Точечные вихри на плоскости

С их помощью удалось строго показать отсутствие нетривиальных интегралов и групп симметрий в ряде классических задач динамики в ограниченной задаче трех тел, при вращении тяжелого несимметричного тела с неподвижной точкой, при движении твердого тела в идеальной жидкости, в задаче четырех точечных вихрей на плоскости и многих других. В каждой из этих задач результат о неинтегрируемости основывается на анализе особенностей качественного поведения фазовых траекторий. В итоге, на мой взгляд, сложилась самостоятельная часть теории гамильтоновых систем со своими характерными задачами, методами и результатами. Цель книги — дать систематическое изложение современных идей и результатов этой теории. [c.18]

С. Смейлом [52] к числу математических проблем 21-го столетия. Интересно, справедливы ли аналогичные результаты для движения точечных вихрей на плоскости (или для этого необходимо наложить дополнительные ограничения на циркуляции вихрей). [c.22]

Динамика точечных вихрей на плоскости [c.26]

Насколько нам известно, хореографии системы точечных вихрей на плоскости и сфере ранее не изучались, и результаты по ним изложены [c.134]

В разделе III общая теория раздела II применяется к уравнениям движения системы п точечных вихрей на плоскости. Прежде всего там приведены уравнения Кирхгофа в вещественной и комплексной форме, указаны их [c.244]

Уравнения движения системы п точечных вихрей на плоскости были получены Кирхгофом (см., например, [2, 8]). Если задавать положение /с-го вихря в момент t его декартовыми координатами Xk t), yk t), а его интенсивность обозначить через х/., то уравнения Кирхгофа запишутся в виде [c.257]

Движение п точечных вихрей на плоскости, имеющих одинаковую интенсивность к, описывается гамильтоновой системой уравнений (3.8) с гамильтонианом задаваемым выражением (3.7) при =. .. = >Сп = >с. [c.262]

Замечание 2. Мы доказали неинтегрируемость задач только в ограниченной постановке. Однако остаются открытыми вопросы об интегрировании общей задачи о движении четырех вихрей (как на сфере, так и на плоскости) и общей задачи трех коаксиальных колец при конечных значениях интенсивностей Г , а также поиска частных случаев интегрируемости. Для четырех точечных вихрей на плоскости один из таких случаев рассмотрен в [22] при этом [c.383]

Прежде всего отметим, что наиболее хорошо изучены уравнения движения точечных вихрей на плоскости (параллельных вихревых нитей бесконечно малого сечения) в идеальной жидкости, восходящие к Кирхгофу [c.414]

Точечные вихри на плоскости [c.24]

Из гидромеханики известно [115], что движение п точечных (цилиндрических) вихрей на плоскости (в пространстве) описывается следующей системой 2п дифференциальных уравнений [c.55]

Замечание 2. Для динамики точечных вихрей на сфере очень сложно найти какие-либо простые аналоги сформулированных утверждений. Как и в небесной механике в пространствах постоянной кривизны здесь имеются существенные сложности при исследовании коллинеарных и статических конфигураций. Чтобы убедиться в этом достаточно сравнить существующие конфигурации для задачи трех вихрей, рассматриваемой на плоскости и на сфере, где количество конфигураций зависит также от величины момента О. [c.139]

Вихревой слой. До сих пор мы рассматривали только одиночные или дискретно расположенные источники, вихри, диполи. Представим теперь, что вдоль некоторой цилиндрической поверхности, след которой на плоскости чертежа изображается кривой (рис. 116), в каждой ее точке расположены точечные вихри, т. е. рассматривается непрерывное распределение вихрей на поверхности. Будем называть совокупность этих вихрей вихревым слоем. В теории идеальной жидкости вихревой слой может служить моделью встречающихся в реальных жидкостях поверхностей, при переходе через которые скорость течения меняется очень резко. [c.237]

Линии тока являются интегральными кривыми уравнения (6), а особым точкам поля скоростей в плоском движении соответствуют особые точки дифференциального уравнения (6). На рис. 59 показаны картины линий тока источника и стока, находящегося в точке О плоскости, что соответствует особой точке уравнения (6) — узлу, через эту точку проходит бесчисленное множество линий тока, а скорость в точке О равна бесконечности. На рис. 60 приводятся линии тока, окружающие точечный вихрь в точке О (понятие вихря будет в дальнейшем разъяснено). С точки зрения теории дифференциальных уравнений этой особенности поля скоростей соответствует особая точка — фокус. Скорость в точке О равна бесконечности. Наконец, в качестве третьего примера рассмотрим критические точки А ж В разветвления потока около круга (рис. 63). Как показано на рисунке, внешний по отношению к кругу поток соответствует обтеканию круга, а внутренний — течению внутри круга, обусловленному наличием в точке О особенности — диполя. В точках А ж В скорости потока равны нулю, в точке О — бесконечности. Можно заметить, что точки А ж В являются седлообразными особыми точками, через каждую из них проходят только две интегральные кривые. Точка О аналогична узлу с интегральными кривыми, имеющими в точке О общую касательную. [c.34]

Согласно [121], уравнения, описывающие динамику вихря Кирхгофа, взаимодействующего с точечным вихрем, справедливы лишь на достаточно большом удалении от вихря Кирхгофа. Пе указывая точно область применимости, приведем здесь лишь ограничение, связанное с размером вихря Кирхгофа на плоскости х, у [c.155]

Важность этого результата заключается в том, что система (3.4) является гамильтоновой с парой канонически сопряженных переменных ЧоГ аУа- Более того, в данном случае фазовое пространство (р, 9а) совпадает ( с точностью до масштаба и ориентации ) с реальной плоскостью течения. Поэтому траектории в фазовом пространстве суть траектории вихрей в реальном пространстве, занимаемом идеальной жидкостью. На эту аналогию для точечных вихрей впервые обратил внимание Л.Онзагер [196], хотя общая идея об использовании плоских течений идеальной жидкости при моделировании фазового пространства гамильтоновых систем принадлежит Д.Гиббсу[18]. [c.75]

Уравнения относительного движения. Гамильтониан (3.5) системы (3.4), описывающий движение М точечных вихрей, зависит лишь от относительного расстояния между вихрями. Естественно желание получить систему уравнений, в которую входят лишь расстояния между вихрями независимо от их абсолютного положения на плоскости. Та кая система впервые установлена в [165] независимый вывод таких уравнений получен недавно в [54]. Для вывода этих уравнений целесообразно воспользоваться методикой, основанной на скобках Пуассона. Нетрудно показать, что для любой функции Ч (ж , у ), а— 1,2,..., Nf не содержащей явно времени, имеет место равенство [c.78]

Потенциальный в и X р ь. Течение индуцируется вихревой нитью, совпадающей с осью г. На плоскость ху эта нить проектируется в начало координат как точечный вихрь. Линиями тока 11 = С являются концентрические окружности с центром в начале координат (рис. 3.8) эквипотенциальными линиями 1 ) = С — лучи, исходящие из начала координат. Запишем выражение циркуляции скорости для окружностей — линий тока [c.52]

Паучно-издательский центр РХД недавно уже выпустил три книги, в которых обсуждаются различные аспекты вихревой теории. Это, прежде всего, лекции А. Пуанкаре Теория вихрей , прочитанные им в курсе математической физики в Сорбонне. В них развиваются идеи двух приведенных работ Гельмгольца, а также содержится обсуждение аналогии с электродинамикой. Мы также рекомендуем читателям ознакомится с двумя современными книгами В. В. Козлов Обш,ая теория вихрей , Ижевск РХД, 1999 А. В. Борисов, И. С. Мамаев Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике . В первой из них развивается вихревая аналогия с гидродинамикой, оптикой и электродинамикой. Во второй рассматриваются вопросы геометрии и динамики точечных вихрей на плоскости и на сфере. [c.6]

Поскольку движение точечных вихрей на сфере является обобщением случая плоского вихревого течения, приведем кратко известные результаты для задачи о взаимодействии вихрей на плоскости. Простейший пример движения двух вихрей рассмотрен Гельмгольцем [23]. Г. Кирхгоф [27] установил гамильтоновость уравнений движения N точечных вихрей, а также нашел четыре первых интеграла этой системы, которые связаны с независимостью гамильтониана от времени и его инвариантностью относительно параллельного переноса и поворота системы координат. Интегрируемость задачи трех вихрей отметил А. Пуанкаре [32] (существуют три первых интеграла, находящихся в инволюции). В работе [18] система точечных вихрей рассматривалась в качестве модели двумерной турбулентности. Там же получено решение задачи о взаимодействии трех одинаковых вихрей. Авторы работы [19] на основе численных расчетов устанавливают стохастические свойства системы четырех вихрей и тем самым показывают, что двумерное течение идеальной жидкости в общем случае не является вполне интегрируемой системой. Как уже было отмечено, аналитическое доказательство неинтегрируемости системы четырех точечных вихрей на плоскости дано в работах Зиглина [9, 33]. Отметим также работы [20] и [22]. В [20] проинтегрирована в эллиптических функциях система трех одинаковых вихрей и показана хаотизация движения четырех вихрей равной интенсивности. В [22] рассматриваются интегрируемые случаи движения четырех вихрей. [c.376]

Системы с таким потенциалом изучались в работе [7] в связи с анализом статистических свойств уровней энергии одномерного классического кулоновского газа. Аналогично ситуации, отмеченной Калоджеро для системы точечных вихрей на плоскости [5], положения равновесия системы (1.1), (1.2) определяют стационарные коллинеарные конфигурации на сфере (точечные вихри располагаются в экваториальной плоскости, равномерно вращающейся вокруг некоторой оси, также лежащей в этой плоскости). [c.387]

Проблема хаотическогс движения точечных вихрей на плоскости тесно связана с общим вопросом представляют ли уравнения Эйлера для плоских течений идеальной жидкости интегрируемую динамическую систему Для случая гладкого нячального распределения завихренности в некоторых областях на плоскости частично ответ на этот вопрос дает теорема Волибнера [265], утверждающая, что при таких условиях поле завихренности не будет иметь сингулярностей за конечное время. В случае точечных вихрей такая сингулярность поля завихренностей, согласно уравнению (3.2), существует в системе и в начальный момент времени. Поэтому вопрос о построении гладких решений для точечных вихрей требует дальнейшего изучения. [c.158]

Эта формула описывает так называемый линейный вихревой диполь, или просто вихревой диполь, с моментом т. Легко показать, что линии тока и эквипо-тенциали представляют собой окружности, касающиеся начала координат. Причем центры окружностей для линий тока и эквипотенциалей лежат соответственно на осях X и у. Напомним, что для обычного диполя, состоящего из источника и стока, комплексный потенциал имеет вид = т/2яг. Из сравнения с (2,26) следует, что различие между вихревым и обычным диполями заключается в том, что линии тока и эквипотенциали меняются местами. Выше была описана прямолинейная вихревая нить в безграничном пространстве (или точечный вихрь на неограниченной плоскости). При наличии твердых границ в ряде частных случаев можно найти аналитическое решение с помощью метода отражений. В частности, для точечного вихря в области, ограниченной вещественной осью, отраженный вихрь имеет равную по величине и противоположную по знаку циркуляцию (рис, 2.6). Комплексный потенциал системы и индуцированное поле скоростей имеют соответственно вид [c.94]

Постановка задачи о конических вихревых течениях с переменной турбулентной вязкостью Ут, зависящей только от сферического угла 0, содержится в работах Серрина [236] и Ву [255]. В последней рассматривается автомодельный турбулентный вихрь с условиями при.пипания на плоскости и регулярности на оси. В случае постоянной вязкости подобное движение невозможно. Для данного конического класса циркуляция I2(0) удовлетворяет дифференциальному уравнению второго порядка, допускающему лишь монотонно изменяющиеся решения, и является монотоипой функций угла 0, так что удовлетворить краевым условиям I2(0) = 0(я/2) = О нельзя. Помимо того, хорошо известно [210], что для струи, вытекающей из точечного источника на плоскости, автомодельного решепия, удовлетворяющего условиям прилипания на плоскости и регулярности на оси, не существует. Так, решение Сквайра [240] [c.144]

Как следует из 3 и приведенного выше описания абсолютного движения, задача адвекции для системы трех вихрей приводит к одностепенной гамильтоновой системе (1.17), (1.18) с квазипериодическим по времени (двухчастотным) возмущением. В литературе рассматривались лишь частные постановки этой задачи с периодическим возмущением, в частности, для доказательства неинтегрируемости ограниченной задачи четырех вихрей на плоскости [23]. В общем случае анализ подобных систем сводится к исследованию некоторого трехмерного точечного отображения (сечения) Пуанкаре [И] и в настоящее время не выполнен. [c.65]

Рассмотрим систему, состоящую из 2п точечных вихрей. Первая группа состоит из п вихрей, имеющих одинаковую циркуляцию к, и расположенных в начальный момент в вершинах правильного многоугольника. Вторая группа п вихрей имеет интенсивность Kj и также расположена в начальный момент в вершинах другого гфавильного п-угольника, имеющего, однако, общий центр с первым. Обозначая координаты первых вихрей на плоскости через z,, 2j......z , а втор лх — Ср [c.145]

Легко видеть, что линии тока (i 3 = onst) в данном течении являются концентрическими окружностями с центром в начале координат, а эквипотенциали (ф = onst) — прямыми, выходящими из той же точки (рис. 113). Такое течение создается прямолинейным вихревым шнуром (плоским вихрем). Существенно, что потенциальность данного течения нарушается в особой точке г = 0. Действительно, для любого контура, охватывающего начало координат, согласно (7-14) циркуляция Г равна одной и той же величине — 2пВ. Поэтому на основании теоремы Стокса можем заключить, что в начале координат расположен точечный вихрь, интенсивность которого равна указанному значению циркуляции. Во всех остальных точках плоскости течения движение безвихревое, хотя частицы имеют круговые траектории (линии тока). В этом нет противоречия, так как движение частиц по круговой траектории происходит без вращения, т. е. поступательно. [c.233]

Удобным методом, позволяющим учесть условие непротекания на поверхности тела произвольной геометрии, является метод присоединенных вихрей [Белоцерковский, Пишт, 1978]. Поскольку поверхность тела, обтекаемого невязкой жидкостью, является линией тангенциального разрыва скорости, то ее заменяют присоединенной вихревой пеленой, которую, в свою очередь, моделируют набором точечных вихрей. Само же условие непротекания ставится лишь в конечном числе контрольных точек, расположенных мелоду вихрями. Вопрос о способе размещения присоединенных вихрей и контрольных точек и о выборе их числа наиболее полно изучен в работах Д.Н. Горелова [1980, 1990]. В отличие от обычно применяемого равномерного размещения (см. С.М. Белоцерковский, М.И. Ништ [1978]), здесь предлагается находить положение контрольных точек из условия равенства в них скорости, индуцированной присоединенными вихрями, и скорости, индуцированной непрерьшным вихревым слоем, что позволяет существенно повысить точность определения циркуляций сходящих вихрей или увеличивать шаг интегрирования по времени. Общая точность расчетов зависит и от числа присоединенных вихрей. Его увеличение ограничено возможностями ЭВМ - приходится решать системы линейных уравнений с большим числом неизвестных. По этой причине возникает сложность в применении метода присоединенных вихрей в задачах о движении завихренных областей вблизи протяженных границ (около плоскости, в каначе и т. п.). [c.327]

Таким образом, мы видим, что движеиие происходит одинаково во всех плоскостях, параллельных плоскости Оху, так как скорости не зависят от координаты г, а и rj одинаковы для всех точек вихревой нити. Поэтому достаточно рассматривать движение на плоскости Оху, причем рассматривать вместо вихревой нити точку пересечения ее с плоскостью Оху. Буден называть эту точку точечным вихрем. Из формул (13.1) выводим, что под влиянием одного точечного вихря частицы жидкости движутся по окружностям, центром которых является вихрь, со скоростями, обратно пропорциональными расстоянию движущейся точки от вихря [c.192]

Если на плоскости заданы п точечных вихрей с интенсивностями ае и координатами (ж, у ), то естественно расмотреть функцию тока [c.26]

Общая методика определения неподвижных конЛигураций точечных вихрей приведена в работе (91). Пусть имеется одинаковых точечных вихрей интенсивности к, расположенных неподвижно в точках г (а - 1, 2,..., Л ) на комплексной плоскости г. Аналогично Ы точечных вихрей интенсивностью ( — к) расположены в точках р(Р = 1,2,..., Л ). Образуем два полинома комплексной переменной г степени N и Л/ [c.155]

Стохастическое поведение консервативных гамильтоновых систем известно из работы [136), где показано, что неинтегрируемость некоторой гамильтоновой системы с двумя степенями свободы приводит к возникновению хаоса. Обзор проблемы хаоса в гамильтоновых системах дан в [200]. в которой проведено интенсивное сопоставление старых и новых взглядов на вопросы интегрируемости. Учитывая некоторую аналогию между задачами небесной механики и движением точечных вихрей, можно предположить, что и в последнем случае будет иметь место хаотическое поведение. Поэтому усилия многих современных исследователей направлены на выяснение вопросов как, где и почему хаотическое поведение входит в динамику точечных вихрей В исследованиях [ 55, 93 ) рассмотрены типичные задачи этого класса. Важной особенностью хаотического движения в задачах вихревой динамики на плоскости является то, что хаос здесь возникает из полных уравнений движения Эйлера, сведенных к гамильтоновой форме, а не в результате модовых (галеркинских) аппроксимаций. Использование таких аппроксимаций является ахиллесовой пятой многих работ по изучению перехода к турбулентности. В частности, если в задаче Лоренца использовать большее число базисных функций, т.е. учесть следующие гармоники полей скорости и температуры, то полученная нелинейная система обыкновенных дифференциальных уравнений уже не обладает <саттракторными свойствами. [c.158]

Ком рмноФ отобрашеии и теорема Рауса. Как и в других задачах. связанных с отысканием гармонических функций на комплексной плоскости, при изучении движения точечных вихрей естественен вопрос о возможностях метода конформного отображения. Другими словами. пусть иавестно движение вихрей в области О комплексной плоскости ж + у. Требуется определить характеристики вихрсВОго движения в области Е, плоскости -f п. получаемой из с [c.165]

Для случая 1/2 < ц < 1, т.е. когда граница имеет острую кромку, приведенное выше решение дает бесконечно большую скорость Н1 острие клина. Чтобы избежать такого парадокса, необходимо выбрать несколько иное течение в z-плоскости, состоящее из движения точечно го вихря в полуплоскости при наличии дополнительного равномерного внешнего потока. Выбирая скорость этого потока такой, чтобы при отображении на плоскость в вершине она обращалась в нуль ( именно здесь, по нашему мнению, лежат истоки условия Жуковскиго — Кутта Чаплыгина на острой кромке ), после некоторых преобразований получаем уравнение траектории [c.167]

Для сверхтекучей компоненты He" (см. Гелий жидкий. Квантовая жидкость) областью вырождения D состояний, описываемых волновой ф-цией il = I 1 I ехр (/ф), будет область возможных значений волновой ф-ции при фиксированном её. модуле i ]. Физически -jto связано с т. и. Eoje — Эйнштейна конденсацией бесспиновых атомов изотопа Не в состоянии с найм, энергией жидкости при темп-ре Т< Тс, т. с. с накоплением в одном и том же состоянии большого числа частиц квантовой жидкости. Если пренебречь сла-бы. взаимодействием между атомами жидкости, то при T=Q К в состоянии с мин. энергией будут находиться все без исключения частицы, что и позволяет описывать их одной и той же (не зависящей от координат частиц) волновой ф-цией / = ф схр((ф). Нормированная волновая ф-ция Ф(дг) = (1 / / )ехр [/ф(х)] в этом случае играет роль параметра порядка, т. е. на комплексной плоскости, область вырождения представляет собой окружность > = 5 вдоль к-рой меняется фаза (р (вырождение состояний по фазе). На основании того, что 7С2(5 )=0, rrj(5 )=Z, заключаем, что точечных дефектов в Не нет в то же время линейные дефекты — вихри в Не — будут устойчивыми [c.138]

На основе полученных выражений скорости были даны обш ие формулы для сил и моментов, действуюпцих на профиль. В случае косой решетки тонких профилей (установленных с выносом) рекомендованы конформное отображение (типа (1.18)) на решетку пластин без выноса в плоскости параметрического переменного Zj = С и представление искомых функций рядами по степеням ехр Указана возможность распространения метода на случаи наличия в потоке точечных особенностей типа диполей и вихре-источников, а также струйных и нестационарных течений (Л. И. Седов, [c.113]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...