Вариационный принцип А и его обоснование

Вопрос об определении места вариационных принципов механики в системе физических знаний заключается, конечно, в первую очередь в форме выражения этого принципа. Однако указанный вопрос не исчерпывается этой формой. Обычное толкование принципа наименьшего действия состоит в том, что его широкое применение в физике основано на удобной форме. Ряд авторов стоит на той точке зрения, что содержание принципа Гамильтона тождественно с содержанием основных уравнений динамики. Так, например, Кирхгоф говорит Принцип Гамильтона, д алам-беровы и лагранжевы дифференциальные уравнения поэтому совершенно равнозначны ). Такая точка зрения господствует в научной литературе XIX в. Тем не менее, отождествление содержания принципа Гамильтона и уравнений динамики представляет собой положение недостаточно обоснованное., Методологической основой этой концепции является непонимание соотношения между формой и содержанием вообще. Тот факт, что как в механике, так и вне ее принцип Гамильтона применяется в одной и той же форме, еще недостаточен для того, чтобы сделать вывод о том, что содержание этого принципа в том и другом случае одно и то же. Принцип Гамильтона выражает некоторое свойство неорганической природы, общее ряду форм движения, и постольку он применим к механическому движению как частному случаю. [c.864]

Построение математически обоснованной теории многослойных анизотропных оболочек в рамках принятой в п. 1,1 системы независимых кинематических и статических гипотез требует применения смешанного вариационного принципа [ 1.29]. Смешанный вариационный принцип открывает естественный путь сведения трехмерных задач теории упругости к двухмерным задачам [c.15]

Вариационный принцип Д и его обоснование [c.24]

Принцип Гаусса обоснованно применен для частных случаев сплошной среды [40, 49, 50, 53]. Доказано, что при выборе переменных поля, совпадающих с компонентами тензора деформации, либо кинетических напряжений, этот вариационный принцип можно применять обоснованно, так как работа реакций внутренних связей неотрицательна и связи условно идеальны 1 [37, 52]. [c.133]

Вариационное соотношение (5.105) представляет собой вариационный принцип Гамильтона — Остроградского. В гл. 3 настоящей монографии дано обоснование применения вариационного принципа Остроградского—Гамильтона для континуальных систем. [c.146]

В книге в доступной форме излагаются основные идеи и методы динамики систем с односторонними связями. Явление удара о связь рассматривается с точки зрения общего лагранжева формализма, С позиций конструктивного подхода проводится обоснование различных моделей ударного взаимодействия. Исследуются вопросы существования и устойчивости периодических траекторий в системах с ударами. В консервативном случае широко используются вариационные принципы и методы. Особое место занимает исследование с качественной точки зрения различных биллиардных задач. В частности, обсуждается широкий набор интегрируемых биллиардов (в том числе и многомерных), а также приводятся результаты о неинтегрируемости типичного биллиарда. Книга содержит исторический очерк развития основных идей теории удара. [c.2]

Упаковочный множитель I 94 Упругое рассеяние и закон Видемана — Франца II 322, 323 Уравнение Больцмана I 318—328 вариационный принцип I 327, 328 и законы сохранения I 327 обоснование приближения времени релаксации для изотропного упругого рассеяния на примесях I 324—326 решение в приближении времени релаксации I 319, 320 См. также Приближение времени релаксации [c.412]

Краевая задача для моделирования развитой динамической деформации и разрушения металлов включает решение классических уравнений механики деформируемого твердого тела (динамических и кинематических уравнений, а также определяющих соотношений), дополненных неклассическими соотношениями, описывающими процесс разрушения металла. Предлагается приближенное решение указанной краевой задачи в два этапа. На первом этапе для произвольного и фиксированного момента времени применяются изохронные вариационные принципы и прямые методы вариационного исчисления. Находятся с точностью до варьируемых параметров поля скоростей течения, напряжений и температур. На втором этапе решается система обыкновенных дифференциальных уравнений относительно варьируемых параметров. Процесс решения выполняется до момента образования макротрещины. Решение возобновляется после введения новых граничных условий на поверхностях трещины. Обоснованность этого метода приближенного решения установлена соответствующими теоремами. При решении подразумевается лагранжево представление о движении. [c.4]

Итак, если Лагранж полностью отверг всякое телеологическое обоснование принципа наименьшего действия, то в чем же состоит смысл и значение этого принципа Все значение, которое можно приписать этому принципу, определяется его связью с законом сохранения живой силы и его математической формой выражения. Этот принцип, будучи соединен с принципом живых сил и развит по правилам вариационного исчисления, дает тотчас же все уравнения, необходимые для разрешения каждой проблемы i. [c.204]

Вариационная формулировка дает подходы к решению ряда асимптотических задач таких, как обоснование гипотезы Кирхгофа — Лява для пластин и оболочек, построение принципа выбора решения стационарной задачи для жесткопластической среды при наличии малой вязкости и др. [c.10]

Именно как элементы этого касательного пространства векторные поля в формулировке принципа виртуальных работ правомерно считать вариациями. Данное наблюдение служит также обоснованием термина вариационный применительно к самим уравнениям. Прилагательное виртуальный , заимствованное из классической механики сплошных сред, отражает тот факт, что векторные поля е ГфФ, входящие в формулировку принципа виртуальной работы, являются по своей сути математическими объектами, не требующими физического истолкования. [c.111]

Для обоснования принципа Гамильтона сформулируем без доказательства утверждение из вариационного исчисления. [c.92]

Этот принцип содержится в работах У. Гамильтона, опубликованных в 1834—1835 гг. (см. сборник Вариационные принципы механики , М., 1959, стр. 239). При этом Гамильтон предполагал, что исходная система склерономна (он исходил из представления кинетической энергии Г в виде квадратичной формы от обобщенных скоростей). Для общего с.1учая нестационарных связей этот принцип был сформулирован и обоснован М. В. Остроградским в 1848 г. (там же, стр. 770—771, 829). В связи с этим данный принцип иногда называют принципом Гамильтона—Остроградского. [c.105]

Сказанного, вероятно, достаточно для того, чтобы объяснить факт выхода в свет очень большого и все еще растущего числа статей и книг, посвященных вариационным принципам механики. Различие точек зрения и подходов авторов этих работ позволяет лучше и глубже понять как математическую структуру вариационных принципов механики, так п их место и роль в физике. Поэтому появление в русском переводе книги известного математика К. Ланцоша, посвященной этим принципам, является вполне обоснованным. Весьма любопытен подход автора к проблеме вариационных принципов (см. его предисловие и введение). Читателю будет интересно сравнить точку зрения Ланцоша с иными точками зрения, представленными, например, в работах Синга Голдстейна и других авторов. [c.6]

В основе применения и физического смысла вариационных принципов механики лежат две теоремы теорема независимости Гильберта и теорема Эмми Нетер. Первая теорема дает математическое обоснование вариационных принципов, вторая — раскрывает их физический смысл, связывая их с центральной физической проблемой — проблемой инвариантов различных групп преобразований. [c.863]

В предыдущем разделе был обоснован вариационный принцип, который полностью эквивалентен описанию поставленной выше задачи с помощью дифференциальных уравнений. Чтобы иллюст- [c.329]

Значительное развитие за последние годы получили приближенные методы решения уравнений теории колебаний (линейной и нелинейной), основанные на вариационных принципах (работы Л. В, Канторовича, 1948—1956 М. А. Красносельского, 1950 и сл, С. Г. Михлина, 1948— 1956 В, М, Фридмана, 1956 и сл,). Обзору, развитию и обоснованию этих методов посвящена монография С, Г, Михлина (1957), [c.167]

При постановке новых проблем исходным пунктом в большинстве случаев является начало возможных перемеш ений, приводяш ее к вариационной формуле Лагранжа для данного объекта. Если задачу целесообразно формулировать в перемещениях, то на этом функции вариационного исчисления при решении рассматриваемой задачи и кончаются. В нелинейной же теории оболочек самым распространенным вариантом являются уравнения типа Кармана, сформулированные в смешанной форме (через прогиб и функцию напряжения). Ясно, что различным формулировкам соответствуют разные вариационные формулы. Получение таких формул нередко представляет достаточный интерес (хотя бы для нестрогого обоснования процедуры метода Бубнова — Галеркина). Например, большое внимание было уделено обобщению вариационного принципа Кастильяно на нелинейную теорию равновесия пластинок и оболочек (Н. А. Алумяэ, 1950 К. 3. Галимов, 1951, 1958). [c.235]

Существенным является обоснование распространения вариационных принципов Даламбера — Лагранжа, Журдена, Гаусса, Гамильтона — Остроградского на механику сплошной среды. Даны примеры применения принципа Гаусса в теории соударения твердых тел, в обобщенной термомеханике, в механике плит и оболочек, а также обобщенного принципа Гамильтона — Остроградского в континуальной теории сред с дефектами внутреннего строения вещества, к термоупругой среде при конечной скорости распространения тепла. Принцип Гамильтона — Острогралского также позволил составить обобщенные уравнения Лагранжа второго рода механики сплошной среды. [c.4]

В [351 вариационный принцип был постулирован для движений общего вида, причем подчеркивалось, что из-за существования областей жесткого состояния среды функционал является недифференцируемым и переход от вариационного принципа к соответствующим уравнениям Эйлера требует дополнительного исследования. В полном объеме обоснование эквивалентности дифференциальной и вариационной постановок задач было дано в [38]. Существенную роль в доказательстве играли понятия выпуклого анализа. [c.8]

Формальное получение в случае медленных двинлений вязкой среды функционала (2.2) из уравнений представляет собой известную процедуру вариационного исчисления. В указанной форме для н(есткопластических тел функционал (2.2) был построен в работах [69, 70], а для вязкопластических сред введен в работах [8, 36, 37]. Однако в них не была установлена эквивалентность принципа виртуальных мощностей и вариационного принципа. Возникающая здесь трудность связана с важной особенностью функционалов для вязкопластических сред — их недифференцируемостью. Впервые это обстоятельство было отмечено в работе [35]. Полное обоснование эквивалентности вариационного принципа и принципа виртуальных мощностей для вязкопластических сред дано в работе [38]. [c.28]

Теорема 22.1 дает строгое обоснование смешанпого вариационного принципа Алумяэ, который нами использовался при выводе основных уравнений (7.65), (7.77). [c.192]

Изложенная здесь схема обоснования метода БГР в задачах нелинейной теории оболочек принадлежит автору [10, 11, 12, 13, 14, 21, 31]. Она допускает непосредственный перенос на другие прямые методы конечных элементов, конечных разностей, сплайн-аппроксимаций [42, 73, 88, 89, 92, 97]. Здесь важно, чтобы были выполнены два основных условия 1) аппарат аппроксимации должен позволять приблизить сколь угодно точно в норме соответствующего пространства любой элемент, если неограниченно растет число постоянных аппроксимации 2) уравнения для определения постоянных аппроксимации должны получаться на основе какого-либо вариационного принципа, например Лагранжа, Алумяэ. Именно такой путь получения уравнений для определения постоянных [c.255]

Примечание 36.3. Изложенные в данном параграфе схемы обоснования методов БГР в задачах глобальной устойчивости пологих оболочек обобщаются и на случаи, когда аппроксимация решений производится методами конечных разностей или конечных элементов. И здесь важно выполнение двух условий 1) аппарат аппроксимации должен обеспечить приближение любого элемента из Нх, если используются схемы Папковича, или любого элемента пз Htx (соответственно Нд ), если используются схемы X. М. Муштари (соответственно В. 3. Власова) 2) определение констант аппроксимации производится на основе какого-либо вариационного принципа Лагранжа или Алумяэ. [c.331]

Эти трудности привели различных авторов к предположению о том, что вариационные формулировки вряд ли окажутся полезными для решения нестационарных задач. Мы присоединяемся к этому мнению в особенности потому, что, как было показано в гл. 3, методом Галеркина можно пользоваться без какого-либо упоминания о вариационных принципах. Единственным оправданием изучения сопряженной задачи является желание рассмотреть диссипативные системы в рамках развитого здесь математического аппарата. Для подобных целей другие авторы предлагают так называемые ограниченные вариационные принципы или квазивариацион-ные принципы такие принципы не имеют большого внутреннего смысла, а просто служат математическим обоснованием для применения метода Галеркина к диссипативным системам. Все формулировки одинаково хороши в этом отношении и одинаково несовершенны в смысле строгости, когда дело касается задач с начальными данными. [c.156]

Рассмотрим теоретическое обоснование и применение метода Галёркина только к случаю колебаний системы с одной степенью свободы, в общем случае нелинейной. Из курса теоретической механики известен вариационный принцип Гамильтона, который в применении к консервативным системам говорит о том, что при сравнении движения по прямому пути (истинное движение) и по окольному пути (возможное движение, близкое к истинному) действие за некоторое время т [c.169]

Выше было уже отмечено, что в сороковых и пятидесятых годах специалисты, работавшие в области приложений, столкнулись с большим числом серьезных проблем оптимального управления. Большинство этих зада решалось методами классического вариационного исчисления, которые по ходу дела приспосабливались к этим задачам. В этот период ощущалось отсутствие общего критерия оптимальности, широкого по содержанию, строго обоснованного и удобного по форме для задач управления. Постановка общей задачи об оптимальном управлении при условии минимума времени Т переходного процесса, о которой шла речь в предыдущем параграфе, вызвала серьезный интерес у математиков. Результатом этого интереса явилась математическая теория оптимальных процессов, разработанная в 1956—1960 годах Л. С. Понтрягиным и его сотрудниками В. Г. Болтянским, Р. В. Гамкрелидзе и Е. Ф. Мищенко и подытоженная этими авторами в их известной монографии Математическая теория оптимальных процессов (1961). Эта фундаментальная теория базируется на принципе максимума, указывающем необходимые условия оптимальности для основного круга проблем программного управления. Принцип максимума учел по существу типичные особенности этих проблем, удовлетворив насущные запросы теории управления. [c.187]

Принцип максимума и методы классического вариационного исчисления, рассмотренные выше, приспособлены прежде всего для решения задач о программном оптимальном управлении. Соответствующие дифференциальные уравнения, описывающие оптимальное движение и множители Лагранжа Я, (г), или вектор-функцию г) (0> являются уравнениями типа уравнений Эйлера — Лагранжа и Гамильтона. Они определяют управление в виде функции от времени . Во многих случаях, однако, ставится задача о синтезе оптимальной системы, работающей по принципу обратной связи, и тогда требуется, например, определение управления и в виде функции от текущих фазовых координат Хг 1) объекта. Здесь, конечно, возможен следующий естественный путь решения задачи. Для реализовавшегося в данный момент времени 1 х состояния х х х) решается вспомогательная задача о программном управлении (0[т, а (т)] (i>т), которое минимизирует тот же функционал и при тех же концевых условиях и ограничениях, какие заданы в исходной проблеме синтеза. Далее полагается, что [т, д (т)] = (т )[т, я (т)]7 и такие значения и = [т, X (т) ] при каждом = т > о используются в ходе реального процесса управления. В случае, если алгоритм вычисления ( )[г, д (т)] путем решения вспомогательных программных задач можно осуществлять значительно быстрее, чем протекание самого процесса х (т), такой путь может оказаться целесообразным, тем более, что по ходу процесса при т > 0 приходится на деле лишь корректировать величины (т)[т, а не решать в каждый момент = т заново всю программную задачу. Здесь, правда, еще остается нелегкая чисто математическая проблема, < остоящая в доказательстве того, вообще говоря, правдоподобного факта, что найденные таким путем функции [т, х (т)] при подстановке и = = [ , X ( )] в исходные уравнения (2.1) действительно разрешают проблему синтеза оптимальной системы. Это строгое обоснование того факта, что описанный переход [т, а (т) ] = (т)[т, а (т)] действительно дает оптимальный синтез, наталкивается, например, на следующую [c.202]

Следует заметить, что упомянутые попытки не затрагивают основного принципа теории хрупкого разрушения, поскольку по существу сводятся к замене распределения Вейбулла другими известными аналитическими распределениями. Позднее было указано, что распределение Вейбулла совпадает с известным в 1 1ате-матической статистике асимптотическим распределением для крайних значений членов вариационного ряда. Таким образом, догадка Вейбулла о виде распределения для пределов прочности хрупкого тела получила обоснование. Обзор работ по статистической теории хрупкого разрушения и ее современную трактовку можно найти в работе [2]. [c.37]

Дан полный математический анализ краевых задач иелииейиой теории оболочек. Для всех физически осмысленных постановок доказаны теоремы разрешимости и корректности в условиях глубокой нелинейности. Приведены условия единственности решений и условия неединственности. Получили обоснование в этом круге нелинейных задач методы приближенного решения Бубнова — Галеркина, Ритца, Ньютона — Канторовича и др. Большое внимание уделено нелинейной устойчивости, в которой различаются две проблемы оценка числа решений краевой задачи и выбор наиболее реального. Подробно проанализированы возможности принципа линеаризации Эйлера, дано строгое математическое обоснование существования нижних критических чисел, развит статистический подход. Основу рассмотрений составили топологические и вариационные соображепия. [c.2]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...