ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Точечные вихри на плоскости из "Общая теория вихрей " Эти функции имеют прозрачный механический смысл Н — кинетическая энергия взаимодействующих вихрей, Р — импульс плоского течения безграничной жидкости, М — половина момента импульса относительно начала координат (см. [29]). [c.27] Следовательно, импульсы Рх и Ру коммутируют, если сумма интенсивностей вихрей равна нулю. [c.27] Потенциальные поля, очевидно, порождают градиентные уравнения. Градиентные системы изучались Ляпуновым в теории устойчивости, С. Смейлом с точки зрения структурной устойчивости, а также Р. Томом и его последователями в теории катастроф. Функцию Ф обычно называют потенциальной функцией или потенциалом. [c.28] В нашем случае потенциал Ф — многозначная функция. Поэтому результат об асимптотическом поведении решений системы (2.9) здесь не применим. Однако непрерывная ветвь функции Ф с ростом I либо неограниченно возрастает, либо монотонно стремится к некоторой постоянной. [c.28] Устремляя затем аег —aei, получим искомую скорость поступательного движения пары вихрей в случае противоположных интенсивностей. [c.30] Эти выводы о движении пары вихрей были получены еще Гельмгольцем. Дополним их еще одним результатом из работы [33], устанавливающим связь задачи о двух точечных вихрях с задачей о движении двух материальных частиц, притягивающихся с силой, обратно пропорциональной кубу расстояния между ними. Последнюю задачу впервые рассматривал Ньютон в Prin ipia и затем более детально Якоби в своих Лекциях по динамике . [c.30] Это означает, что если в начальный момент времени траектория системы (2.15) принадлежит то вся траектория целиком расположена на М . [c.31] Если потенциальная энергия (2.14) убывала бы как первая степень расстояния между точками, то динамика пары вихрей находилась бы в соответствии с третьим законом Кеплера. Пока не совсем ясно, можно ли распространить теорему 3 на случай и 3 вихрей. [c.31] Большой интерес представляют стационарные движения п точечных вихрей, когда расстояния между ними не меняются система вихрей как твердое тело движется поступательно, либо вращается с постоянной угловой скоростью вокруг их общего центра завихренности. К сожалению, эта алгебраическая задача представляет значительные трудности даже в случае равных интенсивностей вихрей. Дж. Дж. Томсон в 1883 г. исследовал частный случай, когда вихри расположены в вершинах правильного и-угольника. Он нашел, что такое стационарное вращение устойчиво при и 6 и неустойчиво при и 7. В работе Л. Кемпбела [65] доказано существование устойчивых стационарных вращений при всех значениях и и с помощью численных расчетов составлен каталог устойчивых равновесных конфигураций для п 50. Оказывается, вихри расположены на одной или нескольких концентрических окружностях ( атомных оболочках , по терминологии Кельвина). В работах [56, 63] обнаружены неподвижные устойчивые конфигурации п вихрей, когда п является квадратом целого числа. К сожалению, и эта задача еще далека от полного решения. Имеются важные (с точки зрения приложений) примеры стационарных движений бесконечного числа точечных вихрей (например, цепочки Кармана см. [42], 156). [c.32] Уравнения Кирхгофа (2.6) дают нам важный пример гамильтоновых систем дифференциальных уравнений, которые появляются не как привычный результат преобразования Лежандра из классической динамики. [c.32] Точно таким же уравнением описывается распространение тепла на плоскости. [c.33] Непосредственным дифференцированием легко убедиться в том, что эта функция действительно удовлетворяет (2.18). [c.33] Когда 1 возрастает от нуля до бесконечности, то это значение убывает от ае/2тгг до нуля. При фиксированном г О значение вихря (, наоборот, возрастает от нуля до своего наибольшего значения и потом асимптотически приближается к нулю. Таким образом, мы имеем диффузию вихря. [c.33] В отличие от идеальной жидкости, она зависит от времени и при +0 она стремится, конечно, к интенсивности ае, а при 1 оо она убывает до нуля. Стоит отметить, что, как доказано в работе [70], течения вязкой жидкости, в общем случае, вообще не допускают интегральных инвариантов типа (1.9), (1.10). Причина заключается в запутанности (хаотичности) поведения траекторий частиц при 0. [c.34] Функция тока Ф для решения (2.19) зависит от г, и является первообразной функции (2.20) (при фиксированном 1). [c.34] Вернуться к основной статье