и т. п.) не могут быть найдены из феноменологических теорий и для их определения требуются дополнительные соображения или эксперименты. Так, например, при феноменологическом выводе уравнений Навье—Стокса, предполагая пропорциональность компонент тензора напряжений компонентам тензора деформаций, мы должны ввести 81 неизвестный коэффициент пропорциональности. Вводя дополнительные предположения об изотропности и однородности среды, все эти коэффициенты удается выразить через два коэффициента вязкости, кото- [c.96]

Кинетическая теория классического газа представляет собой вполне законченную область физики. Для описания газа используется уравнение Больцмана, которое решается обычно методом Чепмена-Энскога, т.е. разложением по обратным степеням члена столкновений. Тем самым из уравнения Больцмана выводятся уравнения газодинамики, т.е. уравнения Навье-Стокса. Кинетические коэффициенты этих уравнений вычисляются с помощью уравнения Больцмана. В случае очень резких градиентов, например, имеющих место в ударной волне, вместо уравнений Навье-Стокса можно воспользоваться методом моментов с той или иной процедурой замыкания высших моментов. Такой подход дает вполне удовлетворительные результаты. [c.305]

Из сказанного следует, что качественные методы все же требуют привлечения экспериментальных данных, чтобы в их выводы можно было поверить. Это связано с весьма сложным характером решений нелинейных уравнений Навье — Стокса только из вида самих уравнений ие удается угадать основные черты решения (которые сами по себе не являются сложными). Практически ие реализуемы в настоящее время, несмотря иа мощные ЭВМ, и точные решения трехмерных течений для реалистических ситуаций. Например, решение, приведенное в 8.4, является лишь одним из механизмов возникновения турбулентности. [c.217]

В настоящее время с расчетами пограничного слоя в сжимаемых газах и несжимаемых жидкостях при наличии ионизации, абляции и химических реакций имеют дело конструкторы кораблей, самолетов, ракет и многих других машин и аппаратов, в которых существует движение жидкостей. Общее количество статей, посвященных исследованию пограничного слоя, исчисляется тысячами. Таким образом, пограничный слой, наверное, существует и известно его дифференциальное уравнение. Однако до тех пор никому не удалось строго доказать существование этого слоя из уравнений Навье—Стокса. Поэтому упомянутое уравнение ниже выводится двумя приближенными методами методом оценки порядка отдельных членов уравнения Навье—Стокса и методом масштабных преобразований. [c.256]

Вывод сопряженного уравнения гидродинамики установившегося потока. Рассмотрим метод сопряженных функций применительно к исследованию гидродинамики в каналах с теплоносителем. Дифференциальное уравнение гидродинамики Навье—Стокса для общего случая переменной плотности и вязкости жидкости имеет вид (571 s [c.67]

Изложение материала в книге отражает осознание того, что сложный характер современных технических задач требует отдавать должное общим (так же как и специальным ) методам решений. Все возрастает важность того, чтобы были уяснены границы областей применения специальных методов решения. Авторы считают, что для сегодняшних студентов более пригоден такой подход, при котором ударение делается на фундаментальных взаимосвязях в их общей форме, а частные примеры излагаются как специальные случаи, вытекающие из общего. Именно поэтому одной из особенностей данного курса является то, что общие уравнения движения Навье — Стокса вводятся вначале и затем даются их приложения к различным специальным случаям. Для вывода общих уравнений движения 10 [c.10]

В настояшей работе рассматривается использование уравнений движения жидкости в напряжениях, а также аналогичные уравнения теории упругости для решения задач движения в своих областях. В результате такого сравнительного анализа на уровне вывода обших уравнений уточнены связи между ними и известными уравнениями, что в целом составляет содержание самостоятельного метода расчета движения жидкости. Этот метод, как будет показано далее, не связан явным образом с системой Навье-Стокса. [c.39]

Из анализа решения уравнений Навье — Стокса для перехода через скачок следует интересный вывод о том, что это решение существует для ударных волн произвольной интенсивности (0 Р2< ° )- Если же уравнения движения обобщить, введя в них члены, которые становятся существенными в течениях с большими градиентами (уравнения Барнета), то оказывается, что профиль начинает совершать затухающие колебания при М1 > 1,23 (Цоллер [27]), а при М1 > 2,36 вообще не существует решения задачи о переходе через скачок. По расчетам Града решение задачи о переходе через скачок перестает быть верным при некотором значении М1, при котором его метод неприменим (Мх= 1.65). Согласно этому методу применение уравнений Навье — Стокса ограничено условием М1 < 1,2. [c.154]

Уравнение Эйлера (26а) определяет движение идеальной жидкости. Для получения уравнений гидродинамики реальной (вязкой) жидкости или газа надо искать решение уравнения Больцмана, отличное от локального распределения Максвелла. Мы получим тогда уравнения Навье—Стокса, Барнетта и т. д., в которых коэффициенты вязкости, теплопроводности и диффузии выражаются через молекулярные характеристики. Эти уравнения представляют собой замкнутую систему уравнений термодинамики необратимых процессов. Такой вывод этих уравнений в общем случае выходит за рамки нашего курса. Мы ограничимся здесь только характеристикой методов решения кинетического уравнения Больцмана и рассмотрим ряд частных задач статистической теории неравновесных систем. [c.142]

Многие авторы предпочитают выводить дифференциальное уравнение движения пограничного слоя из более общего уравнения Навье—Стокса (4-13), пользуясь методом оценки порядка величины отдельных членов уравнения. Этот метод показывает, что уравнение (7-1) справделиво лишь при iRei= ( o.px/ i) > 1. [c.103]

Особый интерес представляет предложенное Эмерслебеном аналитическое решение уравнений Навье — Стокса для течения, параллельного круговым цилиндрам одинакового радиуса, расположенным в узлах квадратной решетки. Он представил квадратную решетку, образованную круговыми сечениями цилиндров, как набор контуров, на которых некоторая периодическая функция, а именно дзета-функция Эпштейна 2-го порядка [22], принимает постоянное значение. Такое представление все более ухудшается с уменьшением порозности, хотя эта функция хорошо аппроксимирует контуры истинных сечений при значениях порозности, суш,е-ственно превосходящих 8 = 0,8. Например, при г = 0,9 из уравнения Эмерслебена следует, что к = 6,3. Это хорошо согласуется 0 значением к = 7,3 из табл. 8.4.2. При меньших порозностях согласие хуже, но по мере увеличения порозности оно становится особенно хорошим. Как отмечалось выше, Хасимото [47] применил сходные периодические решения к исследованию разбавленных решеток сфер и цилиндров. В своем исследовании он использовал постоянную Маделунга, которая выводится из дзета-функции Эпштейна третьего порядка. Для концентрированных облаков сфер все еш,е нет точного решения, основанного на этом обш,ем методе. [c.458]

К спорным вопросам методики изложения, принятой в настоящем курсе, мы относим, например, предлагаемый авторами способ вывода общего уравнения энергии на основе первого начала термодинамики ( 4-2). Нам представляется, что традиционный способ использования первого начала термодинамики при выводе уравнения энергии, принятый в лучших отечественных курсах газовой динамики, является более корректным и дает возможность яснее представить сущность делаемых при этом термодинамических допущений. Недостаточно ясна с математической точки зрения трактовка понятий материального метода и метода контрольного объема в 3-6. Оба метода опираются на эйлерово представление о движении жидкой среды. Их противопоставление, как нам кажется, носит иногда искусственный характер. При выводе общих уравнений движения вязкой жидкости — уравнений Навье — Стокса — авторы, видимо, следуя Г. Шлихтингу , опираются на аналогию с напряженным состоянием упругого тела. При этом предполагается знание читателем некоторых вопросов теории упругости. Вряд ли такой способ вывода фундаментальных гидродинамических уравнений будет удобен для любого читателя. Еще одним спорным в методическом отношении местом является то, что изложение теории турбулентного пограничного слоя опережает изложение представлений о турбулентном течении в трубах. Между тем, как известно, теория пограничного слоя использует некоторые зависимости, устанавливаемые при изучении течений в трубах. Поэтому, может быть, естественнее начинать изложение вопроса [c.7]

Введение. Дифференциальные уравнения Навье—Стокса представляют собой систему нелинейных уравнений в частных производных второго порядка. Точные аналитические решения этих уравнений в подавляюш ем большинстве случаев встречают не преодоленные пока еш,е трудности. Число известных в настояш ее время точных решений весьма невелико. Поэтому при интегрировании уравнений Навье— Стокса получили сравнительно широкое распространение и численные приближенные аналитические методы. К числу последних и относится теория гидродинамического пограничного слоя. Основная идея и первоначальная разработка этой теории принадлежат Прандтлю [251, который в 1904 г. пришел к выводу о том, что между потоком жидкости или газа и плавно омываемым ими телом при достаточно большом числе Рейнольдса существует тонкий пограничный слой, в котором сосредоточено почти все вязкое трение. Вне этого тонкого слоя силы вязкости пренебрежимо малы, и в этом случае жидкость (или газ) можно рассматривать в качестве невязкой. [c.256]

В настоящей работе с учетом сжимаемости среды обобщена известная модель, используемая для описания тонких вихрей в несжимаемой жидкости [1-5]. Отличие состоит прежде всего в том, что в этом случае появляется еще один размерный параметр, связанный со скоростью звука и циркуляцией во внешнем, окружающем вихрь потоке. Этот параметр определяет размер внутреннего ядра сжимаемого вихря, течение в котором характеризуется крайней степенью разреженности. Вихри такого рода неоднократно наблюдались экспериментально [6-7]. Наличие вязкости приводит к появлению на границе ядра слоя, аналогйчного слою смешения. Дальнейшее течение описывается системой квазицилиндрического приближения для тонких, осесимметричных стационарных вихрей, полученной из уравнений Навье - Стокса предельным переходом для больших чисел Re. Эта система является системой уравнений параболического типа, для решения которых при отсутствии особенностей существуют хорошо разработанные численные методы. На большом удалении от начального сечения вихря функции течения представляются в виде асимптотических разложений, что может быть использовано для дополнительного контроля точности численных результатов. Особый интерес представляет сравнение расчетов с экспериментальными данными. Это позволяет сделать важные выводы не только относительно пределов применимости теоретической модели, но и об общем характере течения в тонких вихрях сжимаемого газа. [c.106]

На двух примерах обнаруживается удивительное совпадение между порядком уравнений систем Эйлера и Навье— Стокса и числом членов в ряде (3.8.1). Взяв один член ряда, получим систему Эйлера, уравнения которого имеют первый порядок, а взяв два, — уравнения системы Навье—Стокса, имеющие второй порядок. Если с помощью метода Энскога получить уравнения сохранения в третьем приближении, то мы получим систему Барнетта, уравнения которой имеют третий порядок. Эта система уравнений имеет довольно громоздкий вид, и ее вывод лежит за рамками данного курса. [c.139]

Как известно, уравнения переноса количества движения и энергии в современной молекулярно-кинетической теории выводят, исходя из решений так называемого интегро-дифференциального уравнения Больцмана. Решение уравнения Больцмана в первом приближении, т. е. когда можно пренебречь градиентами скоростей и температур по средней длине свободного пути молекул, приводит к уравнениям движения газа в форме Навье — Стокса. Второе приближение, найденное Барнетом по методу Энского—Чепмена, вводит в систему уравнений движения и теплового потока принципиально новые члены, которые существенным образом меняют законы дисперсии акустических волн. В этом случае в какой-то степени уже учитывается изменение градиентов скоростей и темпёратур на средней длине свободного пути молекул. Существует решение уравнения Больцмана и в третьем приближении. Оно 54 [c.54]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...