Гауссова форма уравнений

Гауссова форма уравнений 261 [c.261]

Если предположить, что через усилитель проходит излучение в виде плоской волны д1/дг = dS/dr — 0 S = 0) и самофокусировка в среде отсутствует (fij = Ю), то система уравнений (4.15)— (4.17) переходит в систему уравнений переноса [71, достаточно хорошо изученную и допускающую во многих частных случаях аналитическое решение. Эту систему целесообразно выбрать в качестве первого варианта, с которым можно сопоставить все последующие. Поскольку результаты решения в общем случае зависят от формы импульсов, то рассмотрим распространение в среде импульсов гауссовой формы, как представляющих особый интерес. Для простоты можно предположить, что к моменту появления импульса на входе усиливающей среды там уже создана опреде- [c.186]

Близкая к гауссовой форме кривая (/ (С /.)) на рентгенограмме качающегося кристалла, а также металлографические и электронно-микроскопические исследования для малых деформаций (менее 6 %) позволяют полагать, что угловое размытие отражений вдоль оси качания 6 связано с образованием дислокационных стенок. Тогда б может быть количественно описано уравнением [35] [c.268]

Практически для всех реальных форм аппаратной функции при расстоянии между линиями, равном ее полуширине, суммарный измеряемый контур имеет провал такой величины, которая достаточна для его регистрации. Например, для аппаратной функции гауссовой формы (описываемой уравнением А (х) = Ае ° ") суммарный контур будет обладать центральными минимумом, ордината которого равна 0,92 максимального значения. [c.337]

Прямой вывод уравнений Гаусса. Метод, использованный для вывода гауссовой формы выражений для производных от элементов, является простым, если уже имеются выражения частных производных по элементам. Прямой вывод может быть основан на следующем принципе. Пусть [c.263]

Тогда, в соответствии с уравнением переноса (1.10), пучок сохраняет свою гауссову форму [c.290]

На примере цилиндрической оболочки мы убедились в том, что при плавно меняющейся нагрузке в большей части оболочки можно пренебречь изгибом и напряжениями от изгибающих моментов но сравнению с равномерно распределенными по толщине напряжениями от усилий Гар. Моментное напряженное состояние реализуется только в зоне краевого эффекта, протяженность кото-рой оценивается характерным линейным размером к = УНк. Для оболочки положительной гауссовой кривизны этот результат носит совершенно общий характер, схема расчета таких оболочек строится следующим образом. Сначала находится усилие в оболочке, которую представляют как тонкую, нерастяжимую мембрану, совершенно не сопротивляющуюся изгибу. Эта задача решается с помощью одних только уравнений статики и, собственно говоря, не относится к теории упругости. Соответствующая теория называется безмоментной теорией оболочек. Решение, найденное по безмоментной теории, как правило, не позволяет удовлетворить всем граничным условиям, поэтому вблизи границы рассматривается краевой эффект, связанный с изгибом. Ввиду малости области краевого эффекта, уравнения теории оболочек для этой области принимают относительно простую форму. Для вывода уравнений безмоментной теории нам понадобятся некоторые сведения из теории поверхностей, которые предполагаются известными и сообщаются для справки. [c.423]

Система Хевисайда-Лоренца представляет собой рационализованную форму гауссовой системы. В ее названии вполне обоснованно соединены имена О. Хевисайда, выдвинувшего в 1892 г. идею рационализации системы единиц и уравнений электромагнетизма, и X. А. Лоренца, применившего рационализованную Хевисайдом гауссову систему в своем главном труде — Теории электронов . [c.85]

Теперь можно с новой точки зрения посмотреть на второе из равенств (1.5.5) или (1.5.7), т. е. на уравнение Гаусса. Из него вытекает, что К полностью определяется коэффициентами первой квадратичной формы. Это чрезвычайно важное положение возвращает нас к затронутому в 1.1 понятию об изгибании поверхностей. Эта деформация характеризуется тем, что первая квадратичная форма поверхности остается неизменной, и можно теперь сделать вывод, что при изгибании поверхности остается неизменной также и ее гауссова кривизна, хотя главные кривизны, конечно, будут меняться. [c.22]

Критическая нагрузка и форма потери устойчивости оболочки вращения отрицательной гауссовой кривизны существенно зависят от того, обеспечивают ли тангенциальные граничные условия отсутствие бесконечно малых изгибаний срединной поверхности. Предположим сначала, что изгибаний нет. Тогда, как следует из (3.6.15), показатель изменяемости дополнительного напряженного состояния при потере устойчивости t = 1/3, и можно воспользоваться системой уравнений пологих оболочек (4.3.1), которую запишем в виде [c.210]

В теории оболочек обычно используются системы координат, нормально связанные с поверхностью приведения. Пусть D Q — такая поверхность. Обозначив гауссовы параметры (внутренние координаты) поверхности через представим ее уравнение в параметрической форме [c.16]

Уравнение (18.4.11) можно применять к газам с действительно слабым взаимодействием типа гауссова газа, рассмотренного в разд. 18.3. На практике это уравнение очень часто используется при изучении плазмы. Однако при этом необходимо соблюдать известную осторожность. Прежде всего заметим, что к самосогласованному члену Власова нельзя применять гидродинамическое приближение (18.4.5), так как для кулоновского потенциала среднее значение Vg бесконечно велико. Поэтому самосогласованный член приходится оставлять в первоначальной его форме (18.4.2). Иными словами, для плазмы нужно пользоваться уравнением [c.234]

Прямое нахождение решения уравнения (1.10) по (2.101) часто затруднительно и не только потому, что в спектре Я( ) могут встретиться нули, но и вследствие убывания мошности сигнала на высоких частотах, а значит роста их влияния на результат. Поэтому стремятся аппроксимировать f( o) и Я(ю) некоторыми простыми выражениями. Например, при использовании часто встречающейся гауссовой модели сигнала s(t, .г) типа (1.3) и представлении приборной функции также гауссовой кривой h t — т), р), восстанавливаемый сигнал имеет ту же форму [c.118]

На рис. 2.14 приведены зависимости х( ) для разных значений параметров р, д, различных форм и характера неоднородного контура С ) и ширины полосы генерации. Для случая лоренцевой формы неоднородного контура расчет выполнен по (2,101) (кривые 1—3), для гауссова контура — путем численного решения уравнений (2.95), (2.96) (кривые 4—8). [c.97]

Рассмотрим вначале свойства коллимированного гауссова пучка (/ =оо). Этот пучок при распространении не меняет своей формы, изменяется только его радиус и кривизна волнового фронта. Радиус пучка минимален (а=ао) в перетяжке, где г =оо, т. е. волновой фронт плоский. Минимальное значение г г) можно найти, продифференцировав уравнение (4.11) по г и приравняв производную к нулю. Получим гф, 1п =2йа при г=г ка о. На длине г , называемой дифракционной, диаметр пучка возрастает в К2 раз. [c.147]

Действие аксиально-симметричных электронных и ионных линз описывается параксиальной теорией (теорией первого порядка). Однако на практике траектории всегда имеют конечные смещения г и конечные наклоны г относительно оси. Даже если они невелики, пренебрежение в разложении в ряд членами высших порядков, необходимое для вывода уравнения параксиальных лучей, приводит к ошибке. Следовательно, параксиальная теория всегда неточна. В действительности изображением точечного объекта будет не одна определенная точка, а размытое пятно, образованное пересечением различных лучей с разными наклонами в разных точках изображения. Эти лучи пересекают гауссову (параксиальную) плоскость изображения в различных точках, поэтому изображение — не точка, а пятно конечных размеров, которое может иметь даже неправильную форму. Это явление называется геометрической аберрацией. Пример такого эффекта был рассмотрен в разд. [c.247]

Итак, для описания поведения тяжелой частицы оказывается удобным несколько видоизменить метод матрицы плотности. А именно, здесь вводится матрица плотности для огибающих волновых пакетов. Чтобы не смешивать ее с обычной матрицей плотности, она называется матрицей распределения. Уравнение для матрицы распределения (185) в случае плавного распределения ее диагональных элементов естественно распадается на два независимых уравнения. Диагональная ее часть соответствует функции распределения, удовлетворяющей кинетическому уравнению, а недиагональная часть соответствует форм-фактору /(R — R ) волновых пакетов. Гипотеза о квантовом молекулярном хаосе приводит к уравнению (200), описывающему эволюцию волнового пакета. Согласно этому уравнению последующие коллапсы приводят к большей локализации пакета, а сам пакет имеет гауссово распределение в пространстве. [c.211]

Соотношение (2.7.3) есть уравнение поверхности, ограничивающей в пространстве поле гауссова пучка эту поверхность называют каустической поверхностью или, короче, каустикой. Она представляет собой гиперболоид вращения. Сечение этого гиперболоида плоскостью,. проходящей через оси пучка, имеет форму гиперболы см. толстые линии на рис. 2.42. [c.164]

Первая основная квадратичная форма поверхности Д и Если поверхность Д и) аналитически описана уравнением в явной форме, то для расчета гауссовых коэффициентов первой основной квадратичной формы [c.55]

Для нахождения шести неизвестных гауссовых коэффициентов Е , F , G , , М , N первых двух основных квадратичных форм и Ф2 поверхности И инструмента имеется пять уравнений (10)-(12). Недостающее шестое уравнение, дополняющее систему уравнений (10)-(12) до определенной, может быть получено из анализа процесса формообразования. [c.280]

Задача 1. Исходя из известных (заданных или найденных) значений функций Фр и Ф2 <) и их коэффициентов - гауссовых коэффициентов, Е , первой и Е , второй основных квадратичных форм поверхности Д, синтезируется (этап 1) наивыгоднейшая геометрия касания заданной поверхности Д и искомой поверхности И (рис. 5.20). Для этого используется уравнение индикатрисы конформности 1пй,,,,(Д1И) поверхностей Д н И или любой другой функции из класса функций конформности (см. [c.315]

Так как символы Кристоффеля Г р и Гаэ,у выражаются через коэфф1йциенты первой квадратичной формы Gap. видим, что-(2.69), (2.70) суть уравнения относительно Gap, Вар. Уравнение Гаусса (12.69) выражает гауссову кривизну поверхности чере коэффициенты первой квадратичной формы. Уравнения Кодаццн (2.71) есть следствие того, что второй фундаментальный тензор поверхности представляет собой градиент вектора нормали. [c.69]

Одним из приближенных методов решения нелинейно-оптических задач является безаберрационное приближение и его модификации [28] Для симметричного случая безаберрационное приближение определяет класс решений нелинейного уравнения квазиоптики, называемых автомодельными решениями. Применение вариационного метода [32], в котором параметры пучка выбираются так, чтобы минимизировать ошибку аппроксимации пучка гауссовой формой, позволяет более корректно, чем в безаберраци-онном приближении, описывать изменение усредненной интенсивности в пучке, дает правильное значение критической мощности нелинейных эффектов. [c.12]

В модели непрерывного коллапсирования было использовано модифицированное уравнение Шрёдингера (209). В отличие от обычного уравнения Шрёдингера для квантового осциллятора в уравнении (209) член с "потенциальной энергией" имеет множитель г. Это значит, что соответствующий "гамильтониан" не является эрмитовым оператором, что явно указывает на наличие диссипации. Путем подбора параметра у в этом уравнении нам удалось построить стационарное решение, соответствующее нижнему уровню осциллятора, но все другие решения являются затухающими. С точки зрения физики это означает, что любой не гауссов волновой пакет стремится со временем принять стандартную гауссову форму. [c.373]

Покажем более строго, в каких случаях такой переход правомерен. Для этого введем безразмерные переменные R = p7p , а = есор ж/соро, 0 = сот, I = //а (для плоского пучка) или % = г а (для аксиально-симметричного пучка). Здесь PO, с , а — некоторые характерные константы. Так, например, если начальное возмущение на границе (при X = 0) "задано в виде р = po ехр (— rVa ) sin от, то p имеет смысл начальной амплитуды волны со — частоты и а — характерной ширины пучка гауссовой формы. В новых переменных уравнения (IX.1.10), (IX.1.12) примут вид [c.228]

Воспользуемся в качестве функции А (z, г) решением параболического уравнения (1.1) в виде сходящегося пучка гауссовой формы. Это решение было получено в 4 гл. VIII оно дается выражениями (4.25), (4.26). С его помощью условие (1.2) запишется как [c.347]

Электрические единицы гауссовой системы совпадают с единицами СГСЭ. В качестве исходного определяющего уравнения используют закон Кулона, выражающий силу взаимодействия двух точечных электрических зарядов qi и 92. находящихся на расстоянии г дрзт от друга. Закон Кулона, как и другие уравнения гауссовой системы, пишут в нерационализованной форме (без коэффициента 4л в знаменателе) [c.72]

Такчм образом, равенства (21) и (22) позволяют привести любое уравнение, связывающее электрические и магнитные величины и написанное в нерационализованной форме, к виду, который оно принимает в гауссовой системе. [c.76]

Система единиц и уравнений Хевисайда—Лоренца имела лишь весьма ограниченное применение. Рационализованиость системы не котировалась как ее заметное преимущество. В остальном же в системе Хевисайда—Лоренца сохпанились все особенности, свойственные гауссовой системе, и в частности дробные показатели и совпадения размерности разных физических величин. Переход к рационализованной системе не оправдывался и какими-либо ее практическими преимуществами. Предпочтение было отдано гауссовой системе в нерационализованной ( классической ) форме, [c.87]

Уравнения шести систем, как и гауссовой системы, пишутся в нерационализованной форме. [c.87]

В заключение следует указать, что возможности использования произвола, содержащегося в общем решении уравнений безмомент-ной теории, зависят от формы оболочки. Объясняется это тем, что дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка, к решению которых сводится определение усилий и смещений в безмоментных оболочках, принадлежат к разным классам для оболочек положительной, отрицательной и нулевой гауссовой кривизны, а именно они являются эллиптическими для первых, гиперболическими для вторых и параболическими для третьих оболочек. Это вносит специфику в постановку граничных условий в каждом частном случае, что будет показано на примерах ниже. [c.89]

Параметр т для гауссовского импульса равен 1. Для больших величин т начальный импульс приближается к прямоугольной форме, увеличивая крутизну своих переднего и заднего фронтов. На рис. 4.1 показаны изменения нелинейного набега фазы и частоты 5ю вдоль импульса при Гэфф = в случаях гауссова т = 1) и супер-гауссова (т = 3) импульсов. Так как ф,у прямо пропорционален [/(0, Г) в уравнении (4.1.4), то его изменение во времени точно совпадает с формой интенсивности импульса. Изменение во времени [c.79]

Описываемая этой функцией форма линш излучения называется гауссовой. Maк и yм интенсивности в гауссовой линии излучения приходится н частоту со = о. Шириной А гауссо-вш линии называется расстояние между частотами, соответствующими половине максимальной ингенсивности. Эти частоты С01 й 0)2 находятся как корни уравнения [c.71]

Теперь видно, что на дискретном уровне поля и описываются одинаковыми выражениями. Далее индексы е и s" будут опущены. Таким образом, по структуре уравнения движения вихревых частиц будут такими же, как и в безграничной жидкости (6.10). Гамшн>тониан дискретной системы для гауссовой функции формы (6.22) имеет вид [Веретенцев и др., 1989] [c.332]

Разработка всех этих вопросов имеет длительную историю. Так, например И. Я. Штаерман (1924) указал на целесообразность раздельного определения основного (безмоментного) напряженного состояния и краевых эффектов в оболочках вращения при осесимметричной нагрузке еще более сорока лет тому назад. В начале тридцатых годов произошло бурное развитие методов расчета цилиндрических оболочек, в основном благодаря успешным исследованиям В. 3. Власова (1933, 1936), приведшим к варианту расчета (получившему в наше время название полубезмомент-ной теории — по терминологии В. В. Новожилова, 1951), описывающему обобщенные краевые эффекты около асимптотического края. Позже в работах А. Л. Гольденвейзера (1947, 1953) были даны обобщения упрощенного расчета краевых эффектов в статике оболочек нулевой гауссовой кривизны произвольного очертания и отрицательной гауссовой кривизны около асимптотического края. Результаты этих исследований показали, что для недлинных оболочек полученные соотношения представляют собой частные случаи так называемой технической моментной теории оболочек (по терминологии В. 3. Власова, 1944), предназначенной для расчета напряженных состояний с большим показателем изменяемости. В тензорной записи разрешающее уравнение этой теории имеет в смешанной форме следующее представление [c.237]

Рационализация уравнений электромагнитного поля. В 1892 г. англ. физик О. Хевисайд (1850-1925 гг. O.Heaviside) предложил провести рационализацию гауссовой системы путем изменения вида выражений, характеризующих электромагнитные явления так, чтобы коэфф. 4я присутствовал в ф-лах, связанных с шаровой симметрией, и был исключен из др. часто применяемых формул. Такое преобразование можно провести и в любой др. системе единиц. В результате такого преобразования выражения приобретают рациональную или рационализированную форму. В лит-ре встречаются две точки зрения на смысл Р. у. э. п. Согласно первой точке зрения рационализация изменяет размер единицы, но не изменяет понятие о физ. величине. Т. о., 4 99 [c.315]

ПАРАМЕТР, буквенная величина, входящая в математич. формулу наряду с основными переменными. Напр, уравнение прямой линии (см . Аналитическая геометрия) у =кх Ъ кроме переменных х, у содержит два П. к и Ь (семейство прямых на плоскости зависит от двух П.) общее ур-ие кривой 2-го порядка зависит от 5 П. П. называются такл е независимые переменные, через которые выраж аются координаты линии или поверхности. Например уравнение окружности в параметрической форме . х = а os t, y = asmt, где t есть параметр. Аналогично будет и уравнение сферы х = а sin os (р, у = а sin e sin (р, z а os где и 9 суть параметры гауссовы координаты—см. Ди- [c.318]

Об уравнениях поверхностей сложной формы нулевой гауссовой кривизны, пологих относительно круговых цилиндрических и коншескюс поверхностей отсчета [c.88]

Сравнительная простота уравнений мембранной теор ии, выгодно выделяет ее из других разделов общей теории упругих оболочек, любой вариант которой, как уже было отмечено выше, имеет дело с уравнениями высокого порядка доволь но сложной структуры. Следует указать также и на тот факт, что уравнения-равновесия общей теории оболочек всегда являются зллиптическими независимо от геометрической формы последних. Что же касается уравнений мембранной теории, то они более тесно связаны с геометрической формой оболочки. Это проявляется в том, что тиц этих уравнений определяется знаком главной (гауссовой) кривизны К серединной поверхности. Если (еоответствен- [c.13]

Экспоненциальная форма подынтегрального выражения континуального интеграла для статистической суммы позволяет использовать метод стационарной фазы, выделив экстремаль функционала, стоящего в показателе подынтегрального выражения, и проинтегрировать по всем А в окрестности этой у стремали. При этом условие экстремума определяет уравнение молекулярного поля, а гауссовы флуктуации около экстремальной величины А° описывают поправки, соответствующие корреляциям типа Орнштейна — Цернике, которые представляются графическим рядом (2.40). Таким образом, приближенное вычисление континуального интеграла для статистической суммы по методу стационарной фазы эквивалентно суммированию бесконечной последовательности диаграмм для свободной энергии. [c.114]

Преобразования Беклунда первоначально были введены как обобщение контактных преобразований и связаны, в частности, с изучением геометрии поверхностей. Как было указано выше ( 14.1), уравнение Sin-Гордона получается при описании поверхностей с гауссовой кривизной, равной —1. Преобразования Беклунда и их применения описаны в книге Форсайта [1, т. VI, гл. 21]. При приложении этих преобразований к уравнению Sin-Гордона последнее удобно записать в канонической форме [c.582]

На первом этапе САП определяются основные геометрические параметры формы поверхности Д, заданной (1) известным методом. В случае аналитического задания поверхности Д детали (2) вводится (3) ее уравнение, затем расчитываются (4) первые и вторые производные. После этого определяются (5) гауссовы [c.512]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...