Изотропия тензора

В силу изотропии, тензор bi>(k) должен выражаться только через вектор к и единичный тензор 8ik- Общий вид такого симметричного тензора, удовлетворяющего условию (34,28), есть [c.203]

Отмеченная только что изотропия тензора напряжений в находящейся в равновесии идеально текучей среде, т. е. независимость величины нормального напряжения от ориентации площадки, к которой оно приложено, составляет содержание известного закона Паскаля. [c.131]

Идеально гладкая поверхность 18 Изотропия тензора 125, 127, 131 [c.347]

Таким образом, в случае изотропии тензор модулей упругости можно записать в общем виде [c.59]

Равенство (6.7) выражает собой известную теорему Шура. По теореме Шура из изотропии тензора кривизны в каждой точке следует постоянство кривизны во всем пространстве, так как из (6.7) получается [c.463]

Первое слагаемое как произведение скаляра (1/3)/1 иа тензорную единицу Р, обладает тем же свойством изотропии, что и Е. Компоненты тензора Р< не зависят от изменения системы координат, т. е. от поворота осей они удовлетворяют условию сферической симметрии, и поэто.му тензор Р называется сферическим или шаровым . Тензор Р представляет собой отклонение (девиацию) тензора Р от сферической части и носит наименование девиатора тензора Р. [c.125]

Формулировки критериев разрушения анизотропных сред через инварианты тензора напряжений обусловлены, по-видимому, историческим развитием критериев текучести изотропных материалов. Предположение об изотропии (независимости от направления) означает, что формулировка условий разрушения не зависит от направления осей координат. Наиболее подходящим средством обеспечения указанной инвариантности является запись критерия разрушения в виде скалярной функции от инвариантов тензора напряжений. В опытах Бриджмена [7] было установлено, что условие текучести изотропного материала не зависит от гидростатического давления учет этого обстоятельства позволил дополнительно упростить условие текучести, представив его лишь через компоненты девиатора напряжений. [c.432]

Если удовлетворить определяющие уравнения неравенству Клаузиуса — Дюгема, то переменные 9 и G в уравнениях для и а s выпадают. Однако в определяющие уравнения для П и будут входить перемени Q и Если затем удовлетворить определяющие уравнения для П и принципу независимости свойств материала от системы отсчета, то статическая часть тензора напряжения будет определяться только термодинамическими переменными (переменные Q, G, выпадают). Если материал является простой жидкостью (группа изотропии всех четырех определяющих уравнений есть унимодулярная группа), то, как показано в работе [Л.1-371, определяющие уравнения примут вид [c.76]

Здесь нуликом показано, что величина в скобках вычисляется для значений аргументов Ik, соответствующих начальному состоянию. Тензор напряжений в этом состоянии является шаровым и представляет всестороннее равномерное растяжение или сжатие [см. (3.5.9) гл. I]. Только такое состояние может быть принято за начальное, если сохранить единственное предположение об изотропии среды, на котором основывался вывод закона состояния (2.1,9). Итак, среда, изотропная в натуральном состоянии, может сохранять изотропию в напряженном состоянии только при условии, что последнее является всесторонним равномерным растяжением или сжатием. Для начальных состояний с распределением напряжений, отличных от всестороннего равномерного сжатия или растяжения, закон состояния (2.1,5) не имеет места. Такие состояния создают анизотропию свойств среды. [c.635]

Предположим, что главная ось трансверсальной изотропии направлена по оси хз. Тогда квазилинейная (тензорно линейная) функция одного симметричного тензора второго ранга относительно другого, инвариантная относительно преобразований вращения вокруг оси хз, имеет вид [c.234]

Непропорциональное нагружение изучено меньше, как теоретически, так и экспериментально. Это объясняется, с одной стороны, экспериментальными трудностями, с другой — тем, что формулировка модели для произвольного напряженного состояния практически означает возможность ее дальнейшего использования при произвольных траекториях нагружения в пространстве напряжений (линейном пространстве, векторы которого взаимно однозначно связаны с компонентами тензора напряжений). Например, модель нелинейного упругого тела а =/(е) преобразуется на основании постулата изотропии в деформационную теорию [c.146]

Одноосное напряженное состояние — один из многих вариантов состояний, встречающихся в деталях машин. Поэтому его моделирование — это только часть задачи описания реологических и прочностных свойств материала. Дополнительно требуют решения две проблемы моделирование при пропорциональном нагружении произвольного вида и моделирование при непропорциональном нагружении. Как будет показано ниже, для структурной модели они сводятся к обобщению модели на произвольное напряженно-деформированное состояние. Это обобщение основано на постулате изотропии Ильюшина [35], согласно которому, в частности, при пропорциональном нагружении с произвольным видом напряженного состояния отсутствует влияние первого и третьего ш-вариантов тензора напряжений (см. главу А1) на реологические свойства, а девиаторы напряжений и деформаций взаимно пропорциональны. Для идеально вязкого (или идеально пластического) тела эти рассуждения однозначно определяют модель при произвольном напряженном состоянии критерий текучести Мизеса, зависимость скорости ползучести от интенсивности напряжений. [c.188]

В параграфе 2.5, где не предполагались изотропия и упругость материала, было введено пять пар сопряженных тензоров. Из [c.38]

Второе равенство получается интегрированием по частям третье следует из изотропии — значение х — х-компоненты тензора равно Vs его следа. Теперь замечаем, что [c.109]

Поле напряжений, связанное с такими деформациями, не содержит касательных напряжений. Это вытекает из свойства начальной изотропии материала и симметрии рассматриваемого деформированного состояния. Конкретно тензор напряжений имеет компоненты 022= 33. В настоящем исследовании плоских деформаций достаточно ограничиться анализом компоненты напряжения аи. Поэтому в дальнейшем будем опускать индексы при Vi, Xi, u, qn и Сц, понимая, что эти величины относятся к осевому направлению в полупространстве. Осевое напряжение можно, согласно (6), представить в виде [c.154]

Векторное представление процесса деформации и постулат изотропии. Как известно, тензор деформаций Sij, связанный с фиксированной декартовой системой координат х = = (ж1, Ж2, Жз), можно представить в виде суммы девиатора и шаровой части [c.176]

В силу изотропии, тензор Bik не может зависеть ни от какого избранного направления в пространстве. Единственным вектором, который может входить в выралсение для Б,, является радиус-вектор г. Общий вид такого симметричного тензора второго ранга есть [c.194]

В силу изотропии, тензор bik.i должен выражаться через едпнпчный тензор bik и компоненты единичного вектора п. 06-Щ[гй вид такого тензора, симметричного по первой паре индексов, есть [c.197]

В случае изотропии тензор модулей упругости является изотропным тензором, т. е. он обладает в каждой декартовой системе координат одинаковыми компонентами. Изотропным тензором второго ранга является тензор Кронекера б//, такой тензор третьего ранга есть тензор Леви-Чивиты zuk- Каждый скаляр также может считаться изотропным тензором нулевого ранга. Однако изотропного тензора первого ранга не существует. Тензоры 4-го ранга ЬцЬы и ЬшЬц б,гб/ являются изотропными, и обобщенный изотропный тензор четвертого ранга получается их линейной комбинацией. [c.59]

Изменение скорости на малых расстояниях обусловлено мелкомасштабными пульсациями. С другой стороны, свойства локальной турбулентности не зависят от усредненного движения. Поэтому можно упростить изучение корреляционных функций локальной турбулентности, рассматривая вместо этого идеализированный случай турбулентного движения, в котором изотропия и однородность имеют место не только на малых (как в локальной турбулентности), но и на всех вообш,е масштабах усредненная скорость при этом равна нулю. Такую полностью изотропную и однородную турбулентность ) можно представить себе как движение в жидкости, подвергнутой сильному взбалтыванию и затем оставленной в покое. Такое движение, разумеется, непременно затухает со временем, так что функциям времени становятся и компоненты корреляционного тензора ). Выведенные ниже соотношения между различными корреляционными функциями относятся к однородной и изотропной турбулентности на всех ее масштабах, а к локальной турбулентности — на расстояниях г <С /. [c.194]

Р1зображение тензора инерции в форме эллипсоида не является чем-то специфическим для тензора инерции. Аналогичные интерпретации возможны и для всех других симметричных тензоров второго ранга. Так, тензору напряжений ( 36) можно было бы сопоставить эллипсоид напряжений, тензору деформаций ( 78) эллипсоид деформаций, тензору скоростей деформаций— эллипсоид скоростей деформаций ( 78). Происхождение названия сферический тензор для тензора, обладающего изотропией, т. е. такого, что все его диагональные компоненты в данной точке равны между собой (единичный тензор, тензор напряжений в идеально текучей жидкости), связано с тем, что в геометрической интерпретации такому тензору соответствует сфера. [c.286]

След тензора Ь и его анизотропия g меняются в пределах, <(9а >Ь >0 и Поэтому Для изотроп- [c.114]

Сделаем еще одно замечание, касающееся содержания книги. При выборе материала авторы ограничились лишь задачами линейной теории упругости в условиях изотропии и симметричности тензора напряжений. Такой подход диктуется как невозможностью существенного увеличения объема курса, так и тем обстоятельством, что учет таких факторов, как анизотропия, несимметричность тензора напряжений и некоторых других не привел к появлению на сегодняший день каких-либо принципиально новых математических методов и зачастую связан лишь со значительно более громоздкими выкладками (например, учет анизотропии при решении задач методом потенциалов сказывается лишь на структуре фундаментального решения, построение которого приведено в дополнении I). Следует заметить, что методы линейной теории упругости весьма часто в той или иной форме (как промежуточный этап) используются также и при решении задач для меупругих сред, в связи с чем авторы сочли целесообразным привести в дополнениях соответствующие примеры. [c.9]

Материал, свойства которого одинаковы для образцов, вырезанных в любом направлении, называется изотропным. Более точно, это определение изотропии относится к весьма малым образцам, вырезанным в окрестности одной и Toii же точки. Изотропный материал может быть неоднородным, т. е. упругие свойства его могут меняться от точки к точке. Очевидно, что потенциал напряжений или упругая энергия изотропного тела не должен меняться при измененпи осей координат, поэтому он должен выражаться через инварианты тензора деформаций. Единственная однородная квадратичная форма, составленная из этих инвариантов, зависит от двух констант и выражается следующим образом [c.239]

Для того чтобы пояснить смысл условий симметрии вида (16) и показать, как они проверяются экспериментально, ниже будет рассмотрен случай геометрической симметрии, присущей многим используемым в технике композиционным материалам, а именно случай трансверсальной изотропии. Обсуждение композитов более общего вида читатель может найти (i) в статье Хейза и Морленда [51], где приводится описание серии из двадцати четырех опытов для определения всех тридцати щести модулей релаксации ijki(t), причем условия симметричности (16) заранее не предполагаются, и (ii) в литературе по анизотропной теории упругости, где условия симметричности тензоров модулей и податливое гей принимаются априори. [c.109]

Окончательная система уравнений неоднородной турбулентности содержит дифференциальные уравнения для следующих характеристик первых, вторых и третьих центральных моментов поля скорости (pi uiuj, uiujuh), вторых и третьих смешанных моментов скорости и давления (щр, щщр), тензора второго ранга микромасштабов турбулентности /у. Эта система замкнута с точностью до двух однородных статистических коэффициентов, которые при изотропии переходят в известные статистические коэ ициенты. [c.71]

В общей теории относительности существование преобразований, не изменяющих М. п.-в., возможно лишь при наличии соответствующих симметрий гравитац. ноля. Так, метрич. тензор п.-в. Шварцшильда инвариантен относительно пространственных поворотов и временных сдвигов, что отражает центр, характер гравитац, ноля и его статичность структура метрич. тензора в моделях Фридмана, описывающих крупномасштабную структуру п.-в. Вселенной в целом, отражает факт однородности и изотропии Вселенной в больших масштабах (см. Тяготение). Если нек-рое преобразование йзометрии порождается векторным полем, то такое векторное поле ваз. полем Киллинга (W, Killing, 1892) и удовлетворяет ур-нию = О, где точкой [c.125]

Произвольное напряженное состояние в точке тела характеризуется тензором с компонентами оц, где i, j 1, 2, 3 отвечают трем ортогональным направлениям. Аналогично деформированное состояние может быть охарактерисовано тензором деформации (г, ), который складывается из упругой, неупругой и тепловой составляющих sij = pij- -f pij -f- -dij). Основная задача, решение которой должна дать реологическая модель среды, состоит в определении связи между тензором неупругой деформации (ptj) и внешними воздействиями последние могут задаваться в форме функций текущего времени Oij (t) и Т (i) (либо ( ) и Т (/)) При ее рассмотрении будут использоваться упрощающие предположения, практически общепринятые в теориях неупругого деформирования, в частности, предположение о пластической несжимаемости и постулат изотропии девиаторного пространства, сформулированный А. А. Ильюшиным [33]. [c.84]

Здесь потенциал я) не зависит от вектора шаровой части упругой деформации Ро- Поверхности уровня в пространстве Лд представляют пятимерные сферы (изотропия девиаторного пространства) поверхности равных потенциалов в пространстве д замкнуты и выпуклы, а в пространстве L, включаюш,ем векторы, соответствующие шаровым составляющим тензоров, — открыты (являются гиперцилиндрами с осями g n+i) и также выпуклы. Они симметричны относительно произвольного поворота и зеркального преобразования внутри каждой пятерки осей V 2,. .., 5. Симметрия яр определяет нечетность [c.158]

При анализе симметрии свойств многослойных материалов, составленных из ортотропных слоев, например из древесного шпона или стеклошпона, применяется теорема В. Л. Германа (1944 г.), обобщающая принцип Неймана для случая сплошных анизотропных сред Если среда обладает осью структурной симметрии порядка п, то она аксиально изотропна относительно этой оси для всех физических свойств, характеристики которых определяются тензорами ранга г, если г меньше, чем п (г <. < п) . Так, например, для упругих свойств (г — 4) уже при наличии оси структурной симметрии пятого порядка п = 5) плоскость, перпендикулярная этой оси, будет плоскостью изотропии. Здесь ось симметрии пятого порядка — это такая ось, вокруг которой достаточно повернуть фигуру на одну пятую часть окружности, т. е. на угол а = 2я/5 = 72°, чтобы получить полное совмещение всех точек фигуры с их первоначальным положением. [c.20]

Упругопластическое деформирование среды, сохраняющей изотропию свойств, можно описать с помощью изотропного тензора повре-жденности [c.103]

Скалярнозначная изотропная функция одного тензора называется инвариантом этого тензора, а скалярнозначная изотроп-лая функция нескольких тензоров называется совместным инвариантом этих тензоров. [c.18]

Определяющие соотношения гиперупругих материалов при больших деформациях используются в основном для моделирования поведения резиновых тел. Рассмотрим некоторые модели изотропных материалов, описывающие деформации таких тел. Вследствие изотропии материала потенциальная функция W должна зависеть только от главных инвариантов тензора деформаций Грина — Лагранжа /г(Е), /2(E), /з(Е) (см. (1.1)). В определяющих соотношениях (2.14) потенциальную функцию W I, I2, /3) прямо использовать нельзя вследствие того, что материал резины предполагается несжимаемым (J = detF = 1), так что справедливы равенства (1.46). Условие несжимаемости формулируем с помощью правого тензора деформаций Коши — Грина С, связанного с тензором деформаций Грина — Лагранжа Е первой формулой (1.49) [c.79]

Упражнение 4.3. Показать, что тензорный базис трансвер-сальной изотропии составляют вектор и тензор [c.32]

Упражнение 5.2. Показать, что для трансверсально-изотроп-ной среды тензор А может быть представлен с помощью тензорного базиса (4.23) в виде [c.38]

В плоскости изотропии Г1ОГ2 тензоры упругих свойств С, диэлектрических проницаемостей Л, коэффициентов температурных напряжений 3 и соответствующие им тензоры повреждаемости и могут [c.16]

Поликристаллы. Рассмотрим, например, однофазные поликристаллы, состоящие из разориентированных анизотропных пьезоактивных монокристаллов или зерен. Фрагмент реализации полидисперсной модели структуры поликристалла из эллипсоидальных зерен изображен на рис. 2.12, где — локальные или кристаллографические оси координат монокристалла. Все ориентации локальных осей в объеме V равновероятны, поэтому поликристалл будет характеризоваться изотропными тензорами упругих (С ), пьезомеханических (е ) и диэлектрических (Л ) свойств, коэффициентов температурных напряжений [ ) и вектора пироэлектрических постоянных (тг ). В силу изотропии имеем равенства е = О и тг = 0. [c.53]

Ориентированная система газонаполненных треш[ин. Рассмотрим упругоизотропный материал, содержащий ориентированную систему газонаполненных трещин, однородно и изотропно распределенных в плоскостях, перпендикулярных оси Хз (рис. 4). Тогда среда будет эффективно трансверсально-изотропной с осью изотропии, совпадающей с осью Такая среда характеризуется пятью упругими постоянными, и связь между компонентами тензоров деформации и напряжений для нее имеет вид [6] [c.108]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...