Пространство с мерой

Заметим, что эргодическая теория состоит из двух частей ) Абстрактная, или чисто метрическая эргодическая теория. В ней рассматриваются преобразования в некотором пространстве с мерой, сохраняющие последнюю. [c.382]

Мы опишем гиббсовские меры как меры, па которых достигает максимума некоторая величина, аналогично тому, как зто делалось в лемме I.I. Если W= Сь...,С —разбиение пространства с мерой (X, Э, ц.) (т. с. С, попарно не пересекаются и = и С ), то его энтропией называется число [c.28]

Определение 4.2.9. Совокупность il измеримых множеств в пространстве с мерой (X, ) называется плотной, если для любого измеримого множества А и любого е > О найдется такое Л 6 И, что [c.162]

Это утверждение верно для сохраняющих меру преобразований пространства с мерой. Чтобы убедиться в этом, следует заменить в приведенном доказательстве использование =к-слабой топологии некоторыми соображениями из теории меры. [c.634]

За доказательством этой теоремы мы отсылаем читателя к теореме С из раздела 41 [111]. Каждая мера канонически продолжается до полной меры на пополнении 5. Например, отметим, что 7--алгебра измеримых по Лебегу множеств представляет собой пополнение относительно меры Лебега сг-алгебры борелевских множеств. Пусть (Х,5,ц) и (Y,T,v) — пространства с мерами. Тогда отображение f X - У (определенное п. в) называется изоморфизмом пространств с мерами X и У, если / индуцирует изоморфизм S - Т пополнений S и Т. Пространства с мерами могут быть, таким образом, классифицированы с точностью до изоморфизма, и они изоморфны тогда и только тогда, когда их измеримые сг-алгебры изоморфны. [c.715]

Базисом В пространства с мерой (X, S, fi) называется такая счетная совокупность множеств B = о единение которых совпадает со всем пространством X, что выполнено [c.715]

Теорема П 6.3. Пространство с мерой (X, S, /г) изоморфно стандартному пространству с мерой ([0,1], М, Л), где М — (г-алгебра измеримых по Лебегу множеств на [О, 1], тогда и только тогда, когда fi —неатомарная сепарабельная вероятностная мера с полным базисом. В этом случае каждый базис полон. [c.715]

Если (X, S, fi)vi (X, Т, v) — пространства с мерой, то мера v называется абсолютно непрерывной относительно fi (обозначение и < fi), если каждое множество нулевой fi-меры пренебрежимо для V. [c.715]

Пусть (X, р) и (F, q) — два пространства с мерами, соответственно, р п q, (М, /л) — прямое произведение М = X х Y, снабженное мерой jt = р q. [c.143]

В эргодической теории тоже имеются понятия, играющие роль морфизмов (т. 2). Основное из них—метрический изоморфизм ДС с инвариантными мерами. От топологического изоморфизма он отличается тем, что является не гомеоморфизмом, а изоморфизмом пространств с мерой. [c.165]

Ц1 (Ж/) = Ц2( 20== и изоморфизм I Мх, Жх, 1их) М2, пространств с мерой М/, М2, при котором =Ф7 [c.9]

Теорема 2.1 (теорема Пуанкаре о возвращении, см. [24]). Пусть (Л1, Ж, ji)—пространство с мерой, Т . М М — его эндоморфизм. Тогда для любого С Ж, fi( )>0, почти каж- [c.16]

Пусть Т — автоморфизм или эндоморфизм пространства с мерой (М,Ж,1х,), а Ж, ц). В теореме Биркгофа—Хин- [c.19]

Специальные потоки и специальные представления потоков. Пусть T есть автоморфизм пространства с мерой (Ail, Hi) и Ли j,i), />0. Рассмотрим новое про- [c.33]

В различных приложениях теории динамических систем важную роль играют временные корреляционные функции и их преобразования Фурье. Пусть Г —поток на пространстве с мерой М, Ж, и), Ж, л) — функция на фазовом прост- [c.35]

Эргодические теоремы. Первые работы о действиях произвольных групп на пространствах с мерой были посвящены, в частности, обобщению эргодических теорем (например, [61]). [c.81]

Для общих динамических систем на пространстве с мерой траекторный изоморфизм — понятие намного более грубое, чем топологическая орбитальная эквивалентность, т. к. непрерывность отображения заменяется требованиями измеримости и сохранения меры не требуется сохранения ориентации и, наконец, разрешается пренебрегать множествами меры нуль. [c.92]

Пусть теперь Р — вероятностная мера на фазовом пространстве (М, Ж). Рассмотрим однопараметрическую группу автоморфизмов t R пространства с мерой (М, Ж, Р), которая порождается бесконечной системой дифференциальных уравнений (10.35). Формально это означает, что для любых гладких локальных функций /, g, зависящих от координат и импульсов частиц, находящихся в ограниченной области пространства выполнено соотношение [c.257]

Пусть теперь Но и Н реализованы, как Ь2 Мо ,(1то) и Ь2 М]с1т), где Мо,М—абстрактные пространства с мерами с/шо, (1т. Тогда любой оператор А 2 действует как интегральный, т.е. [c.56]

Другими словами, векторы дифференциалов смещений по р-мер-ной поверхности принадлежат р-мерному линейному пространству с базисными векторами 1,..., р. Пространство назовем касательным к поверхности S . [c.313]

Из приведенного выше примера очевидно, что евклидова геометрия дает правильное описание свойств маленького треугольника на обыкновенной двумерной сферической поверхности, а отклонения от евклидовой геометрии становятся все более значительными по мере увеличения размеров. Для того чтобы убедиться, что наше трехмерное физическое пространство действительно является плоским, нам надо произвести измерения с очень большими треугольниками, вершины которых образованы Землей и удаленными звездами или даже галактиками. Однако мы сталкиваемся с такой трудностью наше положение определяется положением Земли, и мы еш,е не имеем возможности передвигаться в космическом пространстве с масштабными линейками, чтобы измерять стороны и углы астрономических треугольников. Как же мы можем проверить справедливость евклидовой геометрии в отношении описания измерений в мировом пространстве [c.27]

Эта система представляет собой математическую тепловую модель ЭМУ для средних температур его элементов, а исходная система из 11+Л тела (рис. 5.5) — ее топологическую интерпретацию, т.е. тепловую схему замещения, наглядно выражающую структурные связи при замене пространства с распределенными параметрами моделью с сосредоточенными параметрами. Данная ТС, представляя аналог, соответствующей электрической цепи, также позволяет в полной мере использовать методы и средства решения задач электротехники. [c.126]

В Э. т. осн. объект исследования—динамич. система (ДС), понимаемая как группа (или полугруппа) преобразований нек-рого пространства с мерой, сохраняющих эту меру. В применении к консервативным ДС, описываемым дифференц. ур-ниями, речь идёт о семействе сдвигов вдоль фазовых траекторий, а роль сохраняющейся (инвариантной) меры играет фазовый объём. В общем случае пространство с мерой—это тройка (X, si, ц), в к-рой X— произвольное множество с выделенным семейством j/ его подмножеств (ст-алгеброй измеримых подмножеств), содержащим само X в качестве одного из элементов и замкнутым относительно теоретико-множественных операций (объединения и пересечения конечного или счётного числа множеств и перехода от любого множества к его дополнению). Мера 1—это неотрицательная ф-ция, заданная на. 5/ и обладающая свойством счётной аддитивности если Ai, Ai,...— множества из. af, к-рые попарно не пересекаются, то мера их объединения равна сумме мер. Если ц(Л <со, то ц можно нормировать, поделив на х(А , и считать (X,, ц) вероятностным пространством (см. Вероятностей теория). Для ДС, отвечающей гамильтоновой системе дифференциальных ур-ний, в качестве X можно взять любую гиперповерхность постоянной энергии, а в качестве ц—меру, индуцированную на этой гиперповерхности фазовым объёмом. Всюду в дальнейшем предполагается, что рассматриваемые ДС определены на вероятностном пространстве. [c.625]

Эргодическая теория. Фазовое пространство X является хорошим пространством с мерой, т. е. пространством Лебега (см. 6 приложения) с конечной или сг-конечной мерой д. Мы можем рассматривать в качестве структ уы на X либо меру д саму по себе, либо класс эквивалентности, который определяется совокупностью всех множеств меры нуль. Соответственно эргодическая теория изучает группы или полугруппы измеримых преобразований пространства X, которые либо сохраняют меру д, либо преобразуют ее в эквивалентную меру. В последнем случае мера д называется квазшнваршнтной мерой. В этой книге эргодическая теория играет важную, но вспомогательную роль. Она задает концептуальные и технические средства для исследования асимптотических распределений и статистического поведения орбит гладкой динамической системы. Некоторые основные понятия и результаты эргодической теории обсуждаются в гл. 4. [c.20]

Для пространства с мерой (Х,ц) и m N рассмотрим пространство всех классов эквивалентности mod О разбиений X в не более чем т измеримых множеств. Добавляя в случае необходимости множества меры нуль, мы можем считать, что каждое разбиение из содержит в точности т элементов. Для рассмотрим теперь множество взаимно однознач- [c.175]

Теорема П 2,6 (теорема Рисса о представлении). Пусть X, ц) — пространство с мерой, 1<р<оо и = 1. Тогда пространство (Ь ) естественно изометрически, изоморфно пространству Ь , т. е. если / то существует такое ф что [c.700]

XIII.4.1. Пусть (х, Я, ц) — пространство с мерой, функции fn измеримы, 0 geL (X. (ii). lfn(- )l почти всюду и либо [c.559]

Устойчивость по Пуассону. Пусть (Л1,5, ц)—патное пространство с мерой здесь 5 — о-алгебра подмножеств М, ц — счетно-аддитивная мера на 5. Рассмотрим сохраняющий меру автоморфизм ц множества М. Множество [c.88]

Существование аднабаттеск1ьх инвариантов позволяет ввести в < )азовом пространстве с мерой А системы функций g(i), зависящих юлько от энергии. Задавая их значения, кратные А, можно построить гиперповерхности, разбивающие фазовое пространство системы на элементарные области вероятности. Любая фазовая трае ктория не может пересекать эти поверхности. [c.120]

Поток Г, 0,, Т ) определяется в классической механике ) как однопараметрическая группа Г< автоморфизмов (тодО) (зависящих измеримым образом от t) пространства с мерой (Г, х). Этому определению соответствует однопараметрическая группа U(p(t) унитарных операторов, определяемых соотношением [c.81]

Пусть теперь М, Ж, ц) — пространство с мерой т. е. М Ж)—измеримое пространство, а ц — неотрицательная мера на -Ж. Всюду в дальнейшем, если не о1говорено противное, мера ц считается нормированной [ , М)—, т. е. (М,Ж,11) — вероятностное пространство. Введем меру V на Ж, определенную равенством у(С) =ц(Г 1С) для любого СеЖ. Говорят, что преобразование Г переводит меру ц в меру V, и -V называют образом меры р. под действием Т. Часто также обозначают V через Т ц. [c.9]

Введенные понятия характеризуют в разных смыслах топологическую неразложимость Т. Иногда эти понятия относят не только к гомеоморфизмам, но и к более общим — борелевским преобразованиям топологических пространств. В 3 для динамических систем на общих пространствах с мерой будет введено понятие эргодичности, характеризующее их метрическую нер азложи мость. [c.14]

Косое произведение динамических систем. Пусть М, Ж, (г) есть прямое произведение пространств с мерой МиЖг,111) и М2,Ж2,щ)- Рассмотрим автоморфизм Г1 пространства Мг и измеримое семейство автоморфизмов ГгСАгО пространства М2, измеримым образом зависящее от Х1 М1. Последнее означает, что для любой измеримой функции f xux2) функции п х1,Х2)=ЦТ Хи Т2 х1)х2) тнкже измеримы. Введем преобразование Г, действующее по рмуле Т х, х2)=-= (Г1, хь Т2 Х )Х2). Нетрудно проверить, что Г сохраняет меру [г. Автоморфизм Г называется косым произведением автоморфизма Г1 и семейства Г2(х1) . [c.30]

Факторсистемы. Снова ограничимся для краткости случаем автоморфизмов. Пусть автоморфизмы Т н Тх действуют в пространствах с мерой (М, j , ц) и (М j i, ji,i) соответственно.. Допустим, что существует гомоморфизм ф М- Мх, перестановочный с действием Г и Гь т. е. ф(Гл)>=Г1ф х). Тогда говорят, что Тх есть факторавтоморфизм( (факторсистема) системы Т. Например, любой сомножитель прямого произведения автоморфизмов является факторавтоморфизмом прямого произведения. [c.31]

Перейдем к двойственной конструкции. Пусть Т есть автоморфизм пространства (МиЖ1,111) и (Мх, Жи и) — функция, принимающая целые неотрицательные значения, причем X Введем новое пространство с мерой М, [c.32]

Расстояние / жжду парами. (Л, (Гд, 2)- 1 ак отмечалось в 4, /-расстояние между двумя последовательностями разбиений пространства с мерой (М,Ж,- ). такими, что каждое разбиение состоит рв г <ж> элементов, может быть получено из метрики Хемминга % в пространстве М [ при помощи конструкции Канторовича — Рубинштейна. Введем в другую метрику, 1 - Для = = (4 >, =. ..,/ 2,) положим х (/< /( >) = = 1—где 5 — максимальное целое число, для которого-найдутся две последовательности кх <к <. .. тх<т2<. .. ..< т такие, что = 1<р<5. Ясно, что для любых /(1), [c.62]

Эти результаты исчерпывают обшие проблемы траекторной теории для группы Z. Любопытно здесь следующее обстоятельство многие конструкции и формулировки были заимствованы из теории алгебр операторов, с которой траекторная теория постоянно взаимодействовала. Хотя мы излагаем вопросы в чисто метрических терминах, следует иметь в виду, что аналоги основного коцикла, модулярной функции (перечня отношений) и др. имелись, а иногда возникали ранее, в теории факторов. Мы уже упоминали в этой связи работу Дая [68], следует также назвать работы Араки и Вудса (Н. Araki, Е. Woods) [51]. и Конна [63]. Возможна, это первые примеры обратного влияния теории алгебр операторов на эргодическую теорию ранее теория факторов широко использовала конструкции, связанные с пространствами с мерой и их преобразованиями. [c.99]

Ситуация здесь существенно отличается от теории, изложенной в 1—3, в нескольких отношениях. Мы будем рассматривать далее действия групп с инвариантной мерой, а относительно квазиинвариантных мер сделаем лишь одно замечание траекторное разбиение для свободного действия с квазиинвариантной мерой может быть ручным для любой счетной группы, в том числе и неаменабельной. (Напомним, что траекторное разбиение свободного действия с инвариантной мерой ручное лишь для аменабельных групп). Такие примеры строятся просто очевидно, что действие счетной группы на себе (например, слева)—ручное здесь пространство с мерой (G, т), где т — мера Хаара, дискретно, но после умножения его на [О, 1], введения эквивалентной конечной меры на Gx [О, 1] и произвольного задания свободного действия на [О, 1], получим нужный пример с непрерывной мерой. Гораздо более важно, что действия с ручным траекторным разбиением для неаменабельных групп часто возникают естественным образом. Вот нетривиальный пример. [c.102]

Строго говоря, последующее соотношение справедливо в Я всюду, за исключением множества меры нуль. Если, например, X — точка межэле-ментной границы в Я кратности т — нужное значение дискретной модели функции Р (X) в X, то (7.19) дает тТ вместо Т. Для того чтобы избежать этого осложнения, можно просто переопределить Фд (х) с помощью функции г (х), которая равна единице, когда кратность точки X есть нуль, и равна кратности т этой точки, когда т=ф О [например, вместо Фд (х) использовать Фд (х)/г (х)]. Впредь соотношения (7.18) — (7.20) будут применяться с соглашением, что на межэлементных границах вводится множитель 1/г(х). В пространствах с мерой это замечание несущественно, поскольку любые две функции, равные всюду, за исключением множества меры нуль, считаются равными, ибо интегралы Лебега от двух функций, равных всюду, за исключением множества меры нуль, равны между собой. См., например, Колмогоров и Фомин [1972]. [c.50]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...