Гидродинамические уравнения идеальной жидкости

Гидродинамические уравнения идеальной жидкости 166 [c.290]

Коэффициент oLp в нелинейном члене определяется путем соответствующего разложения гидродинамических уравнений идеальной (без диссипации) жидкости и оказывается равным [c.491]

Как уже было указано в начале 1, состояние движущейся жидкости определяется пятью величинами тремя компонентами скорости V и, например, давлением р и плотностью р. Соответственно этому полная система гидродинамических уравнений должна содержать пять уравнений. Для идеальной жидкости этими уравнениями являются уравнения Эйлера, уравнение непрерывности и уравнение, выражающее адиабатичность движения. [c.19]

В конце 2 было указано, что полная система гидродинамических уравнений должна содержать пять уравнений. Для жидкости, в которой имеют место процессы теплопроводности и внутреннего трения, одним из этих уравнений является по-прежнему уравнение непрерывности уравнения Эйлера заменяются уравнениями Навье — Стокса. Что же касается пятого уравнения, то для идеальной жидкости им является уравнение сохранения энтропии (2,6). В вязкой жидкости это уравнение, разумеется, не имеет места, поскольку в ней происходят необратимые процессы диссипации энергии. [c.270]

Газ или жидкость гидродинамически описывается в том или ином приближении в зависимости от используемого при этом решения кинетического уравнения Больцмана для функции распределения /(г, V, t). Так, при локально равновесном максвелловском распределении /о (8.6) жидкость описывается гидродинамическим уравнением как идеальная сплошная среда — без вязкости и теплообмена между различными ее участками. В самом деле, тензор внутреннего напряжения (8.16) при f = fo равен [c.141]

Выше мы имели возможность убедиться, что в случае безвихревого движения жидкости значительное упрощение решений гидродинамических задач достигается введением потенциала скорости ф. Но эта функция существует только при отсутствии вихрей и потому при изучении течений вязкой жидкости важно выяснить, может ли существовать ее безвихревое движение, а следовательно, и потенциал скорости. Напомним, что уравнения движения вязкой жидкости отличаются от уравнений идеальной [c.323]

В различных точках движущейся жидкости в результате действия внешних сил возникает давление, называемое гидродинамическим в отличие от гидростатического, свойственного жидкости, находящейся в равновесии, Поэтому одной из задач гидродинамики является определение величин гидродинамического давления, возникающего внутри жидкости, а также скоростей движения жидкости в различных точках пространства, занятого движущейся жидкостью. Для решения этих задач необходимо составить уравнения движения жидкости, связывающие между собой скорости и ускорения с силами, действующими на жидкость. Рассмотрим движение элементарного жидкого тела в виде параллелепипеда, выделенного в потоке идеальной жидкости (рис. 3.8). Введем следующие обозначения р — гидродинамическое давление и — скорость движения жидкости в точке пространства с координатами х, у, z и , и — составляющие скорости и по осям координат (рис. 3.8). [c.72]

Гидродинамическая аналогия. Рассмотрим возможность моделирования процессов двухмерной стационарной теплопроводности безвихревым потоком идеальной жидкости. Для идеальной жидкости известно следующее уравнение для функции тока [c.98]

Метод аналогий базируется на тождественности уравнений, характеризующих распределение напряжений в упругом теле, уравнениям, описывающим другие физические явления (механические, гидродинамические, электрические и др.). Например, закон распределения напряжений при растяжении стержней математически тождественен закону распределения скоростей потока идеальной жидкости при установившемся движении- в русле, геометрически подобном очертанию растягиваемого стержня. Совпадение указанных законов обусловлено тем, что дифференциальные уравнения силовых линий при растяжении тождественны уравнениям линий тока жидкости. На этом принципе основан метод гидродинамической аналогии. [c.7]

В общем случае пространство конфигураций не имеет ничего общего с реальным физическим пространством. Однако пространство конфигураций одной частицы совпадает с физическим пространством. Различные траектории в пространстве конфигураций представляют собой траектории самой частицы, относящиеся к разным начальным условиям. Эти траектории могут также рассматриваться как линии тока так называемой идеальной жидкости , т. е. физической жидкости (необязательно несжимаемой), которая не обладает вязкостью и имеет постоянную температуру. На частицы такой жидкости действуют, конечно, силы со стороны окружающих частиц, но из гидродинамических уравнений Эйлера видно, что эти силы имеют потенциал и эквивалентны некоторой внешней моногенной силе. Следовательно, выполняются условия применимости принципа Гамильтона, и линии тока движущейся жидкости совпадают с линиями тока в пространстве конфигураций, к которым применима теорема о циркуляции. Мы получаем таким образом теорему Гельмгольца о циркуляции, которая утверждает, что [c.213]

Поле скоростей потока при обтекании шара идеальной жидкостью может быть определено в безразмерных координатах по следующим гидродинамическим уравнениям Г. Ламба [Л. 5] [c.10]

Таким образом, решение задачи (53) разбивается на две части, которые можно выполнять независимо. Первая, гидродинамическая часть задачи, сводится к решению некоторых стандартных краевых задач, зависящих от формы полости и не зависящих от движения тела, и затем к вычислению коэффициентов, характеризующих влияние жидкости иа движение тела. Вторая, динамическая часть задачи, сводится к решению уравнений движения тела н не требует решения уравнений с частными производными. В значительной степени ход решения подобен тому, который имеет место для идеальной жидкости. [c.297]

При Li =0 уравнение (2.1.18) сводится к хорошо известному уравнению Эйлера для невязкой, или идеальной, жидкости. В случае безвихревого течения V X v = О получаются уравнения потенциального течения. Они представляют основу для решения многих проблем классической гидродинамической теории. Так как стационарные потенциальные течения не оказывают воздействия на неподвижные твердые тела, теория обычно правильно описывает течение жидкости только вдали от ее границ. [c.44]

Фундамент аналитической гидромеханики с четким понятием внутреннего гидродинамического давления, со строгим и ясным выводом уравнений движения идеальной жидкости содержится в нескольких работах Эйлера, относящихся к 1750—1766 гг. [c.187]

Гидродинамика идеальной жидкости. Имея полный набор законов сохранения и следуя схеме, изложенной в предыдущем параграфе, теперь нетрудно вывести гидродинамические уравнения для однокомпонентной жидкости. Для простоты мы ограничимся марковскими уравнениями (8.1.19), которые справедливы с точностью до второго порядка по градиентам. [c.165]

Гидродинамика идеальной сверхтекучей жидкости. Перейдем к выводу гидродинамических уравнений для сверхтекучей жидкости. Как и в случае обычной жидкости, исходными являются локальные законы сохранения. В операторной форме они имеют вид уравнений движения [c.196]

Для идеальной сверхтекучей жидкости средние значения в (8.4.61) и (8.4.62) вычисляются с локально-равновесным распределением, т. е. система гидродинамических уравнений записывается в виде [c.197]

Явное вычисление средних в правых частях этих уравнений является более сложной задачей, чем вычисление потоков для классической идеальной жидкости. Основная проблема опять состоит в том, что в гидродинамике сверхтекучести приходится иметь дело с двумя полями скоростей и Поэтому невозможно исключить конвективное движение путем перехода в движущуюся систему координат. Чтобы выразить локально-равновесные средние через гидродинамические переменные, мы воспользуемся специальной процедурой, основанной на тождестве (8.4.53). [c.197]

Подведем итоги. Полная система гидродинамических уравнений для идеальной сверхтекучей бозе-жидкости состоит из уравнений (8.4.63) со средними потоками (8.4.75) и дополнительного уравнения (8.4.66) для скорости сверхтекучего движения. Эти уравнения впервые были получены Ландау [22] в рамках феноменологической теории. Впоследствии уравнения Ландау были выведены Боголюбовым [5], который использовал микроскопический гамильтониан и явные выражения для операторов потоков. Хотя вывод Боголюбова был основан на той же идее, что скорость сверхтекучего движения связана с фазой волновой функции конденсата, изложенный здесь подход обладает тем преимуществом, что в нем не приходится иметь дело с громоздкими формулами для операторов микроскопических потоков. Мы видели. [c.199]

ЧТО С ПОМОЩЬЮ локально-равновесного распределения все члены в гидродинамических уравнениях для идеальной сверхтекучей жидкости довольно легко находятся из тождества (8.4.53) и правил преобразования операторов потоков ). [c.200]

Теперь нужно исключить оставшиеся производные по времени в (8В.1). Как мы знаем, это можно сделать с помощью проекционных операторов, но в данном случае можно пойти более простым путем и воспользоваться линеаризованными гидродинамическими уравнениями для идеальной сверхтекучей жидкости ). [c.212]

Вывести уравнение баланса энтропии (8.2.44) в идеальной жидкости. Указание. Используя определения (8.2.21) гидродинамических переменных и явные [c.215]

Закон Дарси (10.2.10) и его обобщения, справедливые в линейной фильтрации (которые все в дальнейшем будем называть коротко законом Дарси), устанавливают зависимость между расходом жидкости, связанным с физической скоростью и скоростью фильтрации, гидродинамическим давлением, плотностью жидкости и ее вязкостью. Таким образом, это динамический закон, который в теории линейной фильтрации играет такую же роль, как и уравнение Навье—Стокса в теории движения вязкой жидкости и уравнение Эйлера в теории движения идеальной жидкости. [c.264]

Таким образом, задание функции w(z) дает полную геометрическую и кинематическую характеристику некоторого плоскопараллельного движения идеальной жидкости. Распределение гидродинамического давления можно находить из уравнения Лагранжа. [c.289]

Принципиальный интерес связан с необычным характером ударного сжатия вещества, которое происходит чрезвычайно быстро и, в отличие от изэнтропического, сопровождается резким возрастанием энтропии газа. В рамках гидродинамики идеальной жидкости, когда не учитываются диссипативные процессы (вязкость и теплопроводность), ударные волны появляются как поверхности математического разрыва в решениях дифференциальных уравнений. Гидродинамические величины по обе стороны разрыва связаны между собой и со скоростью распространения разрыва законами сохранения массы, импульса и энергии. При этом необратимость ударного сжатия и возрастание энтропии газа, протекающего через разрыв уплотнения, вытекают из этих законов. На самом деле во фронте ударной волны, который представляет собой, конечно, не разрыв, а тонкий переходный слой, протекают диссипативные процессы, о чем и свидетельствует факт возрастания энтропии. И действительно, в рамках гидродинамики вязкой жидкости разрывы исчезают и превращаются в слои резкого, но непрерывного изменения гидродинамических величин. [c.208]

Это выражение является следствием гидродинамической аналогии (параграф 83). Действительно, если идеальная жидкость циркулирует по лотку, имеющему вид кольцевого сечеиия части трубы, то количество жидкости, проходящее через каждое сечение лотка, должно оставаться постоянным, что и выражено уравнением [ ]. Подставив выражение [/j вместо т в уравнение [ ] и выполнив интегрирование, найдем [c.301]

В завершение нашего анализа сверхтекучей гидродинамики сделаем несколько замечаний. Во-первых, напомним, что диссипативные члены были получены в линейном приближении по скоростям и В принципе, исключая временные производные термодинамических параметров в операторе производства энтропии с помощью нелинейных гидродинамических уравнений идеальной сверхтекучей жидкости, можно получить более общие выражения для диссипативных членов, зависящие от относительной скорости Vs — п- Феноменологический вывод подобных членов приводится, например, в уже цитированной книге Паттермана [143]. Более серьезным ограничением изложенного здесь подхода является предположение о том, что ротор скорости сверхтекучего движения V х всюду равен нулю. Это предположение становится [c.206]

Уравнение (1.1.1) получено для возмущений типа двумерного волнового пакета (1.1.2), исходя из метода многих масштабов идеи Мандельштама - представление суммы гармонических волн в виде квазимонохроматической волны. Это позволило учесть растущие и взаимодействующие возмущения на разных масштабах. При определенных упрощениях ОНПУ приводится к уравнению Гинзбурга-Ландау, а для консервативных сисч вм физики плазмы и гидродинамики идеальной жидкости - к нелинейному уравнению Шредингера. Уравнение, подобное (1.1.1), широко применяется для исследования различных гидродинамических (9-131, физических [14] и химических процессов [6-8, 11]. [c.11]

Гидродинамическая аналогия, основанная на тождественности в формально математическом смысле между функцией тока "и потенциалом скорости идеальной жидкости в иевихревом потоке и функцией теплового потока и тем пературы в системе без источников тепла, была использована Муром и другами авторами для решения двухмерных задач стационарной теплопроводности [Л. 39]. В дальнейшем область применения этой модели была расширена на системы с распределенными источниками [Л. 43]. В 1928 г. Эмануэлем и несколько позднее Д. В. Будриным были сконструированы и построены модели, основывающиеся на аналогии математических соотношений, описывающих распределение температуры в твердом теле и распределение напоров в воде, движущейся через капиллярные трубки [Л. 49]. Установки, названные гидравлическими интеграторами, позволили решать задачи нестационарной теплопроводности и массопроводности. В. С. Лукьяновым позднее был разработан ряд ицтеграторов для решения двух- и трехмерных задач тепло- и массопроводности [Л. 50], а Будриным [Л. 51] — гидростатические интеграторы для решения нелинейных уравнений переноса параболического типа. [c.90]

Фридман и Тамаркин рассматривают также вопрос о распространении разрывов в вязкой сжимаемой жидкости. В связи с тем что уравнения Навье-Стокса отличаются по форме от уравнений Эйлера для идеальной жидкости (в последние не входят производные второго порядка от компонент скорости), им приходится несколько изменить тип изучаемого разрыва. Они считают в этом случае, что производные первого порядка от слагаюгцих скорости непрерывны, а терпят эазрыв производные второго порядка. Остальные неизвестные функции ведут себя так же, как в случае разрывов первой ступени, т.е. разрыв претерпевают первые производные от давления и от удельного объема и первые или вторые производные от температуры. Такой разрыв авторы называют гидродинамическим разрывом второй ступени. [c.223]

Общие уравнения гидродинамической теории фильтрации были проанализированы в 1889 г. Н. Е. Жуковским который заменил эффект вязкого тре- 73 ния в потоке эквивалентной ему объемной силой, определенной согласно закону Дарси. В результате гидродинамика вязкой жидкости в пористой среде была сведена к гидродинамике фиктивной идеальной жидкости при действии дополнительных пропорциональных скорости сил, направленных против движения. При этом общее уравнение движения (в пренебрежении инерционными членами) оказалось уравнением Лапласа. В качестве самостоятельного раздела гидродинамики теория движения грунтовых вод оформилась в трудах американского гидрогеолога Ч. Сликтера [c.73]

Первые исследования гидродинамической неустойчивости для случая идеальной жидкости были предприняты еш,е в XIX в. Так, в 1868 г. Г. Гельмгольц показал абсолютную неустойчивость тангенциальных разрывов скорости в потоке. Обширные исследования устойчивости и неустойчивости плоскопараллельных течений идеальной жидкости при малых возмуш ениях провел Рэлей в 1880—1916 гг. Приложение аналогичных методов к течениям 296 вязкой жидкости было начато в начале XX в. В. Орром и А. Зоммерфель-дом , которые свели анализ устойчивости малых возмущений к исследованию некоторого обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка (содержаш,его коэффициент вязкости множителем при старшей производной). [c.296]

Подставив оператор производства энтропии (8.4.87) в неравновесное распределение (8.4.82), можно, в принципе, вычислить средние значения в правых частях уравнений (8.4.61) и (8.4.62). Для не слишком быстрых процессов достаточно марковского приближения. Напомним, что обычно марковское приближение в гидродинамических уравнениях означает, что dS t 1 )/dt dS t)/dt. Иначе говоря, предполагается, что термодинамические параметры, описывающие неравновесное состояние, мало изменяются за время затухания корреляционных функций микроскопических потоков. Однако в случае сверхтекучей жидкости правило перехода к марковскому приближению нужно уточнить. Дело в том, что первый оператор в формуле (8.4.92) явно зависит от времени через локально-равновесную волновую функцию конденсата ФДг, ), которая быстро осциллирует. В приближении идеальной жидкости можно положить d4fi/dt = дф/dt)i, где локально-равновесное среднее определяется выражением (8.4.65). Опуская там все слагаемые, зависящие от и v , получаем [c.203]

Заканчивая рассмотрение примеров использования приближённого метода Озеена, заметим, что с помош,ью предложенных им уравнений им самим и его учениками развита так называемая теория исчезающей вязкости. На основании дифференциальных уравнений с частичным учётом квадратичных членов инерции Озееном ) построено решение задачи об обтекании выпуклого тела безграничным потоком в интегральном виде. Устремляя в этом решении коэффициент вязкости к нулю, Озеен получил течение идеальной жидкости с наличием разрыва впереди и сзади тела. Этот результат послужил основанием к постановке новой гидродинамической задачи об обтекании тела идеальной жидкостью с разрывными граничными условиями. [c.252]

Как известно, движение идеальной жидкости характеризуется отсутствием в ней сил внутреннего трения, вызывающих появление касательных напряжений. Поэтому силы гидродинамического давления в потоке подобной жидкости, как и в случае покоя, имеют только нормальную составляющую. Это позволяет при выводе дифференциальных уравнений движения воспользоваться полученными ранее (см. 7) дифференциальными уравнениями гидростатики (2.5) — 2.5") Х— 1/р) др1 /с1х)=0-, У- Цр)(др1ду)=0-, 2- 1/р)(др/дг)=0. [c.90]

Одним из мощных методов исследования гидродинамических движений является метод подобия. Применение этого метода основано на том, что уравнения гидродинамики идеальной жидкости не содержат каких-либо характерных постоянных с размерностью длины или времени. Масштаб движения в каждом конкретном случае задается начальным распределением, которое предполагается известным заранеё. Таким образом, имеется возможность для пересчета движений различного масштаба посредством преобразования подобия, сохраняющего неизменными уравнения движения. Это обстоятельство широко используется в экспериментальной практике, когда необходимо воспроизвести явление большого масштаба в лабораторных условиях. Метод подобия эффективно применяется и для интегрирования дифференциальных уравнений движения. Часто оказывается возможным выбрать начальное распределение таким образом, чтобы последующие распределения в различные моменты времени были подобны друг другу. Такое движение называют автомодельным. Автомодельность движения дает возможность уменьшить число независимых переменных, что значительно упрощает проблему отыскания решения, а в некоторых случаях позволяет получить решение задачи в аналитической форме. [c.270]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...