Уравнения Прандтля дифференциальные для пограничного слоя

Закончив на этом описание основных физических явлений, возникающих при течениях с очень малой вязкостью, и изложив тем самым в самых кратких чертах теорию пограничного слоя, мы перейдем в следующих главах к построению рациональной теории этих явлений на основе уравнений движения вязкой жидкости. В настоящей части книги (в главе III) мы составим общие уравнения движения Навье — Стокса, а во второй части сначала выведем из уравнений Навье — Стокса путем упрощений, вытекающих из предположения о малой величине вязкости, уравнения Прандтля для пограничного слоя, а затем перейдем к интегрированию этих уравнений для ламинарного пограничного слоя. Далее, в третьей части книги, мы рассмотрим проблему возникновения турбулентности (переход от ламинарного течения к турбулентному) с точки зрений теории устойчивости ламинарного течения. Наконец, в четвертой части книги мы изложим теорию пограничного слоя для вполне развившегося турбулентного течения. Теорию ламинарного пограничного слоя можно построить чисто дедуктивным путем, исходя из дифференциальных уравнений Навье — Стокса для движения вязкой жидкости. Для теории турбулентного пограничного слоя такое дедуктивное построение до сегодняшнего дня невозможно, так как механизм турбулентного течения вследствие его большой сложности недоступен чисто теоретическому исследованию. В связи с этим при изучении турбулентных течений приходится в широкой мере опираться на экспериментальные результаты, и поэтому теория турбулентного пограничного слоя является, вообще говоря, полуэмпирической. [c.53]

Вывод дифференциального уравнения Прандтля посредством оценки порядка отдельных членов уравнения Навье—Стокса. Теорию пограничного слоя удобно излагать на конкретном примере, в качестве которого рассмотрим двухмерное продольное обтекание тонкой плоской полуограниченной пластины. Необходимо определить поле скорости (и и и ) и вязкое трение на пластине (х 0), омываемой стационарным потоком несжимаемой и невесомой (для простоты) жидкости. Математическая формулировка задачи имеет следующий вид [c.257]

Анализ уравнений (2.239) и (2.240) позволяет обнаружить подобие между распределением скорости и температуры в пограничном слое, если V = я или число Рг = 1. Уравнение движения и энергии при этом условии (Рг = 1) становятся идентичными. Это означает, что поля скоростей и температур в пограничном слое подобны, а кривые распределения безразмерной скорости и безразмерной температуры по толщине пограничного слоя одинаковы. Таким образом, физический смысл числа Прандтля состоит в подобии кинематического и теплового полей. Для газов число Прандтля практически не зависит от температуры и давления и определяется в соответствии с кинетической теорией газов атомностью газа для одноатомных газов Рг = 0,67 для двухатомных Рг = 0,72 для трехатомных Рг = 0,8 и многоатомных Рг = 1. Из приведенных значений Рг следует, что полное подобие полей скорости и температуры сохраняется лишь для многоатомных газов. В других случаях имеют место отклонения от подобия. Точные решения дифференциальных уравнений пограничного слоя отличаются большой громоздкостью и сложностью. Приближенные решения могут быть получены из интегральных уравнений пограничного слоя. [c.172]

В основе этой теории лежит гипотеза Прандтля, согласно которой силы вязкости играют существенную роль только в пределах пограничного слоя, а в остальной части потока ими можно пренебречь. Исходя из уравнений движения и энергии получены дифференциальные уравнения для ламинарного и турбулентного пограничных слоев. Кроме дифференциальных уравнений, в теории пограничного слоя часто применяются интегральные уравнения. Уравнения теплового пограничного слоя позволяют в конечном итоге определить коэффициент теплоотдачи, а уравнения динамического пограничного слоя — напряжения трения на поверхности теплообмена. [c.198]

Величину Ргт называют турбулентным числом Прандтля. Как показано в 4-5, кинематические коэффициенты турбулентного переноса теплоты и количества движения Вд и Ss зависят от параметров процесса турбулентного течения. Вследствие этого в общем случае турбулентное число Прандтля также может являться параметром процесса. С учетом (7-15) и (7- б) дифференциальные уравнения энергии (4-44) и движения (4-45) для турбулентного пограничного слоя примут вид [c.192]

Для расчета теплообмена в турбулентной области пограничного слоя применим теперь несколько другой подход. В рассматриваемом диапазоне чисел Прандтля (от 0,5 до 10) коэффициенты турбулентного переноса значительно выше соответствующих коэффициентов молекулярного переноса. Поэтому в дифференциальных уравнениях движения и энергии можно пренебречь кинематическим коэффициентом вязкости и коэффициентом температуропроводности по сравнению с коэффициентами турбулентного переноса импульса и тепла (см. также гл. 9). Полагая, что 8т = еи, мы возвращаемся к аналогии Рейнольдса. В гл. 9 было показано, что аналогия Рейнольдса приводит к следующей зависимости между профилями скорости и температуры [c.284]

Дополнительное предположение, введенное автором, заключается в том, что поведение электронного потока вблизи твердой стенки или тела идентично поведению реальной жидкости, т. е. предполагаются появление и существование пограничного слоя. Это позволяет использовать метод Прандтля—Блазиуса для определения порядка величин отдельных членов уравнения двухмерного потока сжимаемой жидкости. При таких условиях получено семь упрощенных систем уравнений. Путем соответствующего подбора переменных представляется возможным привести некоторые из уравнений к классическому виду уравнения Блазиуса [3], другие — к системам параметрических обычных дифференциальных [c.91]

Здесь еще раз следует подчеркнуть, что упомянутое условие устойчивости дифференциальных уравнений пограничного слоя справедливо лишь для уравнений Прандтля. А именно из уравнений пограничного слоя в форме Мизеса следует, что возмущающие процессы любого характера после минимума давления значительно возрастают в направлении движения. Условия устойчивости получаются совсем другими, если в основу дифференциальных уравнений положить уравнение в форме уравнения Л. Крокко. При этом развитие неустойчивости находится в особой зависимости от получаемого решения. Аналогичные вопросы возникают и при решении таких же параболических линейных уравнений теплопроводности. Они связаны заменой зависимой переменной независимой. В настоящей работе рассмотрение неустойчивости ограничивается исследованием уравнений пограничного слоя в форме уравнений Прандтля. [c.285]

Таким образом, установлена возможность приведения дифференциального уравнения Прандтля (15), содержащего в себе и в соответствующих ему граничных условиях частное, характерное для данной конкретной задачи распределение скоростей на внешней границе пограничного слоя, к универсальному дифференциальному уравнению (84), одинаковому для всех возможных, обладающих свойством аналитичности, т. е. существования производных любого порядка функции 11 х). [c.470]

Ламинарное движение жидкости в пограничном слое описывается дифференциальными уравнениями Прандтля (для несжимаемой жидкости), полученными из общих уравнений Навье — Стокса (1-79) [c.64]

Перейдём теперь к выводу дифференциальных уравнений Прандтля, определяющих течение в пограничном слое, причём рассмотрим для определённости случай течения вязкой жидкости вдоль пластинки. [c.545]

Дифференциальные З равнения Прандтля получаются в результате надлежащего упрощения предыдущих уравнений. В основе этого упрощения лежит сравнение различных членов уравнений (28.1) по их относительной величине. Как мы уже указывали, толщина пограничного слоя, которую мы будем обозначать буквой 8, очень мала (см. рис. 173) это выражение нужно, конечно, понимать так, что мало отношение 8 /, где I есть характерный размер для рассматриваемой задачи. Отметим попутно, что толщина о в разных точках контура н в разные моменты времени можег быть различна, так [c.546]

Особые свойства пограничного слоя позволяют существенно упростить уравнение Навье—Стокса для него и разработать аналитические и численные методы интегрирования этого упрощенного уравнения, которое принято называть дифференциальным уравнением Прандтля, [c.256]

Последнее уравнение называют дифференциальными уравнениями Прандтля для асимптотического плоского ламинарного пограничного слоя для несжимаемой жидкости на теле, кривизна которого велика по сравнению с толщиной слоя. [c.259]

Используем для оценки членов уравнения (4) все полученные выше результаты, перейдем в упрощенных уравнениях (1). .. (4) к размерным координатам и получим дифференциальные уравнения ламинарного пограничного слоя, которые называются уравнениями Прандтля (1904 г.) и замыкаются уравнением состояния [c.279]

Это уравнение является дифференциальным уравнением не четвертого, а третьего порядка. Поэтому не может удовлетворить всем граничным условиям (2.2.15) и условию (2.2.17) одно из них следует опустить. Поскольку при невязком течении возможно скольжение по телу, опустить следует граничное условие (2.2.16). Поэтому полученное решение для является при Я —>- оо очень хорошим приближением точного решения вдали от тела и становится несостоятельным вблизи тела. Касательная составляющая скорости должна обратиться в нуль на поверхности независимо от того, сколь мала вязкость (сколь велико число ). По этой причине при больших точное решение близко к я1)о всюду, за исключением тонкого слоя около тела, в котором оно претерпевает быстрое изменение, чтобы восстановить условие прилипания. Этот тонкий слой и есть пограничный слой Прандтля. [c.44]

КОСТИ как нормальная, так и тангенциальная компоненты скорости на поверхности тела должны обратиться в нуль. Последнее условие называется условием прилипания, потому что любая незначительная вязкость заставляет жидкость прилипать к телу. Если вязкость обращается в нуль, то уравнение для функции тока приводится к уравнению третьего порядка (п. 2.2.2) и, следовательно, не может удовлетворить всем граничным условиям. Поскольку невязкая жидкость может проскальзывать, то условие прилипания опускается, и в результате решение будет представлять движение жидкости всюду, кроме малой области вблизи тела, называемой пограничным слоем Прандтля. В этой области тангенциальные компоненты скорости изменяются очень сильно от значения, полученного из предельного уравнения (с вязкостью, равной нулю), до нуля, чтобы удовлетворить краевому условию прилипания, которое ранее было опущено. Для описания течения в этой области Прандтль увеличил ее, введя преобразование растяжения, оценил порядок величины различных членов исходного дифференциального уравнения и отбросил малые члены. Полученные таким образом уравнения были решены, и их решения были сращены с решением задачи для невязкой жидкости с использованием условия сращивания (4.1.16). [c.128]

Для движущейся под действием сил тяжести и внешних сил трения пленки, так же как и для пограничного слоя, можно предположить, что производные от скорости по У велики по сравнению с производными по X. Обозначив через 5 толщину пленки и через I длину поверхности, можно считать, что изменение скорости вдоль оси У происходит на расстояниях порядка б, а вдоль оси X — на расстояниях порядка I. Кроме того, поскольку пленка является весьма тонкой, течение в ней происходит вдоль поверхности, так что компонента скорости ix вдоль оси X велика по сравнению с нормальной составляющей iy. Другими словами, делаются два основных допущения 1) изменение скоростей в пленке в направлении, перпендикз рном стенке, велико по сравнению с изменением их в продольном направлении 2) на малом участке тела течение в пленке можно считать плоским (если размеры тела велики по сравнению с толщиной пленки). Уравнения течения пленки при ламинарном режиме можно записать в дифференциальной форме по Прандтлю [c.281]

IB этой области течения не решена в удовлетворительном виде до сих пор основная проблема — проблема формулирования соответствующих дифференциальных ура1внений и граничных условий, описывающих течение газа. Для некоторой части этой области, примыкающей к области континуума, в ряде работ предполагалось возможным использование уравнений Навье-Стокса (или их предельного случая — уравнений Л. Прандтля для пограничного слоя) в сочетании с граничными условиями, предполагающими скольжение газа (Л. 5—9]. Однако результаты появившихся в последнее В1ремя опытных исследований показали в большинстве случаев непригодность полученных таким путем решений. Аналитические решения различных авторов плохо согласуются друг с другом и с экспериментом. Такое положение в теории объясняется, в известной мере, отсутствием детальных опытных сведений об этой области течения. Имеющиеся экспериментальные данные весьма ограниченны и очень малочисленны. На графиках рис. 1 г оказаны диапазоны всех известных в настоящее время исследований сопротивления и теплообмена в промежуточной области, между континуумом и свободно молекулярным течением. [c.463]

Одними из первых представления о попраничном слое высказали знаменитые русские ученые Д. И. Менделеев в монографии О сопротивлении жидкостей и воздухоплавании (1880 г.) и И. Е. Жуковский в работе О форме судов (1890 г.) и в более поздних лекциях. Известный немецкий ученый Л. Прандтль в 1904 г. получил дифференциальные уравнения движения жидкости в пограничном слое, которые лежат в основе современной теории пограничного слоя. Впервые эти уравнения были решены Блазиу-сом в 1907 г. для простейших случаев пластины и круглого цилиндра. На этой основе, усилиями многих ученых мира, была создана современная теория пограничного слоя, которая бурно развивается и поныне. Большой вклад в эту теорию внесли советские ученые Г. Н. Абрамович, В. С. Авдуерский, А. А. Дородницин, [c.20]

Существует два способа расчета параметров жидкости в пограничном слое. Первый способ заключается в численном решении системы дифференциальных уравнений пограничного слоя, впервые полученных Прандтлем, и основывается на использева-нии вычислительных машин. В настоящее время разработаны различные математические методы, позволяющие создавать рациональные алгоритмы для решения уравнений параболического типа, к которому относится уравнение пограничного слоя. Такой подход широко используется для определения характеристик ламинарного пограничного слоя. Развиваются приближенные модели турбулентности, применение которых делает возможным проведение расчета конечно-разностными численными методами и для турбулентного потока. Второй способ состоит в нахождении методов приближенного расчета, которые позволяли бы получить необходимую информацию более простым путем. Такие методы можно получпть, если отказаться от нахождения решений, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям для каждой частицы, и вместо этого ограничиться отысканием решений, удовлетворяющих некоторым основным уравнениям для всего пограничного слоя и некоторым наиболее важным граничным условиям на стенке и на внешней границе пограничного слоя. Основными уравнениями, которые обычно используются в этих методах, являются уравнения количества движения и энергии для всего пограничного слоя. При этом, однако, необходимо задавать профили скорости и температуры. От того, насколько удачно выбрана форма этих профилей, в значительной степени зависит точность получаемых результатов. Поэтому получили распространение методы расчета параметров пограничного слоя, в которых для нахождения формы профилей скорости и температуры используются дифференциальные уравнения Прандтля или их частные решения. Далее расчет производится с помощью интегрального уравнения количества движения. [c.283]

Краткое содержание. В предыдущей работе исследовалось влияние малых возмуш,ений входного профиля на решения уравнений стационарного пограничного слоя. Назовем решение устойчивым, если каждое такое возмущение затухает в направлении потока, и неустойчивым, если этого не происходит. В противоположность явлениям неустойчивости, которые исследовались до настоящего времени в теории пограничного слоя (волны Толлмина, вихри Гёртлера и др.), здесь речь идет не о временном нарастании возмущений, а о стационарном развитии возмущений входного или какого-либо другого профиля. Будет доказано, что уравнения Прандтля для стационарного пограничного потока становятся строго неустойчивыми там, где субстанциональное ускорение, параллельное стенке, становится отрицательным. Это наступает сразу же за минимумом давления. Смысл последнего утверждения будет раскрыт числовым расчетом стационарного пограничного потока. В частности, условия устойчивости определены методом конечных разностей. Наряду с требованием устойчивости на дифференциальные уравнения, как это известно из теории линейных уравнений теплопроводности, налагаются ограничения, связанные с выбором размеров ячеек. [c.284]

В этой главе рассмотрены вопросы численного интегрирования линейных и нелинейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при исследовании прочности, устойчивости, свободных колебаний анизотропных слоистых композитных оболочек вращения после разделения угловой и меридиональной переменных. В предыдущих главах было показано, что корректный расчет таких оболочек и пластин в большинстве случаев требует привлечения неклассических дифференциальных уравнений повышенного порядка. Там же (см. параграфы 4.1, 4.4, 5.2, 6.2) отмечалась важная особенность таких уравнений — существование быстропеременных решений экспоненциального типа, имеющих ярко выраженный характер погранслоев и существенных лишь в малых окрестностях краевых закреплений, точек приложения сосредоточенных сил, мест резкого изменения геометрии конструкции и т.д. Стандартные схемы численного интегрирования краевых задач на таком классе дифференциальных уравнений малоэффективны — попытки их применения встречают принципиальные трудности, характер и формы проявления которых подробно обсуждались в параграфе 4.1 (см. также [136]). Добавим к этому замечание о закономерном характере данного явления — существование решений экспоненциального типа с чрезвычайно большим (по сравнению с длиной промежутка интегрирования) показателем изменяемости в неклассических математических моделях деформирования тонкостенных слоистых систем, дифференциальными уравнениями которых учитываются поперечные сдвиговые деформации, обжатие нормали и другие второстепенные" факторы, естественно и необходимо. Такие решения описывают краевые эффекты напряженного состояния, связанные с учетом этих факторов, и существуют не только у неклассических уравнений, установленных в настоящей монографии, но и в других вариантах неклассических уравнений повышенного порядка, что уже было показано (см. параграф 4.1) на конкретном примере. Болес того, подобные явления наблюдаются не только в теории оболочек, но и в других математических моделях механики и физики. Известным классическим примером такого рода может служить течение Навье—Стокса — при малой вязкости жидкости, как впервые было показано Л. Прандтлем (см., например, [330]), вблизи обтекаемого тела возникает зона пограничного слоя. Такие задачи согласно известной [56, 70 и др.] классификации относятся к классу сингулярно возмущенных, т.е. содержащих малый параметр и претерпевающих понижение порядка, если положить параметр равным нулю. Проблема сингулярных возмущений привлекала внимание многих авторов [56, 70, 173, 190 и др.]. Последние десятилетия отмечены значительными достижениями в ее разработке — в создании и обосновании методов асимптотического интегрирования для различных [c.195]

В последнее время для расчета турбулентных пограничных слоев в газодинамических устройствах используются новые математические модели, в которых замыкание уравнений производится с помощью дополнительных дифференциальных уравнений вторых моментов, а не конечных алгебраических соотногпений типа формулы Прандтля. Об- [c.551]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...