Координаты криволинейные ортогональные сферические

Описанные выше одномерные и двумерные течения являются определенной идеализаций, которая практически применима для ряда технических актуальных задач. Но во многих случаях, когда течения даже приближенно нельзя рассматривать как одно- или двумерные, возникает необходимость решать более сложные задачи о пространственных или трехмерных течениях. Возможность их решения в значительной степени зависит от выбора системы координат. Часто оказываются удобными различные криволинейные ортогональные системы, например цилиндрическая и сферическая. [c.269]

Соотношения (1.8) и (1.8а) правомерны при рассмотрении движения границы в любой системе координат как декартовой, так и криволинейной ортогональной (например, сферической). Ниже эти соотношения даны для декартовой системы координат и приведены примеры их использования. [c.44]

В дальнейшем под базисом е, подразумевается ортогональный базис (рис. 1.1). Ортогональная система координат может бить прямолинейной (такая система координат называется декартовой) и криволинейной (цилиндрическая, сферическая, эллиптическая). В прямолинейной системе координат базисные единичные векторы во всех точках пространства неизменны по направлению, в криволинейных системах координат базисные векторы при переходе в другую точку пространства меняют направление. [c.8]

Важнейшими ортогональными криволинейными координатами являются цилиндрические, сферические и (на плоскости) полярные системы координат (см. п. 4,1.1). [c.107]

Задача 3.64. Выразить в декартовых координатах условия, при которых система криволинейных координат будет ортогональной. Проверить ортогональность сферической системы координат. [c.403]

Большая часть уравнений, приведенных в тексте, записана в прямоугольных, цилиндрических или сферических координатах. Заметное исключение составляют уравнения пограничного слоя, для вывода которых необходимо было использовать параллельные координаты, и решение обтекания эллипсоида, для которого были введены эллипсоидальные координаты. Унифицированная форма всех этих уравнений может быть дана в криволинейных ортогональных координатах. [c.376]

Касательные к координатным линиям г, ф, 0 ортогональны, поэтому сферическая система криволинейных координат является примером криволинейной ортогональной системы. [c.92]

Рассмотрим в виде упражнения вывод уравнения неразрывности в цилиндрических, сферических и общих криволинейных ортогональных координатах. [c.27]

Криволинейные координаты. Во многих случаях является целесообразным заменить декартовы координаты криволинейными например, при наличии осевой и шаровой симметрии цилиндрические и сферические координаты являются наиболее подходящими при решении задач. Чтобы провести наиболее простым образом преобразование основных уравнений, выразим сначала составляющие тензора деформации непосредственно в криволинейных координатах (ограничиваясь случаем ортогональности их) далее, при помощи минимальных принципов сформулируем условия равновесия. [c.56]

Часто весьма целесообразно оперировать основными уравнениями теории упругости в криволинейных ортогональных системах координат. Правда, это требует применения тензорного исчисления в общей форме, от которого в этой книге сознательно отказываются. Однако необходимые для дальнейшего основные соотношения для наиболее часто встречающихся криволинейных координат — цилиндрических и сферических приведены без вывода К [c.71]

Остановимся на двух наиболее употребительных криволинейных ортогональных координатах — цилиндрических и сферических, для которых соответственно [c.15]

Остановимся на двух наиболее часто встречающихся криволинейных ортогональных координатах х, — цилиндрических и сферических, для которых [c.30]

Наряду с прямолинейными декартовыми для записи уравнений и их решений используются ортогональные криволинейные координаты цилиндрические, сферические и т. п. Например, при движении гибкого стержня по цилиндрической поверхности наиболее удобными координатами для записи уравнений являются цилиндрические координаты. На рис. П.4 показаны цилиндрическая система координат и соответствующий базис е,)(ег, е,, еу). Более подробно о криволинейных осях сказано в п. 2.8. [c.291]

Однако не всегда удобно задавать поверхность именно в декартовых координатах. Целесообразно систему координат связать с самой поверхностью, выбрав на ней две системы координатных линий т . В качестве таких линий чаще всего выбираются линии кривизн, которые образуют на поверхности ортогональную сетку (рис. 7.4, а). Параметры , т) называются криволинейными координатами точек поверхности. Конкретный смысл этих координат может быть различным. На рис. 7.4, б, в показаны цилиндрические и сферические координатные линии. [c.199]

В приложении приводятся сведения об ортогональных криволинейных координатах и даются выражения для некоторых дифференциальных операторов поля в сферической и цилиндрической системах координат. [c.9]

Вместе с (A.14.5) —(A.14.7) эти соотношения показывают, что система сферических координат образует правую систему ортогональных криволинейных координат с метрическими коэффициен-тами I [c.579]

Рассмотрим безграничную упругую среду, содержащую неоднородность (полость, включение) в виде тела вращения, ограниченного поверхностью 5 (рис. 3.3). Поверхность S получена в результате вращения вокруг оси Oz плоскости с отверстием, для которой известна отображающая функция. Введем три безразмерные, отнесенные к Го, системы координат с центром в точке О прямоугольную (хь Xz), сферическую (г, 0, ф) и ортогональную криволинейную (р, у, %), причем а поверхность р = 1 совпадает с поверхностью 5. В плоскости х Ог отображающая функция имеет вид [c.65]

Исходными координатами или переменными Лагранжа называют координаты (относительно принятой ортогональной, прямолинейной или криволинейной, т. е. декартовой, цилиндрической или сферической системы координат) геометрической точки, с которой совпадал рассматриваемый материальный элемент (материальная точка) физического тела, в некоторый определенный, предшествующий рассматриваемому текущему моменту времени (например, в начальный момент процесса деформации). [c.203]

Многослойная структура с полостью или упругим включением канонической формы. Рассмотрим случай, когда полость (упругое включение) целиком расположено в одном из элементов многослойной структуры и имеет границу, представляющую собой координатную поверхность в ортогональной криволинейной системе координат (цилиндрической, сферической, эллипсоидальной). В этом случае при исследовании задачи о динамическом воздействии плоского жесткого штампа на поверхность пакета слоев или многослойного полупространства с полостью или включением целесообразно использовать принцип суперпозиции. Это позволяет точным образом свести краевую задачу динамической теории упругости к системе интегро-функциональных уравнений, при решении которой можно использовать, в зависимости от расположения неоднородности, различные методы анализа. [c.311]

Для удобства дальнейшего использования приведем записи уравнения неразрывности (1.26), уравнений движения (1.10) или (1.25), уравнений Громеки - Ламба (1.12) или (1.28) и уравнений Гельмгольца (1.14) или (1.29) в произвольной ортогональной системе криволинейных координат, а также в наиболее часто используемых случаях в декартовых, цилиндрических и сферических координатах. Отметим, что переход к уравнениям движения идеальной жидкости для любой формы записи уравнений формально получается, если положить v = О. [c.36]

Кроме уже рассмотренной ортогональной декартовой системы, в дальнейшем широко используются системы криволинейных координат, такие, как цилиндрическая (7 , 0, г) и сферическая (г, 0, ф), изображенные на рис. 1.7. С этими системами связаны триэдры едп- [c.19]

Пусть х представляют систему ортогональных декартовых координат в евклидовом трехмерном пространстве, а — любую другую систему ортогональных прямолинейных или криволинейных координат (например, цилиндрических или сферических) в том же самом пространстве. Вектор х, имеющий декартовы компоненты х , называется радиусом-вектором произвольной точки Р (х1, х , х ) в декартовой системе. Квадрат дифференциала расстояния между близкими точками Р (х) и (х + йх) дается формулой [c.25]

До сих пор мы использовали прямоугольную декартову систему координат. Однако оказывается, что во многих задачах теории упругости удобнее пользоваться ортогональными криволинейными системами. Так, в осесимметричных задачах удобнее пользоваться полярной или цилиндрической системами координат. В задачах, связанных с деформированным состоянием шара, оказывается удобной сферическая система координат, и т. д. [c.168]

Скорость и ускорение движущейся материальной точки можно представить проекциями на оси любой системы криволинейных (как ортогональных, так и косоугольных) координат. Однако при решении практических задач чаще всего используется система декартовых, цилиндрических и сферических координат. [c.16]

Цилиндрические и сферические координаты — хорошо известные примеры ортогональных криволинейных координат. [c.477]

Из ортогональных криволинейных координат наиболее часто применяются цилиндрические и сферические координаты, удобные при рассмотрении тел со сферическими или круговыми — цилиндрическими границами. [c.231]

Кстати сказать, полученные здесь уравнения справедливы для любой ортогональной криволинейной системы координат а, р на срединной поверхности сферической оболочки. [c.64]

Такой вид система уравнений и граничные условия принимают в произвольной криволинейной системе координат, связанной с поверхностью тела. Расчет сверхзвукового идеального обтекания гладких тел обычно производится в ортогональной криволинейной системе координат, например, сферической. Однако если центр системы координат сместить относительно оси симметрии тела, как это иногда делают при численных расчетах сверхзвукового идеального обтекания пространственных тел, то пересечение ортогональной системы координат с поверхностью тела приводит к неортогональным сеткам. Поэтому естественно рассматривать общий случай криволинейной системы координат, связанной с поверхностью тела. Вид уравнений (5.8) упрощается в системе координат, связанной с линиями тока внешнего течения. В этом случае сое = 0, а следовательно, и ф = 0. Отсюда Ni =Ni, М, =Мг, Р = Р ( = [c.255]

При образовании замкнутых циклов последовательных преобразований координат используются не только ортогональные декартовы системы координат, но и косоугольные системы координат, а также криволинейные координаты цилиндрические, сферические и др. [c.199]

Рассмотрим бесконечное пространство, которое имеет неоднородность в виде тела вращения, ограниченного поверхностью Г (см. рис. 3.5). Поверхность получена в результате вращения вокруг оси Охз плоскости с отверстием, для которого известна конформно-отображающая функция. Введем три системы координат с центром в точке О прямоугольную (. ь Х2, х ), сферическую (р, 6, ф) и криволинейную ортогональную (р, у, к), где х=ф. Все координаты будем считать безразмерными, отнесенными к Го. В плоскости XsOri отображающую функцию представим в форме [c.120]

Основные определения. При изучении движение материальной точки в ряде задач механики и физики целесообразно пользоваться криволинейными ортогональными коорди-натами, более отвечающими геометрическому существу иссле-дуемого движения. Частным случаем таких координат являются рассмотренные нами полярные и сферические координаты. Пусть-мы имеем пространство, отнесенное к системе прямоугольных декартовых координат Охуг. Будем определять положение точки М в этом пространстве тремя числами q, q , новыми координатами, выбираемыми по некоторому закону. Пусть декартовы координаты точки М связаны с координатами q2, q при помощи соотношений [c.89]

Растяжение и изгиб средней поверхности оболочки. Мы будем, вообще, предполагать, что средняя поверхность оболочки является в ненапряженном состоянии кривой поверхностью, а кривые а = onst., p= onst, совпадают с линиями кривизны. В случае плоской пластинки аир мож но считать обыкновенными декартовыми координатами или какими-либр криволинейными ортогональными координатами. Для сферической оболочки, аир могут быть обыкновенными сферическими координатами. Уравнения (7) — (10) имеют место в ненапряженном состоянии. Когда оболочка подвергается деформации, кривые, которые были линиями кривизны, обра-j зуют два семейства кривых, лежащих на искаженной средней поверх ности и пересекающихся друг с другом под углом, который может несколько] [c.542]

Рассматривается сферическая оболочка с радиусом кривизны срединной поверхности R. Полагается, что оболочка изготовлена из ортотропного материала так, что в каждой точке оболочки главные направления упругости материала совпадают с соответствующими координатными линиями триортогональной системы координат а, р, у. Координатная система а, р, у выбрана так, что срединная поверхность сферы отнесена к криволинейным ортогональным координатам а, р, а прямолинейная координатная линия у, как и раньше, направлена по нормали к срединной поверхности. [c.60]

Положение точки К можно также определить некоторыми ортогональными криволинейными координатами в плоскости, проходящей через точку К и ось Oxg. Положение этой плоскости определяется углом 0, который отсчитывается в плоскости Oxix от оси х к оси дс . Такую систему координат называют осесимметричными ортогональными криволинейными координатами, примером которых являются сферические координаты (рис. 6.4). [c.121]

Для механики сплошной среды вообще и механики деформируемого твердого тела в частности аппарат теории тензоров является естественным аппаратом. В большинстве теорий выбор системы координат, в которых ведется рассмотрение, может быть произвольным. Проще всего, конечно, вести это рассмотрение в ортогональных декартовых координатах. Очевидно, что доказательство общих теорем и установление обнщх принципов при написании уравнений именно в декартовых координатах не нарушает общности. Что касается решения задач, то иногда бывает удобно использовать ту или иную криволинейную систему координат. Однако при этом почти всегда речь идет о простейших ортогональных координатных системах — цилиндрической или сферической для пространственных задач, изотермической координатной сетке, порождаемой конформным отображением, для плоских задач. В некоторых случаях, когда рассматриваются большие деформации тела, сопровождаемые существенным изменением его формы, система координат связывается с материальными точками и деформируется вместе с телом. При построении соответствующих теорий преимущества общей тензорной символики, не связанной с определенным выбором системы координат, становятся очевидными. Однако в большинстве случаев эти преимущества используются при формулировке общих уравнений, не открывая возможности для решения конкретных задач. Поэтому мы будем вести основное изложение в декартовых прямоугольных координатах, случай цилиндрических координат будет рассмотрен отдельно. [c.208]

Векторы и полиадики часто удобно выражать через их компоненты в некоторой системе криволинейных координат q , например в декартовых координатах х, у, z, сферических координатах г, 0, ф, в цилиндрических координатах р, ф, z. В этой книге используются только ортогональные криволинейные координаты, а приведенные выше системы являются примерами систем [c.599]

Остановимся подробнее на получении системы интегро-функциональ-ных уравнений контактной задачи. Использование принципа суперпозиции предполагает возможность получения аналитического решения краевой задачи динамической теории упругости с однородными граничными условиями в напряжениях для составляющих многослойную область с каноническим включением элементов. Таковыми являются однородный упругий слой, однородное упругое полупространство, полость в безграничном пространстве и упругое включение, граница которого тождественна границе полости. Решение задач для однородного слоя (полупространства) строится методом интегральных преобразований с использованием принципа предельного поглощения и может быть получено в виде контурного несобственного интеграла [2,4,14]. В зависимости от постановки задачи (пространственная, плоская, осесимметричная) получаем контурные интегралы типа обращения преобразования Фурье или Ханкеля [16]. Решение задачи для пространства с полостью, описываемой координатной поверхностью в ортогональной криволинейной системе координат, получаем в виде рядов по специальным функциям (сферическим, цилиндрическим (Ханкеля), эллиптическим (Матье)) [17]. При этом важно корректно удовлетворить условиям излучения, для чего можно использовать принцип излучения. Исключение составляет случай горизонтальной цилиндрической полости при исследовании пространственной задачи. Здесь необходимо использовать метод интегральных преобразований Фурье [16] вдоль образующей цилиндра и принцип предельного поглощения [3] для корректного удовлетворения условиям излучения энергии вдоль образующей. [c.312]

Во многих случаях, как, например, при изучении вопроса об обтекании цилиндра или сферы, бывает удобно пользоваться, вместо прямолинейных прямоугольных коордннат х, у, г, криволинейными координатами, чаше всего ортогональными, например, цилиндрическими или сферическими. Представляет поэтому интерес иметь [c.389]

В 6 изложен, как нам представляется, наиболее простой приём составления основных дифференциальных операций в криволинейных координатах. Мы ограничились случаем ортогональных координат, как наиболее важным для приложений. В 7 этот приём применён для записи в ортогональных криволинейных координатах основных соотношений механики сплошной среды, в том числе для составления условий сплошности. Другой вывод условий сплошности (в любых криволинейных координатах) дан в статьях Т, Н. Блинчикова Дифференциальные уравнения равновесия теории упругости в криволинейной координатной системе (Прикл. матем. и мех., 2, 1938, стр. 407) и В. 3. Власова Уравнения неразрывности деформаций в криволинейных координатах (там же, 8, 1944, стр. 301). Запись уравнений сплошности в сферических и цилиндрических координатах приведена в книге В. 3. Власова Общая теория оболочек (Гостехиздат, 1949). [c.69]

Все приведенные выше выкладки по существу справедливы для любой ортогональной системы координат. Ортогональной называется такая система, в которой все три координатные линии в любой точке пространства пересекаются под прямым углом. Координатная линия — кривая, уравнение которой qi = onst (7, — координата в криволинейной системе координат). В общем случае координатные линии являются произвольными пространственными кривыми (рис. 13). Наиболее распространенными криволинейными системами координат являются цилиндрическая (полярная для плоской задачи) и сферическая. [c.24]

В 16 описана процедура получения зтих скалярных уравнений в любых ортогональных системах криволинейных координат, там же приведены эти уравнения для цилиндрической и сферической систем. Отметим, что все рассувдения в этом параграфе ведутся в переменных Эйлера. [c.81]

Можно настойчиво рекомендовать учебник Берда с соавторами [1960], который содержит уравнения газодинамики с учетом вязкости, записанные в прямоугольной, цилиндрической и сферической системах координат, а также много другой полезной информации по газодинамике и другим процессам переноса. Цянь Сюэ-сень [1958] приводит уравнения Навье —Стокса для течения сжимаемой вязкой жидкости в ортогональных криволинейных координатах. (Однако ии в книге Берда с соавторами, ни в работе Цяня не приводится консервативная форма уравнений,) В работе Богачевского с соавторами [1965] дана консервативная форма уравнений течения невязкой сжимаемой жидкости в цилиндрических и сферических координатах. (Напомним отмеченный в гл. 4 факт, что введение консервативных [c.444]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...