Уравнения равновесия для напряжений внутри

Для решения задач теории упругости в перемещениях необходимо уравнения равновесия для точек внутри тела (уравнения Навье) представить в перемещениях. С этой целью выразим напряжения через деформации в форме Лямэ, а деформации представим через перемещения по уравнениям Коши. [c.54]

Вторая трудность возникает при объединении конечных элементов в единую систему. В расчете стержневых систем такое объединение производилось путем составления уравнений равновесия для узловых точек, в которых конструктивные элементы соединяются друг с другом. В сплошном теле число точек соединения между элементами бесконечно. Задаваясь распределением перемещений внутри каждого элемента, тем самым задаем и распределение напряжений во всех его точках, в том числе и в граничных. На границах раздела смежных элементов напряжения, найденные для каждого из них независимо, совпадать не будут. Следовательно, обеспечить выполнение условий равновесия на всей поверхности раздела не представляется возможным. [c.107]

Величину A называют дополнительной работой внешних сил, а П — дополнительной энергией. Уравнение (6.48) выражает принцип дополнительной энергии по сравнению с различными системами напряжений, которые удовлетворяют уравнениям равновесия внутри тела и на той части граничной поверхности, где заданы внешние силы, истинное напряженное состояние, удовлетворяющее уравнениям совместности, отличается тем, что для него дополнительная энергия П имеет стационарное значение. В условиях устойчивого равновесия величина П минимальна. [c.125]

Равенство (8.22) позволяет сформулировать следующую теорему дополнительная работа упругого тела, рассматриваемая как функционал произвольной системы напряжений, удовлетворяющей уравнениям равновесия внутри тела и на его поверхности, принимает минимальное значение для системы напряжений, фактически реализуемой в упругом теле. [c.215]

Пусть на поверхности тела заданы компоненты внешних сил Рху, Pyv и Pzv Для определения соответствующих этой внешней нагрузке напряжений внутри тела найдем какое-либо частное решение уравнений равновесия [c.59]

Удовлетворение уравнениям (1.1) и (1.5) является необходимыми и достаточными для равновесия всего тела под действием заданных внешних сил. Действительно, если составляющие напряжений (1.3) удовлетворяют уравнениям равновесия (1.1) во всех точках внутри тела, то все точки внутри тела находятся в равновесии. Если составляющие напряжений (1.3) удовлетворяют уравнениям (1.5) в точках у поверхности тела, то все точки тела у поверхности находятся в равновесии. Если же составляющие напряжений (1.3) одновременно удовлетворяют уравнениям (1.1) и (1.5), то все тело в целом находится в равновесии. [c.19]

Выражения (4.32) для нормальных и касательных напряжений характеризуют напряженное состояние треугольной подпорной стенки. Отметим, что полученное решение является точным решением, так как оно удовлетворяет всем уравнениям равновесия как внутри, так и на границах тела и уравнениям совместности деформаций. [c.83]

Пусть имеется бесконечная плоскость с круговым отверстием радиуса о- В некоторый момент, который принят за начало отсчета времени, к плоскости прикладывается на бесконечности равномерно распределенная радиальная нагрузка до, которая для определенности считается растягивающей. Эта нагрузка изменяется в дальнейшем по закону д (1), д (0) = до. При этом внутри полости действует давление Р ( ), Р (0) = Ро, и радиус полости растет по закону а ), а (0) = ао- Обозначим символом р (г) возраст слоя,радиуса г в момент начала отсчета времени. Радиальное перемещение t, г) и компоненты деформации и напряжения в рассматриваемой плоскости с круговым отверстием должны удовлетворять следующим уравнениям уравнение равновесия [c.123]

Известны три вариационные принципа теории упругости. Принцип минимума потенциальной энергии (принцип возможных перемещений) потенциальная энергия упругого тела, рассматриваемая как функционал произвольной системы перемещений, удовлетворяющей кинематическим граничным условиям, принимает минимальное значение для системы перемещений, фактически реализуемой в упругом теле. Принцип минимума дополнительной работы Кастильяно (понятие о дополнительной работе дано в конце этого параграфа) дополнительная работа упругого тела, рассматриваемая как функционал произвольной системы напряжений, удовлетворяющей уравнениям равновесия внутри тела и на его поверхности, принимает минимальное значение для системы напряжений, фактически реализуемой в упругом теле. Наконец, в вариационном принципе Рейсснера варьируются независимо друг от друга и перемещения, и тензор напряжений. [c.308]

Мы не будем останавливаться на разборе некоторых из не-согласующихся между собой силовых полей, предложенных в учебниках и в большинстве своем обнаруживающих неточности в том или ином отношении, а предположим, что имеется единственное первичное поле объемных сил, действующих на тонкую сферическую упругую оболочку постоянной толщины, которая будет представлять для нас внешнюю оболочку Земли. Пусть это будет силовое поле создающих приливы гравитационных ускорений, вызываемых в первую очередь притяжением Луны. Мы попытаемся простыми средствами построить решение уравнений равновесия, выражающих распределение напряжений и упругих и остаточных деформаций в обширных областях внутри внешней твердой оболочки Земли, а также тангенциальных и нормальных компонент малых смещений ее точек. [c.818]

Дифференциальные уравнения равновесия справедливы для любой точки тела внутри данного тела, а для точек тела на его внешней границе можно записать соотношения, аналогичные (1Л1). Эти соотношения указывают на связь между компонентами приложенной к телу на границе внешней нагрузки и компонентами напряжений внутри тела возле рассматриваемой точки (рис. 25). [c.64]

Напряжения в бесконечной среде, обусловленные массовыми силами. Используем сначала теорию многократных преобразований Фурье для отыскания решения уравнений равновесия бесконечной упругой среды, внутри которой действуют заданные по величине массовые силы. Если выбрать прямоугольную систему координат, то тогда уравнения, которые необходимо решить, примут вид [c.170]

Назовем статически возможным состоянием тела такое состояние, для которого удовлетворены условия на поверхности для напряжений и уравнения равновесия в каждой точке тела, а точки, изобра жающие напряженное состояние в пространстве,напряжений о,/ддя различных точек тела, лежат или внутри поверхности начала пластичности. или на ней. Обозначим эти точки Л4, а соответствующие им тензоры напряжений о / (рис. 10.1). Таким.образом, эти напряженные состояния удовлетворяют условию [c.208]

Будем рассматривать случай свободного качения упругого цилиндра по упруго-идеально-пластическому полупространству [189]. До перехода через предел упругости распределение давлений и область контакта определяются теорией Герца. Напряжения внутри полупространства задаются уравнением (4.49) и показаны сплошными линиями на рис. 9.3 для постоянной глубины 2 = 0.5а. Рассмотрим теперь возможные распределения остаточных напряжений (обозначенных индексом г), которые остаются в полупространстве после снятия нагрузки. Если предположить, что деформации плоские, то Хху)г и (туг)г отсутствуют, а остальные компоненты остаточных напряжений не зависят от у. Если предполагать, что распределение пластических деформаций стационарно и непрерывно, то поверхность полупространства будет оставаться плоской и остаточные напряжения не будут зависеть от х. Наконец, для того чтобы остаточные напряжения были в равновесии с приложенными нагрузками на свободной поверхности, напряжения Ог)г и (Хгх)г [c.329]

Поскольку условия равновесия внутри каждого элемента считаются выполненными, необходимо удовлетворить условиям равновесия в узловых точках. Полученные уравнения будут содержать в качестве неизвестных перемещения. Как только они будут найдены, задачу расчета конструкции можно считать решенной. Внутренние усилия (напряжения) в элементе могут быть легко определены с помощью зависимостей, априори установленных для каждого элемента в виде (1.4). [c.17]

Стат ически возможными вариациями напряжений назовем такие бесконечно малые напряжения в теле, которые не нарушают уравнений равновесия внутри и на границе тела. Как и прежде, доказательства ведем в дзкартовой системе координат, хотя выводы сохраняют силу и для произвольной системы координат, так как результат представлен в терминах инвариантов, не зависящих от выбора систем координат. Пусть Ьа , боу,. .., Ьх, у —статически возможные напряжения. Тогда, по определению, они должны удовлетворять уравнениям равновесия в форме [c.200]

Подобно изложенному выше, можно вывести уравнение динамического равновесия для выделенного отсека внутри трубы, радиус которого г меньше радиуса трубы /"о (штриховая линия на рис. 84), подставив в уравнение равномерного движения (171) вместо напряжения вблизи стенки То напряжение сил сопротивления между соприкасаюш,имися поверхностями жидкости т, действующее на цилиндрическую поверхность радиусом г, т. е, [c.137]

Итак, мы получили все определяющие соотношения для задачи линейной теории упругости уравнения равновесия (1.4), соотношения деформации—перемещения (1.5), соотношения напряжения—деформации (1.6) внутри тела V и граничные условия в напряжениях и перемещениях (1.12), (1.14) на границе тела S. Эти соотношения показывают, что мы имеем 15 неизвестных, а именно 6 компонент напряжений, 6 компонент дефотмаций, 3 компоненты перемещения в 15 уравнениях (1.4) и (1. , (1.6). Нашей задачей является решить эти 15 уравнений при граничных условиях (1.12) и (1.14). Поскольку все уравнения линейны, то для построения решений может быть использовано правило суперпозиции. Следовательно, мы получили линейные соотношения между заданными величинами, скажем нагрузками на Si, и неизвестными, какими являются напряжения и перемещения внутри тела. [c.26]

Модель [350] исходит из предположения о том, что дислокации, образованные внутри зерна, перемещаются в граничную зону скольжением [367]. Вдоль границы эти дислокации движутся, комбинируя скольжение и переползание. Скорость проскальзывания пропорциональна составляющей вектора Бюргерса, пЕфаллельной плоскости границы, и определяется переползанием, зависящим от объемной диффузии. Поскольку проскальзывания вызываются движением тех же дислокаций, скольжение которых ведет к деформации зерна, естественно ожидать линейной зависимости между деформацией, обусловленной проскальзыванием, и общей деформацией ползучести е. Такая зависимость, действительно, часто наблюдалась [341-344]. В работе [350] предполагалось также, что либо расстояние от дислокащи до границы- (рис. 14.11) очень мало, либо дислокация перемещается в плоскости границы. Расстояние между дислокациями а рис. 14.11) определяется условием равновесия поля напряжения дислокации и приложенного скалывающего напряжения а 1/т. Скорость неконсервативного движения дислокаций зависит от испускания и поглощения вакансий [368]. Внешнее напряжение определяет только равновесную концентрацию вакансий вблизи ядра дислокации. Путем использования уравнения для скорости переползания изолированной дислокации в бесконечном кристалле разд. 2.1.2) получено уравнение [350] для скорости деформации, вызываемой проскальзыванием [c.218]

Для этого принципа, двойственного с принципом возможных перемещений (иногда также называемого принципом возможной дополнительной работы), вычисляют возможную работу (псевдоработу), которую совершают независимо от действительных сил и напряжений, отвечающих положению равновесия, так называемые возможные силы и напряжения на действительных перемещениях. В каждой точке деформируемого тела заданы перемещения и соответствующее им напряженное состояние, удовлетворяющие уравнениям равновесия внутри тела и условиям на граничной поверхности, т. е. [c.87]

Задача об определении напряжений и деформаций в упругом твердом теле под действием данных массовых сил и при заданных поверхностных силах, или при условии, что под действием этих последних поверхность тела принимает заданную форму, приводится к аналитической задаче об определении функций, выражающих проекции смещения. Эти функции должны удовлетворять всем диференциальным уравнениям равновесия в каждой точке внутри тела, а также некоторым условиям на его поверхности. Методы, предложенные для интегрирования этих уравнений, распадаются на два класса. Методы одного из этих дбух классов состоят в том, что сначала разыскиваются частные решения для того чтобы удовлетворить граничным условиям, решение представляют в виде конечного или бесконечного ряда, состоящего из частных решений. Частные решения обычно могут быть выражены через гармонические функции. Этот метод решения можно рассматривать, как обобщение разложения по сферическим функциям или обобщение тригонометрических рядов. Методы второго класса состоят в том, что искомую величину выражают в виде определенного интеграла, элементы которого имеют особые точки, распределенные по поверхности или объему, тот тип решения является обобщением методов, которые Грин ввел в теорию потенциала. К моменту открытия общих уравнений теории упругости, метод рядов был уже применен к астрономическим, акустический проблемам и к проблемам теплопроводности ), а метод решений, имеющих особые точки, еще не был изобретен ). Ламе и Клапейрон ) первые применили метод разложения в ряд к проблемам равновесия упругих твердых тел. Они рассматривали случай тела, ограниченного бесконечной плоскбстЬю и находящегося под давлением, распределенным по какому-либо вакону. Позже Ламе °) рассматривал проблему тела, ограниченного сферической поверхностью и деформируемого данными повер ностными силами. Задача а распределении напряжений в полупространстве, ограниченном плоскостью, в основном совпадает с проблемой передачи внутрь тела действия силы, при- [c.28]

Как и для предыдущих примеров, изучим те аспекты упругой задачи, которые явно не затрагивались выше. Деформации е постоянны внутри элемента, так как они получены в результате дифференцирования линейного поля перемещений. Напряжения, выражаемые через деформации с учетом упругих констант, также постоянны. Поэтому дифференцированные уравнения равновесия (4.3), включающие операции дифференцированпя напряжений, выполня- [c.137]

Для решения задачи оптимизации трибосистем, реализующих явление избирательного переноса, в [64] предложено использовать аппарат и принципы неравновесной термодинамики. Зону элементарного контакта разбивают на области, внутри которых, согласно Гленодорфу-Пригожину, предполагается существование локального равновесия, т е. отсутствие градиентов термодинамических величин типа химического потенциала и температуры, напряжения сдвига. Записывают уравнение Гиббса в локальной форме для каждой области и, считая, что полная энергия сохраняется, получают суммарный дифференциал энтропии в виде [c.110]

Большой порядок систем уравнений, вызванный подробной дискретизацией области, и большая ширина полосы ненулевых коэффициентов, вызванная разветвленным характером геометрии расчетной области, могут при ограниченной разрядности ЭВМ привести к накоплению недопустимой погрешности. Примером такой разветвленной конструкции является патрубок в сосуде, содержаший отвод внутрь сосуда (рте. 3.6, а). Для расчета вариационно-разностным методом, рассмотренным вьппе для задач концентрации напряжений, была построена сеточная область, показанная на рис. 3.6, б. Соответствующее число уравнений равно 2413, ширина полосы — 55. Расчет выполнялся на ЭВМ соответственно с 12- и 7-разрядными числами. Погрешюсть расчета контролировалась по величине возникающей в месте закрепления опорной реакции, а также путем проверки по результатам расчета условий равновесия в сечениях тонкостенных участков патрубка. Если в первом случае оцененная таким образом погрешность в величине напряжений не превьпыала 1-2%, то во втором случае все результаты расчета оказались далекими от правильных. [c.56]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...