ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вариационный принцип А и его обоснование из "Изгибания поверхностей и устойчивость оболочек " Предметом нашего исследования будут упругие состояния оболочек, при которых форма деформированной поверхности оболочки суш ествснно отличается от первоначальной. Такие упругие состояния возникают обычно в результате потери устойчивости оболочки, поэтому мы будем называть их закритическими. Мы будем предполагать, что характер закрепления оболочки по краю гарантирует ее геометрическую неизгибаемость, т. е. исключает изометрические преобразования ее срединной поверхности в классе регулярных (дважды дифференцируемых) поверхностей. Это условие обычно всегда выполнено. [c.24] Исследуя закритические упругие состояния оболочек, мы будем исходить из предположения о том, что упругая деформация оболочки, сопровождаюп аяся значительным изменением ее формы, близка к некоторому изометрическому преобразованию. Основанием для этой гипотезы является то, что основные конструкционные материалы, каковыми являются металлы и их сплавы, допускают незначительные упругие деформации. Поэтому оболочка из такого материала даже при значительном изменении ее формы при деформации испытывает незначительные изменения метрики срединной поверхности. Естественно, такая деформация близка к изометрическому преобразо-5 ванию, при котором происходит изменение формы поверхности, но не меняется ее внутренняя метрика. [c.24] Так как срединная поверхность оболочки не допускает регулярных изометрических преобразований, то изометрическое приближение упруго деформируемой оболочки должно принадлежать более широкому классу кусочно-регулярных поверхностей. Соответствующие опыты дают основание для такого предположения. [c.24] Пусть упругая оболочка Р с регулярной поверхностью под действием некоторой нагрузки, которую уточнять не будем, испытывает закритическую деформацию, принимая форму Р. Если срединная поверхность оболочки геометрически неизгибаема в классе регулярных поверхностей, то деформированная оболочка Р близка к соответствующей форме Р изометрического преобразования Р с нарушением регулярности вдоль некоторых линий у и образованием ребер вдоль этих линий. Наличие особенностей в виде ребер на изометрическом прео азовании поверхности Р и близость поверхности Р к Р дают основание говорить о ребрах (сглаженных ребрах) на деформированной поверхности оболочки Р. Разумеется, их форма и положение определены только в известном приближении, зависящем от близости деформированной оболочки Р к поверхности Р. Для того чтобы условным ребрам 7 на поверхности деформированной оболочки приписать определенную форму и положение, мы поступим следующим образом. Ребру у на поверхности Р по изометрии соответствует некоторая кривая у на исходной поверхности р. При рассматриваемой деформации этой кривой на деформированной оболочке соответствует кривая у. Эту кривую естественно принять за условное ребро. [c.25] ГИЮ и представляется целесообразным разбить на две части и и и . Под V мы будем понимать энергию деформации по основной поверхности оболочки вне окрестности ребер 7, а под / —энергию деформации внутри указанных окрестностей. [c.26] Обратимся теперь к энергии деформации П в окрестности ребер. Так же как в рассматриваемом примере сферической оболочки ( 1), будем различать внешнюю и внутреннюю полуокрестности ребер и обозначим энергию деформации в этих окрестностях Щ и и е соответственно. Начнем с рассмотрения внешней полуокрестности. [c.26] Обозначим через и и V смещения точек поверхности Р при деформации ее в Р и—по главной нормали, а V — по бинормали кривой. у в точке Р. [c.27] Определим изменение нормальных кривизн А 1 и Д з при переходе от поверхности Р к Р во внешней полуокрестности ребра. В связи с этим целесообразно ввести в рассмотрение поверхность вращения, соприкасающуюся с поверхностью Р в точке Р. Спрямление ребра на такой поверхности вблизи Р будет, очевидно, сопровождаться такими же изменениями нормальных кривизн, как и для поверхности Р. Чтобы не вводить новых обозначений, предположим, что сама поверхность Р уже является поверхностью вращения. [c.27] По поводу слагаемого Я выражения И е существенно заметить, что интегрирование в нем выполняется просто и, таким образом, зависит только от значений производной V на границе полуокрестности, т. е. при 8=0 и 8=е. [c.29] Вариационная задача для функционала 1/1 содержит некоторую неопределенность. Именно отсутствуют пока граничные условия для варьируемых функций и, V, характеризующих деформацию, и не определена ширина, е области задания этих функций. Что касается граничных условий для функций и, V, то они естественно вытекают из наглядных соображений о характере рассматриваемых деформаций. Именно можно считать, что повороты касательных плоскостей при спрямлении ребра одинаковы по обе стороны и поэтому на ребре у (0)=—а(по соображениям удобства дифференцирование ведется по дуге з геодезической, перпендикулярной ребру, вместо дифференцирования по г). Далее, можно считать, что радиальные смещения на ребре равны нулю, т. е. и 0)=0. Наконец, вдали от ребра, на границе полуокрестности, ввиду затухания деформаций м=0, о =0. [c.31] Черта над обозначениями новых переменных для простоты записи опущена. [c.32] Слагаемое (Р) представляет собой производимую внеш- ней нагрузкой работу при деформации оболочки в форму Р и вычисляется обычным образом. [c.33] Принцип А определяет не только форму оболочки при закритической деформации, но также и максимальные напряжения в ее материале при этой деформации. [c.33] Замечание. При выводе формулы для энергии деформации оболочки мы предполагали, что деформация оболочки в направлении, перпендикулярном ребру, равна нулю. Если заранее не вводить никаких ограничений, как это сделано в аналогичном выводе в работе [3], то ограничение появляется само собой в ходе решения вариационной задачи. И оно выражает не равенство нулю деформаций, а равенство нулю напряжений в направлении, перпендикулярном ребру. Впрочем, на выражение энергии деформации это влияет не существенно. Появляется только множитель V1—v что при среднем значении у=0,3 изменяет результат не более чем на 5 %. [c.35] Вернуться к основной статье