Обобщения на большее число переменных

Таким образом, имеется п фундаментальных векторов. Для краткости в дальнейшем ограничимся переменными х (обобщение на большее число переменных очевидно). Итак, имеет место следующее утверждение [c.125]

Обобщения на большее число переменных 483 [c.483]

Положения теории подобия сводятся к введению обобщенных безразмерных переменных, что создает условия для обобщения экспериментальных данных и пересчета данных эксперимента, полученных в одних условиях, на другие Условия, в которых опыт не проводился. Известно, что при большом числе переменных привести полученные экспериментальные результаты в единую систему трудно, а часто и невозможно. Это особенно сложно, когда задача не ре- [c.41]

Была также сформулирована многомодовая задача о лазере с насыщающимся поглотителем в варианте б (рис. 7Л7, б) как прямое обобщение уравнений (7.38) — (7.40) на случай изменяющихся во времени и в пространстве напряженности поля, поляризаций и инверсий. Эта модель приводит к нестабильности относительно пульсаций, однако решения, дающие пульсации в явном виде, пока еще получены не были. Исключение составляет упрощенная модель, в которой действие насыщающегося поглотителя описывается как потери в резонаторе, зависящие от интенсивности поля (см. разъяснения в разд. 7.1). По-видимому, в этой области еще многое предстоит сделать. Проблема достаточно сложна, поскольку из-за большого числа переменных, и в особенности из-за большого числа свободных параметров, возможны самые различные режимы. Как можно судить по результатам для одномодового лазера без насыщающегося поглотителя, здесь могут встретиться исключительно разнообразные явления, которые еще ждут своего исследователя. [c.202]

Применение ЭВМ в технологическом проектировании на стадии ТЭО позволяет производить поиск оптимальных вариантов при учете большого числа переменных факторов, т. е. значительно расширяет диапазон поиска по сравнению с возможностями ручных расчетов. Разработка эффективных программ для поиска оптимальных по экономическим критериям вариантов требует обобщения данных по капитальным и эксплуатационным затратам в системах КПТ. [c.166]

Осредненные данные различных усталостных испытаний соединений с фланговыми швами приведены в табл. 8.1. В связи с большим числом переменных, оказывающих влияние на результаты этих испытаний в таблицах приводятся индивидуальные данные для многих соединений различных типов. По-видимому, нецелесообразно стремиться к обобщению всех данных различных испытаний тем не менее, анализ этих данных позволяет получить общую картину сопротивления усталостному разрушению соединений с фланговыми швами. [c.165]

Обобщение на случай гриновских функций, зависящих от большего числа переменных, очевидно. [c.140]

Сравним теперь уравнение (9.102) с тем, что получается в приближении среднего поля (9.100). Ясно видно, что стандартный вопрос об учете флуктуаций локальных атомных конфигураций обойти невозможно такую случайную переменную, как локатор, нельзя заменять средним ее значением. Заметим в связи с этим, что метод когерентного потенциала, хотя бы и обобщенный на кластеры конечного размера, не позволяет воспроизвести точную плотность состояний даже для одномерной системы. В этом отношении теория возбуждений в решетке с беспорядком замещения более сложна, чем теория переходов от порядка к беспорядку ( 5.4), в которой кластерный метод Бете — Пайерлса дает точное решение задачи как для линейной цепочки, так и для любой правильной решетки с большим координационным числом. [c.415]

Вначале кажется, что при пользовании обобщенными формулами нужно провести большую вычислительную работу. На самом деле эти затруднения не так велики. Следует лишь помнить, что числа подобия Nu, Re, Gr, Pr и др. являются условными символами. Подставив их значения, всегда можно зависимость искомой величины от других переменных представить в явном виде. [c.67]

Современный этап развития знаний о теплоотдаче при изменении агрегатного состояния насчитывает всего только 30 — 35 лет. К настоящему времени накоплен довольно обширный экспериментальный материал, обобщение которого производится с помощью подходящих безразмерных переменных получены также приближенные теоретические решения для ряда частных случаев. Следует отметить, что советские ученые внесли большой вклад в эту область учения о теплообмене и продолжают ее интенсивно разрабатывать. На этом пути возникают особые трудности, так как число факторов, влияющих на развитие процессов конденсации и парообразования, значительно больше, чем в случаях теплоотдачи без изменения агрегатного состояния. Так, например, здесь неизмеримо существеннее влияют свойства поверхности, служащей очагом изменения агрегатного состояния. Если в вопросах тепло- [c.152]

Отсутствие замкнутой системы уравнений турбулентного движения жидкости и, в частности, движения в пограничном слое не допускает рационального решения проблемы расчета турбулентного пограничного слоя. Если ограничиться приближенными, полуэмпирическими подходами и применением параметрических методов с большим, чем в изложенном в настоящем параграфе методе числом формпараметров, то на этом пути можно ожидать полезных результатов от расширения метода обобщенного подобия, изложенного в гл. IX для ламинарного пограничного слоя, на случай турбулентного пограничного слоя. В единственной опубликованной на эту тему статье ) можно найти вывод универсального уравнения в переменных обобщенного подобия, решением которого служит безразмерный универсальный набор профилей продольных скоростей в сечениях турбулентного пограничного слоя, не зависящий от распределений внешней скорости в различных частных задачах, и уравнения импульсов, служащего для нахождения распределения толщины пограничного слоя в заданном конкретном случае. Статья имеет программный характер и не содержит численного решения универсального уравнения. [c.614]

Как показал опыт эксплуатации ЖРД, все перечисленные выше нагрузки не являются строго стабильными даже при работе на одном и том же установившемся режиме, а колеблются около некоторого среднего уровня (рис. 4.1). У отработанных двигателей эти колебания нагрузок обычно (0,5... 1) % от средней величины нагрузки h-ii [2]. Исходя из этих представлений обобщенную нагрузку на каждый из агрегатов ЖРД можно было бы рассматривать как стационарный случайный процесс (т. е. независящий от времени работы) с постоянным математическим ожиданием и относительно малой дисперсией (см. рис. 4.1, кривая 2). Однако, как и у большинства аналогичных динамических процессов, колебания нагрузок ЖРД сопровождаются отдельными, относительно редкими флуктуациями (см. рис. 4.1, кривая 3), амплитуда которых, при прочих равных условиях, тем больше, чем больше время работы двигателя. Следовательно, для оценки максимально возможных выбросов нагрузки необходимо применять элементы теории экстремальных значений, основным из которых является то, что вероятность превышения данного значения переменной зависит от числа наблюдений, сделанных над этой переменной. [c.70]

Обобщение представленного в этом пункте метода характеристик на случай системы уравнений с числом независимых переменных, большим двух, будет показано в п. 27 на примере задач распространения плоских двумерных волн напряжений. [c.68]

Коэффициенты теплоотдачи определяются для конкретных условий теплообмена в экспериментальных исследованиях. Результаты таких исследований представляются в виде графических или эмпирических зависимостей типа а = /(и), где V — скорость теплоносителя. Однако такие зависимости имеют ограниченное применение, так как соответствуют только тем условиям, при которых проводились испытания. Для возможности обобщения опытных данных и получения более общих зависимостей используются эмпирические формулы в безразмерных переменных, выражаемых комплексами величин или так называемыми критериями (или числами) подобия. Критерии подобия сокращенно обозначаются начальными буквами фамилий ученых, оказавших большое влияние на развитие науки и теплообмене. С одним из таких критериев — критерием Рейнольдса (Ке) — мы уже встречались в п. 2.3 — формула (2.30). Величина критерия Ке характеризует режим течения, имеющий, как показано выше, большое влияние на интенсивность теплообмена. При Ке<2300 течение ламинарное, при [c.59]

Системы моделирующих переменных в операционных моделях делят на управляемые и неуправляемые. В большинстве реальных проектных задач выбор наилучшего решения связан с необходимостью учета большого числа целей, которые в большинстве случаев яйляются противоречивыми. Такие задачи на практике решаются при помощи построения обобщенного критерия на базе частных критериев. В настоящее время на практике часто применяют следующие обобщенные критерии. [c.120]

Одпако при рассмотрении уравнений полей, содержащих, как правило, четыре или большее число независимых переменных х, у, г, I. .., практически невозможно воспользоваться тем, что решение является стационарным значением некоторых интегралов, так как само решепие дифференциальных уравнений в частных производных представляет больпше трудности. В этих случаях использование вариационного принципа дает преимущество лишь при выводе законов сохранения, в частности закона сохранения энергии. Другое дело, если решаются задачи с одной независимой неремеппой (время в механике или длина луча в геометрической оптике). В этом случае имеют дело с обыкновенными дифференциальными уравнениями, и оказывается, что примененне вариационного принципа существенно упрощает исследование решения задачи. Фактически такой подход является непосредственным обобщением обычной геометрической оптики. В своем современном виде оп разработан главным образом Д. Гильбертом, и рассуждения, изложенные выше, базируются на материалах его неопубликованных лекций, прочитанных в Геттингене примерно в 1903 г. Здесь приводится теория лишь для трехмерного пространства х, у, г), однако ее легко обобщить на многомерный случай. [c.663]

Основная цель этой книги состоит в изучении резких макроскопических изменений систем. Как было показано во введении, такие изменения могут наступить, когда система теряет устойчивость по линейному приближению, В точке, где происходит потеря устойчивости, становится возможным исключить очень большое число степеней свободы, поэтому макроскопическое поведение системы зависит лишь от весьма небольшого числа степеней свободы. В этой главе мы хотим показать в явном виде, каким образом вблизи точки, в которой происходит потеря устойчивости по линейному приближению, можно исключить большинство переменных. Такие точки потери устойчивости называются критическими. Предлагаемый вниманию читателя метод прост и охватывает большинство практически важных случаев. Основные идеи метода мы покажем на простом примере (разд. 7.1), после чего изложим наш метод для нелинейных уравнений в общем случае (разд. 7.2—7.5) Основные предположения и допущения перечислены в разд. 7.2, окончательные результаты приведены в разд. 7.4 (до формулы (7.4.5) включительно). Разд. 7.3 и конец разд. 7.4 посвящены вопросам, носящим более технический характер. Остальную часть этой главы мы отводим обобщению принципа подчинения на случай дискретных отображений с шумом и на стохастические дифференциальные уравнения типа Ито (и Стратоновича) (разд. 7.6—7.9). [c.224]

Полнота описания явления, корректность исходной теоретической модели должны сочетаться с правильностью математической формулировки задачи. При этом следует иметь в виду, что физическое решение может существовать и найдено на основе эксперимента, в то время как исходное математическое описание не позволяет получить решения. Если существует решение задачи в первичных переменных, то обобщенное решение может быть получено. В связи с возможностью описания системы в обобщенных безразмерных переменных, базируясь на методе подобия и анализе размерностей, можно получить критериальное уравнение, состоящее из обобщенных характеристик рассматриваемой системы. При описании системы критериальными уравнениями как бы уменьшается число параметров, независимых координат, решение обладает большой общностью. Получение критериев подобия, основанных на методе подобия, предполагает использование математического описания объекта. Исходные дифференщ -альные уравнения, характеризующие процесс, содержат более глубокую информацию по сравнению с той, которую получаем из анализа размерностей ответственных величин. Исследование процесса методом подобия включает получение безразмерных характеристик (критериев подобия) и вывод критериального уравнения. Аналитический вывод критериального уравнения возможен, когда исходное уравнение имеет точное решение. Во всех других случаях формирование критериальных уравнений осуществляется на базе специальных экспериментальных исследований (или дрз -ой дополнительной информации). Критериальная зависимость должна учитьшать критерии, полученные из анализа как основных уравнений, так и граничных условий. [c.165]

Большое разнообразие встречающихся в физике Н, у. м. ф. затрудняет развитие общих матем. методов их исследования. Лишь для сравнительно немногих Н. у. м. ф. доказаны теоремы существования и единственности, к таким относятся ур-ния Янга — Миллса, ур-ния Навье — Стокса в двумерном случае, ур-ния газовой динамики. Для ур-ний Навье — Стокса в трёхмерном случае теорема единственности решения задачи Коши до сих пор не доказана. Затруднена даже проблема классификации Н. у. м. ф. Часть их попадает под классич. разделение на эллиптич., гиперболич. и параболич. ур-ния, но значит, число важных Н. у. м. ф. (среди них Кортевега — де Фриса ур-ыие, Кадомцева — Петвиашвили ур-ние) не могут быть отнесены ни к одному из этих типов. Нек-рую классификацию Н. у. м. ф. можно осуществить на основе физ. соображений. Прежде всего это разделение на стационарные и ЭВО.ТЮЦ. ур-ния. Большинство стационарных ур-ний относится к эллиптич. типу. Среди эволюц. ур-ний, явно содержащих производные по времени, можно выделить консервативные Н. у. м. ф., сохраняющие интеграл энергии, и диссипативные Н. у. м. ф., описывающие открытые системы , обменивающиеся энергией с внешним миром . Одним из интересных достижений теории Н. у. м. ф. было обнаружение того факта, что консервативные Н. у. м. ф., как правило, являются гамильтоновыми системами, хотя явное введение кано-иич. переменных зачастую оказывается трудной задачей. Установлена гамильтонова природа большинства консервативных обобщений ур-ний Эйлера и даже системы ур-ний Власова, описывающих плазму без столкновений. Для гамильтоновых систем, близких к линейным, развиты методы теории возмущений, позволяющие учитывать нелинейные эффекты и производить статистич. описание решений. Все перечисленные выше универсальные Н. у. м. ф., за исключением Бюргерса ур-ния и Хохлова — Заболотской ур-ния, являются гамильтоновыми. [c.315]

Современный этап развития знаний о теплоотдаче при изменении агрегатного состояния имеет всего только 25—30-летнюю давность. К настоящему времени накоплен довольно обширный экспериментальный материал, обобщение которого производится с помощью подходящих безразмерных переменных получены также приближенные теоретические решения для ряда элементарных случаев. Следует отметить, что советские ученые внесли большой вклад в эту область учения о теплообмене и продолжают ее интенсивно разрабатывать. На этом пути возникают особые трудности, так как число факторов, влияющих на развитие процессов копденсацип н парообразования, значительно больше, чем в случая. теплоотдачи без [c.150]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...